2.1 彈性力學(xué)的基本概念和假定

2.1.1 彈性力學(xué)中的幾個基本概念

彈性力學(xué)中經(jīng)常用到的基本概念包括外力、內(nèi)力、形變和位移。下面對這些概念加以詳細(xì)說明。

作用于物體的外力分為體積力和表面力，也分別簡稱為體力和面力。

所謂體力，是分布在物體體積內(nèi)的力，例如重力和慣性力。物體內(nèi)各點(diǎn)受體力的情況一般是不相同的。為了表明該物體在某一點(diǎn)P所受體力的大小和方向，在這一點(diǎn)取物體的一小部分，它包含著點(diǎn)P，而它的體積為ΔV，如圖2-1a所示。設(shè)作用于ΔV的體力為ΔF，則體力的平均集度為ΔF/ΔV。如果把所取的那一小部分物體不斷減小，即ΔV不斷減小，則ΔF和ΔF/ΔV都將不斷地改變大小、方向和作用點(diǎn)。現(xiàn)在，令ΔV無限減小而趨于點(diǎn)P，假定體力為連續(xù)分布，則ΔF/ΔV將趨于一定的極限f，即

圖2-1 體力和面力

這個極限矢量限f就是該物體在點(diǎn)P所受體力的集度。因?yàn)棣?span id="0m659cz" class="italic">V是標(biāo)量，所以f的方向就是ΔF的方向。矢量f在坐標(biāo)軸x、y、z上的投影f_x、f_y、f_z，成為該物體在點(diǎn)P的體力分量，以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎刈鴺?biāo)軸負(fù)方向?yàn)樨?fù)，其量綱是L^-2MT^-2。

所謂面力，是分布在物體表面上的力。物體在其表面上各點(diǎn)受面力的情況一般也是不同的。為了表明該物體在表面上某一點(diǎn)P所受面力的大小和方向，在這一點(diǎn)取該物體表面的一小部分，它包含點(diǎn)P且面積為ΔS，如圖2-1b所示。設(shè)作用于ΔS的面力為ΔF，則面力的平均集度為ΔF/ΔS。與上述相似，令ΔS無限減小而趨于點(diǎn)P，假定面力為連續(xù)分布，則ΔF/ΔS將趨于一定的極限f，即

這個極限矢量f就是該物體在點(diǎn)P所受面力的集度。因?yàn)棣?span id="ihqbptz" class="italic">S是標(biāo)量，所以f的方向就是ΔF的方向。矢量f在坐標(biāo)軸x、y、z上的投影f_x、f_y、f_z，成為該物體在點(diǎn)P的面力分量，以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎刈鴺?biāo)軸負(fù)方向?yàn)樨?fù)，其量綱是L^-1MT^-2。

物體受外力以后，其內(nèi)部將產(chǎn)生內(nèi)力，即物體本身不同部分相互作用的力。為了研究物體在其某一點(diǎn)P處的內(nèi)力，假想用經(jīng)過點(diǎn)P的一個截面mn將該物體分為Ⅰ和Ⅱ兩部分，而將Ⅱ部分撇開，如圖2-2所示，撇開的部分Ⅱ?qū)⒃诮孛?span id="1y6pwnk" class="italic">mn上對留下的部分Ⅰ作用一定的內(nèi)力。取這一截面的一小部分，它包含點(diǎn)P且面積為ΔA，設(shè)作用于ΔA上的面力為ΔF，則內(nèi)力的平均集度，即平均應(yīng)力為ΔF/ΔA。令ΔA無限減小而趨于點(diǎn)P，假定內(nèi)力為連續(xù)分布，則ΔF/ΔA將趨于一定的極限p，即

這個極限矢量p就是該物體在截面mn上點(diǎn)P處的應(yīng)力。因?yàn)棣?span id="toqc4mw" class="italic">A是標(biāo)量，所以p的方向就是ΔF的極限方向。它與物體的形變和材料強(qiáng)度是直接相關(guān)的，應(yīng)力在其作用截面的法線方向及切線方向的分量，也就是正應(yīng)力σ和切應(yīng)力τ，如圖2-2所示。應(yīng)力及其分量的量綱是L^-1MT^-2。

顯然，在物體內(nèi)的同一點(diǎn)P，不同截面上的應(yīng)力是不同的。為了分析這一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，即各個截面上應(yīng)力的大小和方向，在這一點(diǎn)從物體內(nèi)取出一個微小的正六面體，它的棱邊分別平行于三個坐標(biāo)軸且長度為PA=Δx，PB=Δy，PC=Δz，如圖2-3所示。

圖2-2 P點(diǎn)處的應(yīng)力

圖2-3 正平行六面體的應(yīng)力狀態(tài)

將每一面上的應(yīng)力分解為一個正應(yīng)力和切應(yīng)力，分別與三個坐標(biāo)軸平行。正應(yīng)力用σ表示。為了表明這個正應(yīng)力的作用面和作用方向，加上一個下標(biāo)字母。例如，正應(yīng)力σ_x是作用在垂直于x軸的面上，同時也是沿著x軸的方向作用的。切應(yīng)力用τ表示，并加上兩個下標(biāo)字母，前一個字母表示作用面垂直于哪一個坐標(biāo)軸，后一個字母表示作用方向沿著哪一個坐標(biāo)軸。例如，切應(yīng)力τ_xy是作用在垂直于x軸的面上且沿著y軸方向作用的。

如果某一個截面上的外法線是沿著坐標(biāo)軸的正力向，這個截面就稱為一個正面，這個面上的應(yīng)力就以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎刈鴺?biāo)軸負(fù)方向?yàn)樨?fù)。相反，如果某一個截面上的外法線是沿著坐標(biāo)軸的負(fù)方向，則這個截面就稱為一個負(fù)面，這個面上的應(yīng)力就以沿坐標(biāo)軸負(fù)方向?yàn)檎刈鴺?biāo)軸正方向?yàn)樨?fù)。圖2-3上所示的應(yīng)力全都是正的。根據(jù)力矩平衡方程，可得六個切應(yīng)力之間的關(guān)系：τ_xy=τ_yx，τ_zy=τ_yz，τ_xz=τ_zx。這就是切應(yīng)力互等定理：作用在兩個互相垂直的面上并且垂直于該面交線的切應(yīng)力是互等的（大小相等，符號相同）。在物體的任意一點(diǎn)，如果已知σ_x、σ_y、σ_z、τ_yz、τ_zx和τ_xy這六個應(yīng)力分量，就可以求得經(jīng)過該點(diǎn)的任意截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力。因此，上述六個應(yīng)力分量可以完全確定該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。

所謂形變，就是形狀的改變。物體的形狀總可以用它各部分的長度和角度來表示。因此，物體的形變總可以歸結(jié)為長度和角度的改變。

為了分析物體在某一點(diǎn)P的變形狀態(tài)，在這一點(diǎn)沿著坐標(biāo)軸x、y、z的正方向取三個微線段PA、PB、PC。物體變形之后，這三個線段的長度以及它們之間的夾角一般都將有所改變。各線段的每單位長度的伸縮，稱為線應(yīng)變，亦稱正應(yīng)變；各線段之間的夾角的改變，用弧度表示，稱為角應(yīng)變。線應(yīng)變用字母ε表示，如ε_x表示x方向的線段PA的線應(yīng)變。

線應(yīng)變以伸長時為正，縮短時為負(fù)，與正應(yīng)力的正負(fù)號規(guī)定相適應(yīng)。切應(yīng)變用字母γ表示：如γ_xy表示x和y兩方向的線段（PA與PB）之間夾角的改變。切應(yīng)變以夾角變小時為正，變大時為負(fù)，與切應(yīng)力的正負(fù)號規(guī)定相適應(yīng)。在物體的任意一點(diǎn)，如果已知ε_x、ε_y、ε_z、γ_yz、γzx和γxy這六個應(yīng)力分量，就可以求得經(jīng)過該點(diǎn)的任意線段的線應(yīng)變，也可以求得經(jīng)過該點(diǎn)的任意線段之間的角度的改變。因此，上述六個應(yīng)變，稱為該點(diǎn)的形變分量，可以完全確定該點(diǎn)的形變狀態(tài)。

所謂位移，就是位置移動。物體內(nèi)任意一點(diǎn)的位移，用它在x、y、z三軸上的投影u、v、w來表示，以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎刈鴺?biāo)軸負(fù)方向?yàn)樨?fù)。這三個投影稱為該點(diǎn)的位移分量。位移及其分量的量綱是L。

一般而論，彈性體內(nèi)任意一點(diǎn)的體力分量、面力分量、應(yīng)力分量、形變分量和位移分量，都是隨著該點(diǎn)的位置而變的，因而都是位置坐標(biāo)的函數(shù)。

2.1.2 彈性力學(xué)的基本假定

由于工程實(shí)際問題的復(fù)雜性，導(dǎo)致彈性力學(xué)方程未知量的求解困難重重，實(shí)際上也不可能求解。因此，必須分清主次因素，按照所研究物體的性質(zhì)以及求解問題的范圍，在建立力學(xué)模型時，概括出決定固體材料彈性形變的本質(zhì)因素，提出建立宏觀形變基本規(guī)律的若干基本假定，略去一些影響很小的次要因素，使得在此基礎(chǔ)上建立起來的力學(xué)計(jì)算模型既符合客觀實(shí)際，又便于數(shù)學(xué)方法的有效處理，從而使所導(dǎo)出的本構(gòu)方程的求解成為可能，使研究的問題限制在一個方便可行的范圍之內(nèi)。這對于彈性力學(xué)分析是十分必要的。在今后的問題討論中，如果沒有特別的提示，均采用以下的彈性力學(xué)基本假定。

（1）連續(xù)性假定 假定物體是連續(xù)的，也就是假定整個物體的體積都被組成這個物體的介質(zhì)所填滿，不留下任何空隙。這樣，物體內(nèi)的一些物理量，如應(yīng)力、形變、位移等，才可能是連續(xù)的，因而才可能用坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來表示它們的變化規(guī)律。實(shí)際上，一切物體都是微粒組成的，嚴(yán)格來說都不符合上述假定；但是可以想見，只要微粒的尺寸以及相鄰微粒之間的距離都比物體的尺寸小得很多，那么關(guān)于物體連續(xù)性的假定，就不會引起顯著的誤差。

（2）完全彈性假定 假定物體是完全彈性的。所謂彈性，指的是“物體在引起形變的外力被除去以后能恢復(fù)原形”這一性質(zhì)。所謂完全彈件，指的是物體能完全恢復(fù)原形而沒有任何剩余變形。這樣的物體在任一瞬時的形變就完全取決于它在這一瞬間所受的外力，與過去的受力情況無關(guān)。在一般的彈性力學(xué)中，完全彈性的這一假定，表明形變和引起形變的應(yīng)力兩者之間是呈線性關(guān)系的，這種線性的完全彈性體中應(yīng)力和應(yīng)變之間服從胡克定律，其彈性常數(shù)不應(yīng)隨應(yīng)力或形變的大小而改變。

（3）均勻性假定 假定物體是均勻的，即整個物體是由同一材料組成的。這樣，整個物體的所有部分才具有相同的彈性，因而物體的彈性才不隨坐標(biāo)位置而變。如果物體是由兩種或兩種以上的材料組成的，只要每一種材料的顆粒遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體而且在物體內(nèi)均勻分布，這個物體就可以當(dāng)做均勻的。

（4）各向同性假定 假定物體是各向同性的，即物體的彈性在所有各個方向都相同。這樣，物體的彈性常數(shù)才不隨方向而變。

（5）小變形假定 假定物體發(fā)生小變形，即物體位移和形變是微小的。假定物體受力以后，整個物體所有各點(diǎn)的位移都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體原來的尺寸，而且形變和轉(zhuǎn)角都遠(yuǎn)小于1。這樣，在建立物體變形以后的平衡方程時，就可以方便地用變形以前的尺寸代替變形以后的尺寸，而不致引起顯著的誤差；并且，在考察物體的形變與位移的關(guān)系時，轉(zhuǎn)角和應(yīng)變的二次和更高次冪或乘積相對于其本身都可以略去不計(jì)。因此，彈性力學(xué)里的幾何方程和平衡微分方程都可簡化為線性方程。在上述這些假定下，彈性力學(xué)問題都化為線性問題，從而可以利用疊加原理。