讓數學家頭疼了2000多年的問題：平行公理

有一個讓數學家們頭疼了2000多年的一個問題：平行！

我們小學時就學過畫平行線，為什么平行還會讓人頭疼呢？因為平行是所有定義中最難說清的．《幾何原本》上的定義是：在同一平面上，永不相交的兩條直線就叫作平行直線．這句話聽起來還是可以理解的，因為直線是無限長的，如果這兩條直線不平行，只要它們不斷地延長下去，間距肯定會不斷地收緊變窄，最后一定會相交．所以我們說，同一平面內，不相交的線是平行線．然而，難點是我怎么知道兩條直線是平行的呢？難道真的要把兩條直線無限地延長嗎？如果這兩條直線只是非常接近于平行，我們就得延長到宇宙的另一頭才能看到它們相交，那不累死了呀！因此，我們只能通過別的辦法判定．什么辦法？

歐幾里得給出的辦法是：讓這兩條直線和第三條直線相交．如果相交以后，在同一側內的兩個角加起來等于180度，這兩條直線就平行．這就是《幾何原本》的最后一條公設——第五公設的等價命題．到現在，我們已經把歐幾里得的五條公設全部說清楚了：第一，兩點之間只能畫一條直線，簡稱兩點定線；第二，直線無限長；第三，給定半徑和圓心可以畫個圓；第四，所有的直角都相等；第五，兩直線被第三條直線所截，如果相交在同一側的兩個內角相加等于平角，這兩條直線就是相互平行的．和前幾條公設相比，第五條的描述太復雜了，所以這也是最讓人頭疼的一條公設．

第五公設之所以讓人頭疼，就是因為它不太直觀，于是很多數學家就想辦法把它從公設里頭剔除掉，如果能夠通過其他的公理把它給證明了，把它降級為一個定理就更好了．可惜的是，2000多年過去了，沒有任何人取得成功．不但沒人成功，反而有人證明了第五公設不可能通過別的公理證明！而且還有人陸續發現了不遵循第五公設的新的幾何學，關于第五公設有意思的故事有很多，即使講一天也講不完，所以我們就不展開討論了．目前我們學的還是歐氏幾何，所以我們只能先把它當作一個公設給記住了．接下來，我們就研究一下兩條平行線被第三條直線所截的情況．我們知道，兩條直線相交可以產生四個角，那么如果兩條平行直線被第三條直線所截就會有兩個交點，產生八個角，如圖4－4所示．我們的故事就從這三條線和八個角的關系開始了．

兩條相互平行的水平直線被一條斜線所截后，產生了從∠1到∠8的八個角，圖中∠4和∠6的關系就是第五公設所說的，在截線同一側的兩個內角，因為它們都在截線的右側，而且在平行線的內側，所以它們兩者之間的關系叫作同旁內角．當然，在它們對面的∠3和∠5也是一對同旁內角，因為它們同在截線的左側，并且也在平行線的內側．根據第五公設，我們可以推導出：如果兩直線平行，同旁內角相加就等于180度．

同旁內角相加等于180度就能證明兩直線平行，簡稱同旁內角互補，兩直線平行．這就是平行線的判定定理．同理，既然這種方法能夠判定平行了，那么是不是說兩條直線平行，它產生的同旁內角就一定互補呢？沒錯！兩條直線平行，同旁內角互補，這也是一條定理，叫平行線的性質定理．性質定理和判定定理有什么區別？性質定理是在已經知道這兩條直線平行的條件下，可以由此得出哪些角的關系；而判定定理是說，在不知道這兩條直線平行的情況下，應該通過什么條件才能判斷兩條直線平行．那么，是不是只要把判定定理反過來就可以得到性質定理呢，是的！比如，四個角是直角就可以判斷一個四邊形是長方形．那反過來長方形肯定是四個角相等的．但是，性質定理反過來能得到判定定理嗎？這就不一定了，因為圖形的性質不止一個，比如正方形的性質既有四條邊相等，也包含四個角相等．我們不能根據其中的一個條件就判定某個圖形一定是正方形！好了，接下來我們繼續討論平行的問題．在一個相對復雜的圖形上，如何快速找出同旁內角呢？我們可以借助圖4－5中的字母或者漢字的幫助學習一下．

在大寫的英文字母“E”中，由于有上下兩組平行線存在，因此我們至少可以找到三組同旁內角：“E”字圖中的∠1和∠2，∠3和∠4，以及∠1和∠4，都是同旁內角的關系；同樣，在漢字“山”字形的內部，也有著同樣的三組同旁內角．由于我們心中對這些常用字母和漢字有著非常深刻的印象，因此，在面對一個復雜圖形的時候，可以利用這些符號快速捕捉到圖形的特征．

說完了字母“E”和漢字“山”，我們再說說字母“F”．在一個大寫的“F”中，同樣存在水平的兩條平行線被一條斜線截斷的情況．在“F”中，兩條水平線中間的∠1和∠2，仍然是同旁內角的關系，兩者之和仍然是180度，但是，在“F”中下面的∠3和上面的∠1又有什么關系呢？顯然，∠3和∠2是鄰補角的關系，因此，∠3和∠2相加也是180度．記得在我們證明對頂角的時候也發生過類似的情況：兩個角加上同一個角都等于180度，這就可以證明這兩個角相等了，過程如下：

∵AB∥CD（已知），

∴∠1＋∠2＝180°（兩直線平行，同旁內角互補），

∴∠1＝180°－∠2（上式兩側同時減去∠2）．

又∵∠3＝180°－∠2（鄰補角的定義），

∴∠1＝∠3（等量減等量，差相等）．

像“F”形上下的這兩個角（∠1和∠3），因為它們都在兩條直線下方的右側位置上，所以我們把它們叫作同位角．兩條直線平行，同位角相等，這就是平行線的第二個性質定理．同樣，由同位角相等，我們照樣可以推出同旁內角互補，所以根據同位角相等，我們也可以判定兩直線平行，這就是平行線的第二個判定定理．那么，除了字母“F”，還有其他方式能夠發現同位角嗎？如果把不等號放大一下（見圖4－6）我們就會發現：在不等號上，有不止一對同位角，兩條水平線的左上的∠1和∠5、左下的∠3和∠7、右上的∠2和∠6、右下的∠4和∠8都是同位角，這四對同位角都是彼此對應相等的．

此外，在這幅“三線八角”的圖上還有一個角，和同位角對著的，就是同位角的對頂角，比如在右上角的方位上：∠6的同位角是∠2，∠2的對頂角是∠3，∠3和∠6共用一條邊，其他兩條邊相互平行，結果拼成了一個“Z”字形，那么它們之間是什么關系呢？顯然，因為∠3和∠2是對頂角，它倆是相等的，又因為∠2和∠6相等，所以∠3和∠6也應該是相等的．因為這兩個角存在于兩條平行線內部，同時又交錯分布在截線的兩側，所以就叫內錯角．沒錯，字母“Z”的上下兩個角就是一對內錯角，同樣，字母“N”的左右兩個角也是內錯角關系，除了∠3和∠6之外，∠4和∠5也是一對內錯角．內錯角相等同樣既是平行線的性質定理，又是它的判定定理．

同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補，這三個性質就是平行線的基本性質，同時，這三者之間具有等價的關系，三者中的任何一個，都可以判定兩條直線之間的平行關系．而這些定理全部都是源于歐幾里得第五公設．