2.6 欠定方程的求解

前面介紹方程時，一直在假設方程的個數與未知數的個數是一致的，這些方程都是正常的方程，本節將探討異常的方程類型——欠定方程的概念與求解方法。

定義2-11 如果方程的個數等于未知數的個數，則方程稱為適定方程（wellposed equation，又稱恰定方程）；如果方程的個數少于未知數的個數，則方程稱為欠定方程（underdetermined equation）；如果方程的個數大于未知數的個數，則方程稱為超定方程（overdetermined equation）。

前面演示的隱式方程f(x,y)=0就是一個常見的欠定方程，如果由ezplot()或fimplicit()函數用圖解法求解，則得出的曲線上所有的點都滿足原欠定方程，這時，欠定方程有無窮多解。

在一些特殊的場合下，用隱函數繪制函數不能繪制出任何曲線，這時方程可能有個別孤立解。這種情況下也可以考慮采用fsolve()函數直接求解，不過在默認的設置下，fsolve()函數并不能求解方程與未知數個數不同的代數方程，需要將求解算法設置成levenberg-marquardt，即采用Levenberg–Marquardt算法求解欠定方程。如果采用more_sols()函數，也應該作相應的算法設置。本節將通過例子演示具有孤立解的欠定方程求解方法。

例2-45 試求解下面的欠定方程。

解 如果手工求解可以發現，原欠定方程可能分拆成兩個獨立方程，這樣，方程的個數與未知數的個數一致，就可以調用more_sols()類函數直接求解方程。

手工轉換的方法帶有很多的人為性，因為并不是所有欠定方程都是可以手工拆分的。這里不作這種手工轉換，試圖直接求解欠定方程。

如果嘗試用下面的語句繪制隱函數曲線，在調用過程中沒有任何警告信息，但最終不能得到任何曲線，說明方程只可能存在有限個孤立解。

現在可以人為地選擇Levenberg–Marquardt算法，再求解欠定方程，經過一段時間的運行，有可能找出該欠定方程所有的9個根。

得出的方程的9個解為(?2.8051,3.1313)、(3,2)、(0.0867,2.8843)、(3.3852,0.0739)、(3.5844,?1.8481)、(?3.7793,?3.2832)、(?0.1280,?1.9537)、(?3.0730,?0.0813)和(?0.2708,?0.9230)，其中，搜索第四個解比較耗時。