四 初窺幾何證明

解決直角的牛皮：角度和垂直

古埃及人開始用牛皮覆蓋住地面的方式來平分土地，可是有一位智者發出了不同的聲音：我們為什么非要用整張牛皮把地面蓋住呢？要想讓土地的面積相等，只需要長、寬分別相等就行了．我們完全可以把牛皮搓成牛皮繩，直接用4根牛皮繩圍著土地的邊緣轉一圈，把4條邊的長度都用繩子記錄下來，不就可以了嗎？大家一想：好像也對，于是很快就都學會了這種新辦法，這樣一來就省得折騰那么多張牛皮了，分地的效率也大大提高了！事實上也沒有那么多塊牛皮可以用，現在我可以告訴你，用整張牛皮蒙住地面的辦法壓根就沒有發生過．這只是為了講清楚歐幾里得的5條公理虛構出來的故事而已．但是，我們剛才提到的用繩子分別測量邊長的辦法，可是一直在古埃及流行了好多好多年的．盡管這種辦法是錯誤的！

它的問題在于：只用繩子量取了土地的四邊長度，并不能保證土地的形狀是完全一樣的，如果這塊土地不是長方形的，換句話說，如果長邊、寬邊不是完全垂直的，那么用這種辦法得到的圖形，它就不是完全相等的．我們在小學的時候學過，長方形的面積等于長乘寬，但是平行四邊形的面積，可不等于長乘寬，而是等于長乘高．可是古代埃及人，他們并不懂得這個道理．同時我要說明的是，如果平行四邊形只是傾斜了一點點，它的面積和長方形的面積差得并不多．比如，當平行四邊形的一個角度是80度時，看上去傾斜度就很大了，但是它的面積和斜邊為寬度的長方形差距卻不到2%．這一點微弱的差別很容易被忽略，所以在相當長的時間內，古埃及人沒有發現這種方式存在的問題．然而，歷史在發展，人類在進步，隨著測量精度的不斷提高，他們就慢慢感覺出來了，雖然長寬一樣，但是這個傾斜著的土地它好像就是不如長方形的地種出來的糧食多．于是，大家都不愿意要平行四邊形的土地了，大家都希望能把土地分割得方方正正的．可問題是，要想把土地分割成長方形，我們就得保證土地的4個角都是直角．那么新的問題來了，我們用牛皮和繩子，怎么樣才能做出完美的直角呢？

這時，又有一個人發明了一個好辦法：首先他把一張牛皮上下對折一下，于是就會在牛皮上折出一條直線的折痕來，然后他再把這張牛皮左右對折一下，對折的時候把原來折的那條水平線對齊了，這樣就又折出一條新的折痕來．（如圖4－1）經常玩折紙的人，應該很容易理解我的意思，其實就是通過兩條折痕，在白紙上折出一個十字來．現在就好辦了，這個十字中的任何一個角都是直角了．這種操作本身很簡單，大家很容易掌握，可是我要問：為什么通過這種辦法得到的角就是直角呢？其中的關鍵在于，我們在折牛皮的時候，是把前面的那條折痕對齊了的，既然是對齊了，那就說明折出來的兩個角是相等的，在此過程中我們利用的是幾何學的第一公理：相互覆蓋的兩個東西相等．那么，這兩個相等的角又分別是多少呢？由于這兩個角的角度加起來是一個平角，所以它們的大小就是平角的一半，180度的一半是90度，所以它們當然就都是直角了．在這個過程當中，我們可以發現，任何一張牛皮、任何一張紙，只要是按照這種辦法對齊了折兩次，他們得到的角都是直角，角的度數也都是一樣的．這就是歐幾里得的第一個重要的公設：凡是直角都相等！

圖4－1

不過古埃及人可不懂這么多，它們只知道靠著折疊牛皮的辦法，就可以快速得到直角了，然后只要帶有十字折痕的牛皮，往地上一扔，只要土地的長、寬兩條邊和十字對齊了，那就說明這個土地是方的．這塊牛皮好不容易被細繩取代了，但因為要解決直角的問題，它又重新走回來了，看來分土地還是離不開牛皮的幫助．

古埃及人可以不管直角是什么，但是我們卻不能不管，現在我們需要繼續研究幾何問題：直角的定義是什么？除了直角之外，還有哪些角？小學的時候我們就學過，角是射線圍著它的端點轉出來的結果．如果這條射線轉了一整圈，那就是360度，叫作周角；如果只轉了半圈，就形成了一條直線，這樣的角度是周角的一半，因此就是180度，180度的角叫作平角．平角的一半就是90度，90度的角就叫直角．但是，我們之前說過，幾何學是沒有數字的數學，因此，我們不能通過90度來定義直角，那應該怎么表達呢？歐幾里得的定義是：當兩條直線相交時，如果相交所得的兩個鄰角相等，那么它們兩個就都是直角．很明顯，他是通過平角的一半定義直角的．同時他還指出：成直角的兩條直線相互垂直，其中任意一條都叫作另一條的垂線．那么，如果這個角度小于直角呢？就叫作銳角．為什么叫銳角？因為這個角度看起來比較尖，比較銳利．反之，如果這個角度大于直角，就叫作鈍角．這些知識都是我們小學的時候就掌握了的，現在新的問題來了，兩條直線相交以后會產生4個角，這些角之間有什么關系呢？

如圖4－2所示，AB和CD兩條直線相交，產生了一個X形：其中上下的兩個角∠1和∠3共用了同一個頂點，還共用了兩條直線，這個狀態看起來是針鋒相對的，就像兩個牛犄角對著頂在了一起，所以我們就把這對角叫作對頂角．同樣，左右兩邊的∠2和∠4也是對頂角．只要是共用一個頂點，共用兩條線的一對角都叫對頂角．那么，像∠1和∠2這樣緊挨在一起的又是什么關系呢？由于∠1和∠2是一條直線被另一條直線裁成兩半了，又因為它們兩個彼此緊鄰著，所以我們就把這樣的一對角叫作鄰補角．因為可以拼成一個平角，所以兩個鄰補角之和等于180度．

圖4－2

這個鄰補角等于180度很容易理解，那么對頂角∠1和∠3是什么關系呢？憑直覺我們都能想到，這兩個角肯定是相等的關系．但是為什么兩條直線相交以后，產生的對頂角就一定是相等的呢？