數(shù)字都是沒有算完的算式：一切都在運動變化之中

是一個數(shù)字嗎？

你一定會說：它當(dāng)然是數(shù)字了，這不就是標(biāo)準(zhǔn)的分?jǐn)?shù)嗎？但我要告訴你：它不是一個數(shù)字，而只是一個除法算式，只不過我們把除號上下的兩個點去掉了，然后把除法上的除數(shù)與被除數(shù)堆放在一起了，它只是3÷7的簡寫而已，這么說也有一定道理吧．那么，3.5是數(shù)字嗎？也不是，因為3.5不過是3＋0.5，把0.5放在整數(shù)3的后面而已．那么0.5是數(shù)字嗎？當(dāng)然也不是了，不過是5÷10這個算式的省略寫法而已．這么說來，23也不是數(shù)字，因為23只不過是20＋3，把加號去掉了，把3寫在了20后邊那個0的位置上而已．

按照這個道理來看，似乎只有0至9這10個數(shù)字是數(shù)字了，其他都不是數(shù)字．你又說錯了，實際上只有0和1是數(shù)字，其他數(shù)字只是一個代號而已，1＋1＝2說明了什么？它說明世界上根本不存在2這個數(shù)字，只不過是為了書寫方便，把1＋1這三個字符寫成了2的形狀而已．那么5當(dāng)然就是1＋1＋1＋1＋1的縮寫了．如果說1也是0＋1的縮寫，這個邏輯是對的，我可以只通過1和加號組合出2以及后面的數(shù)字來，卻不能通過0加上任何符號組合出1來．從0到1，是從無到有的過程，這個過程是不能忽略的．正是由于數(shù)字的本質(zhì)都是0和1的組合，所以我們才能夠在計算機(jī)和手機(jī)的屏幕上看到一個精彩紛呈的世界．

1＋1＝2，2＋1＝3，從1開始，逐次加1，我們可以得到所有的自然數(shù)；因為一個個地數(shù)下去太麻煩，所以我們發(fā)明了加法，這樣就可以不用挨個數(shù)一遍，就知道3＋5的結(jié)果等于8．同時，當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)自己在反復(fù)增加同一個數(shù)字的時候發(fā)現(xiàn)了乘法，因為乘法只是加法的一種簡便算法，所以通過乘法得到的所有數(shù)字，通過加法也同樣可以得到．因此通過乘法，我們并不能得出新的數(shù)字類型來．如果我們把乘法反過來就會得到除法．有了除法我們就發(fā)現(xiàn)，雖然任何兩個數(shù)相乘都可以得到一個自然數(shù)，但任何兩個數(shù)相除卻不一定能夠得到自然數(shù)．比如，3×2＝6，3×3＝9，6和9除以3當(dāng)然能夠得到自然數(shù)，但如果6和9中間的某個數(shù)除以3，就會得到一個比2大比3小的數(shù)．但是在自然數(shù)中2后面一個數(shù)就是3，3前面一個數(shù)是2，兩者之間根本就沒有其他數(shù)字了．因此，要表達(dá)無法被整除的數(shù)字，就需要用到一種新的數(shù)字類型：分?jǐn)?shù)．

和自然數(shù)一樣，分?jǐn)?shù)的個數(shù)也有無數(shù)多個，但是由于分?jǐn)?shù)和自然數(shù)之間有著密切的關(guān)系，所以我們卻不能再創(chuàng)造一種全新的符號來表示分?jǐn)?shù)，而只能通過簡化算式的方式來表示它，比如把3÷7的結(jié)果表示為．其中的含義也就是把1平均分成7份以后，取其中的3份．于是我們就知道，分?jǐn)?shù)并非是一種數(shù)字，它只不過是一個簡化了的除式而已．

如果分?jǐn)?shù)只是一個簡寫的除式，那它有什么意義呢？是不是僅僅在書寫的時候少寫兩個點呢？當(dāng)然不是，分?jǐn)?shù)一旦作為一種新的數(shù)系出現(xiàn)，它就會有自己的加減乘除運算規(guī)律，這個我們已經(jīng)在小學(xué)階段學(xué)過了，這里就不再贅述．而且我們還知道，分?jǐn)?shù)是可以化簡的，雖然我們把3張餅分給7個人，只能得到這樣的數(shù)字，但是如果我們把3張餅分給6個人，卻可以得到這樣的數(shù)字，雖然在數(shù)量上等于，但和的含義卻是不同的．比如說我們在分餅的時候，表示的是6個人圍著3張餅一起分，卻不知道該怎么分；而則是把6個人先平均分成3組，把3張餅先平均分到3個小組中，然后每個小組兩個人再各自分1張餅．

因為除法是乘法的逆運算，所以我們得到了一種全新的數(shù)系，那么減法是加法的逆運算，是不是也可以得到一種全新的數(shù)系呢？把3張餅分給7個人不夠分，就會出現(xiàn)，那么，如果我們要把3張餅分給7個人，還必須要求每人分得1張，會得到什么數(shù)字呢？那么算式就不再是了，而是3－7．由于3－3＝0，所以3－7肯定會得到一個小于0的數(shù)字，它比0還要小4，也就是說還要差4張餅才夠每人1張．在自然數(shù)的數(shù)系中，小于0的數(shù)字同樣是不存在的．那么怎么辦？參照分?jǐn)?shù)的處理辦法，如果我們把3除以7寫作，那么3－7不就可以直接寫成3－7嗎？不過我們還必須像分?jǐn)?shù)的化簡一樣，把3－7這個數(shù)字也化簡一下，得到0－4，再把0隱藏掉，于是就得到了－4這樣一個簡化的算式，進(jìn)而我們可以得到負(fù)數(shù)這種新的數(shù)系．

同理，如果我們把一個數(shù)字乘以自己叫作平方，那么平方的逆運算就是尋找哪一個數(shù)字平方后才能得到已知的數(shù)字，這個運算叫作開方．任何一個整數(shù)平方以后都可以得到一個整數(shù)，任何一個分?jǐn)?shù)平方后都可以得到一個分?jǐn)?shù)．但是，反過來，并不是所有的整數(shù)和分?jǐn)?shù)都可以順利地開方，那些通過開方無法順利得到的數(shù)字，叫作無理數(shù)．

總結(jié)一下，乘法、乘方都是加法的變形、加法的簡便算法，因此乘法和乘方不會帶來新的數(shù)字類型，但是他們的逆運算——除法、開方和減法就不同了．當(dāng)除法除不盡的時候，我們發(fā)明了一種數(shù)字叫作分?jǐn)?shù)；當(dāng)小數(shù)減大數(shù)不夠減的時候，我們得到了負(fù)數(shù)；當(dāng)開方開不出的時候，我們又發(fā)現(xiàn)了一種數(shù)字叫作無理數(shù)．分?jǐn)?shù)、無理數(shù)、負(fù)數(shù)，這三類數(shù)字都是從自然數(shù)演化而來的，統(tǒng)稱為實數(shù)，實數(shù)就是初中數(shù)學(xué)涉及的所有數(shù)字．在小學(xué)階段，我們學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)就要立刻學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的加減乘除法則；同樣，在初中階段學(xué)習(xí)了負(fù)數(shù)和無理數(shù)后，也要學(xué)習(xí)這些數(shù)字的加減乘除、乘方開方的運算．

我為什么要強(qiáng)調(diào)這些數(shù)字都是一個個沒有算完的算式呢？因為我要讓你回歸到數(shù)學(xué)的本質(zhì)，以一個宏觀的視角看待數(shù)學(xué)．別忘了，我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的，是為了更好地認(rèn)識世界和改造世界．我們必須認(rèn)識到：整個世界的一切都在運動變化之中，那些看起來靜止不變的數(shù)字，其實描述的都是千變?nèi)f化的運算過程．那么，為什么我要強(qiáng)調(diào)運算過程呢？因為我們初中階段學(xué)習(xí)的是代數(shù)，接觸更多的并不是數(shù)字，而是有很多字母組成的算式．如果我們沒有這樣的認(rèn)識，過早地沉入復(fù)雜和煩瑣的計算之中，很快就會在浩如煙海的數(shù)學(xué)中迷失自己的方向．