第1章　機械零部件疲勞強度與壽命

1.1　零部件疲勞失效與疲勞壽命

1.1.1　疲勞失效及其特點

工程裝備中多數機械零部件承受的工作載荷都是隨時間而變化的波動載荷。結構零部件在循環載荷作用下，在某個或某些高應力部位產生損傷并逐漸累積，導致性能退化，裂紋萌生、擴展直到完全斷裂的失效形式，稱為疲勞失效。由于疲勞這種失效機理存在，機械設備及其零部件就有了疲勞壽命的概念，或使用壽命問題。一般規律是，循環應力水平越高，承力零部件的疲勞壽命就越短。

疲勞失效與靜強度失效有本質的區別。靜強度失效是由于零件的危險截面上的應力大于其抗拉強度導致斷裂失效，或大于屈服極限產生過大的殘余形變導致失效；疲勞失效是由于零件局部應力最大處在循環應力作用下形成微裂紋，然后逐漸擴展為宏觀裂紋，宏觀裂紋再繼續擴展而最終導致斷裂。疲勞失效有如下特點：

1）低應力性。在循環應力的最大值遠低于材料的抗拉強度R_m，甚至遠低于材料屈服強度R_eL的情況下，疲勞失效就可能發生。

2）突發性。不論是脆性材料還是塑性材料，其疲勞失效在宏觀上均表現為無明顯塑性變形的脆性突然斷裂，即疲勞失效一般表現為低應力脆斷。

3）時間性。靜強度失效是在一次最大載荷作用下發生的失效；疲勞失效是在循環應力的多次反復作用下損傷逐漸累積產生的，因而要經歷一定的時間，甚至很長的時間之后才會發生。

4）敏感性。靜強度失效的抗力主要取決于材料本身，而疲勞失效的抗力對零件尺寸、幾何形狀、表面狀態、使用條件以及環境介質等都很敏感。

5）疲勞斷口。疲勞失效的宏觀斷口上，存在疲勞源（比較光滑的疲勞裂紋形核區）、疲勞裂紋擴展區（平滑、波紋狀）和瞬斷區（粗粒狀或纖維狀）。

1.1.2　機械零部件常見疲勞失效形式

機械零部件的疲勞失效有高周疲勞、低周疲勞、高溫疲勞、熱疲勞、腐蝕疲勞等疲勞失效形式。

1）高周疲勞。結構零部件在低于其屈服強度的循環應力作用下，一般經過10⁴～10⁵次以上的應力循環產生的疲勞失效。高周疲勞應力較低，材料處于彈性范圍內，也稱應力疲勞，它是機械結構與零部件最常見的疲勞形式。

2）低周疲勞。結構零部件在接近或超過其屈服強度的循環應力作用下，在低于10⁴～10⁵次載荷循環下產生的疲勞失效。由于其應力超過了彈性極限，產生較大塑性變形，損傷控制參量是應變，也稱為應變疲勞。

3）超高周疲勞。近年來，高速列車、汽車、航天器中的某些核心部件，承受的疲勞循環已達10⁸～10¹⁰次甚至更高。研究結果表明，某些高強鋼材料在10⁷次以上的仍會發生疲勞斷裂，不存在傳統的疲勞極限，稱為超高周疲勞失效。

4）高溫疲勞。在高溫環境下，零件承受循環載荷發生的疲勞失效。高溫是指約在材料熔點T_m的50%以上（T_m以絕對溫度表示）或再結晶溫度以上的溫度水平。高溫疲勞一般是疲勞與蠕變共同作用的結果。

5）熱疲勞。由循環變化的溫度引起結構零部件中的應力或應變循環變化，這種循環應力與循環應變產生的疲勞稱為熱疲勞。

6）腐蝕疲勞。在腐蝕性介質（如酸、堿、海水、淡水、活性氣體等）和循環載荷聯合作用下產生的疲勞。

1.1.3　疲勞設計準則

結構零部件在較高的循環應力作用下服役，且有使用壽命要求時，需要進行抗疲勞設計。疲勞設計方法有名義應力法、局部應力應變法、損傷容限設計法（斷裂力學方法）等。

1.1.3.1　名義應力準則

名義應力準則是以零部件上最大的名義應力值為控制參數進行疲勞強度設計的準則，適用于高周疲勞強度設計。具體做法是，從材料的S-N曲線出發，以零部件上最高應力點的名義應力值為載荷參數，計入有效應力集中系數K_σ、零件尺寸系數ε、表面系數β 和平均應力系數ψ_σ等影響因素，得到零件的S-N曲線，依此進行零部件疲勞強度設計的方法。

當S-N曲線的縱坐標σ和橫坐標N都取對數時，一般有如圖28-1-1所示的以P為交點的兩條直線段組成的折線形S-N曲線。對于鋼材，交點的壽命N₀一般在10⁷次左右。該壽命對應的循環應力水平稱為疲勞極限。

根據平行于橫軸的直線（疲勞極限）進行的設計稱為無限壽命設計。根據斜線進行的設計稱為有限壽命設計。名義應力法通常也稱為常規疲勞設計法。詳見本篇第3章。

1.1.3.2　局部應力應變準則

在應力水平較高的場合，零部件局部最大應力處可能會出現塑性屈服現象。這時，只用應力參量已不能很好地表述零部件的疲勞特性。以零部件應力集中處的局部應力、應變為基本設計參數的疲勞強度設計準則，稱為局部應力應變準則。零部件的破壞都是從應力集中部位或應力最高處開始的，應力集中處的塑性變形是疲勞裂紋形成和擴展的主要控制參量，因此局部最大應變決定了零部件的疲勞壽命。

根據相同的循環應變產生相同疲勞損傷的原則，可以根據光滑試樣的應變-壽命曲線估算零部件危險部位的損傷及壽命，從而得到零部件的疲勞裂紋形成壽命。詳見本篇第4章。

1.1.3.3　損傷容限設計準則

機械零部件，尤其是大型零部件，往往存在一定尺寸的初始缺陷甚至初始裂紋。損傷容限設計準則是在承認零部件存在初始裂紋的前提下，應用斷裂力學方法來估算其剩余壽命（裂紋擴展壽命），保證在使用期內裂紋不至于擴展到引起破壞的程度，即保證有裂紋的零部件在服役期內的使用安全。詳見本篇第5章。

1.1.3.4　多軸疲勞準則

多軸疲勞是指多向應力或應變作用下的疲勞。多軸疲勞損傷發生在多軸循環加載條件下，加載過程中有兩個或三個應力（或應變）分量獨立地隨時間發生周期性變化。這些應力（應變）分量的變化可以是同相位的、按比例的，也可以是非同相的、非比例的。

服役中的各種航空航天飛行器、壓力容器、核電站、發電廠以及交通運輸工具中的一些主要零件通常是承受復雜的多軸比例與非比例交互循環載荷的作用。早期處理復雜應力狀態下的多軸疲勞問題時，常將多軸問題利用靜強度理論等效成單軸狀態，然后利用單軸疲勞理論處理復雜的多軸疲勞問題。這樣的處理方法在處理比例加載下的多軸疲勞問題時是可行的。但對于非比例多軸加載問題，由于非比例加載下的疲勞行為完全不同于單軸或比例多軸疲勞加載下的特性，尤其在非比例變幅加載下，應用傳統的單軸疲勞理論來預測其疲勞損傷十分困難。

近年來，預測多軸疲勞壽命的臨界平面法得到較快的發展和應用。該方法基于斷裂模型及裂紋萌生機理，認為裂紋發生在某一特定平面上，疲勞損傷的累積、壽命預測都在該平面上進行，具有一定的物理意義。臨界平面法首先要找到最大損傷平面（臨界平面），然后將其面上的剪切和法向應力（應變）進行各種組合來構造多軸疲勞損傷參量，建立多軸疲勞壽命預測方程。確定臨界平面的方法有多種，根據不同的損傷參量可以得到不同的判斷準則。

1.2　疲勞載荷

載荷可分為兩大類，即靜載荷和動載荷。動載荷又分為周期載荷、非周期載荷和沖擊載荷。周期載荷和非周期載荷統稱為疲勞載荷。

一般機器和零件承受的載荷，大都是一個連續的隨機載荷。承受隨機載荷的零件，在進行疲勞強度計算、壽命估算和疲勞試驗之前，必須先確定其載荷譜。在機器工作時直接測得的載荷-時間歷程稱為工作譜或使用譜。由于隨機載荷的不確定性，一般需要對工作譜進行統計處理。經過處理后的載荷-時間歷程稱為載荷譜，能很好地反映零件的疲勞載荷特征。將實測的載荷-時間歷程處理成具有代表性的典型載荷譜的過程稱為編譜，編譜的重要環節是應用統計理論來處理所獲得的實測子樣。

統計處理隨機載荷歷程的方法主要有：循環計數法和功率譜法。循環計數法是從載荷-時間歷程中確定出不同載荷參量值及其出現的次數。功率譜法是借助傅氏變換，將連續變化的隨機載荷分解為無限多個頻率成分，得出其功率譜密度函數。用功率譜密度函數進行疲勞分析也稱為疲勞的頻域分析方法。基于循環計數的方法稱為時域分析方法。

對于疲勞強度與疲勞壽命來說，最主要的是載荷幅值的變化情況，故廣泛使用循環計數法。

1.2.1　循環應力

隨時間周期性變化的應力稱為循環應力。最簡單的循環應力為恒幅循環應力。圖28-1-2是四種循環特征不同的應力變化規律。

圖中σ為正應力，t為時間。各應力分量：

σ_max——最大應力，即應力循環中具有最大代數值的應力；

σ_min——最小應力，即應力循環中具有最小代數值的應力；

σ_m——平均應力，即應力循環中最大應力和最小應力的代數平均值；

σ_a——應力幅，即應力循環中最大應力和最小應力代數差的一半。應力符號規定拉應力為正，壓應力為負。

平均應力σ_m、應力幅σ_a、最大應力σ_max、最小應力σ_min之間有如下關系

　　（28-1-1）

　　（28-1-2）

　　（28-1-3）

　　（28-1-4）

應力每一周期性變化稱為一個應力循環。定義應力比r為

　　（28-1-5）

對于對稱循環，r=-1；對于脈動循環，r=0；靜應力可以看作應力幅為零的循環應力，此時r=+1。應力循環的應力比在-1≤r≤+1范圍內取值。

一種循環應力狀態，一般可用σ_max、σ_min、σ_m、σ_a和 r五個參數中的任意兩個來確定。如果作用的應力是切應力時，各應力分量之間的關系有

　　（28-1-6）

　　（28-1-7）

　　（28-1-8）

　　（28-1-9）

1.2.2　循環計數法

把一個隨機的載荷-時間歷程處理成一系列的全循環或半循環的過程稱為循環計數法。循環計數法可分成兩大類：單參數計數法和雙參數計數法。單參數計數法只記錄載荷譜中的一個參量，如峰值或范圍（變程），不能給出載荷循環的全部信息。屬于這種計數方法的有：峰值計數法，穿級計數法和范圍計數法等。雙參數計數法可以記錄載荷循環中的兩個參量。由于載荷循環中只有兩個獨立參量，因此雙參數計數法可以記錄載荷循環的全部信息。屬于這種計數方法的有：范圍對計數法，跑道計數法和雨流計數法等。使用最廣泛的是雨流計數法。該法在計數原理上有一定的力學依據，易于實現自動化、程序化。

雨流法的計數原理如下。

如圖28-1-3所示。對一個實際的載荷時間歷程，取一垂直向下的縱坐標軸表示時間，橫坐標軸表示載荷。這樣載荷-時間歷程形同一座寶塔，雨點以峰值、谷值為起點向下流動，根據雨點向下流動的跡線，確定載荷循環，這就是雨流法（或稱塔頂法）名稱的由來。其計數規則如下。

1）雨流的起點依次在每個峰（谷）值的內側開始。

2）雨流在下一個峰（谷）值處落下，直到對面有一個比開始時的峰（谷）值更大 （更小）值為止。

3）當雨流遇到來自上面屋頂流下的雨時就停止。

4）取出所有的全循環，并記下各自的振程。

5）按正、負斜率取出所有的半循環，并記下各自的振程。

6）把取出的半循環按雨流法第二階段計數法則處理并計數。

根據上述規則，圖28-1-3（a）中的第1個雨流應從O點開始，流到a點落下，經b與c之間的a'點繼續流到c點落下，最后停止在比谷值O更小的谷值d的對應處。取出一個半循環O-a-a'-c。第二個雨流從峰值a的內側開始，由b點落下，由于峰值c比a大，故雨流停止于c的對應處，取出半循環a-b。第三個雨流從b點開始流下，由于遇到來自上面的雨流O-a-a'，故止于a'點，取出半循環b-a'。因b-a'與a-b構成閉合的應力-應變回線，則形成一個全循環a'-b-a。依次處理，最后可以得到在圖28-1-3（a）所示的載荷-時間歷程中三個全循環：a'-b-a，d'-e-d ，g'-h-g和三個半循環：O-a-a'-c，c-d-d'-f，f-g- g' -i 。

圖28-1-3（b）是該載荷歷程作用下的材料應力-應變回線，可見與雨流法計數所得結果是一致的。

一個實際的載荷時間歷程，經過雨流法計數并取出全循環之后，剩下的半循環可能會構成一個發散-收斂的載荷譜，如圖28-1-4（a）所示，按上述雨流法規則無法繼續計數。如把它改造一下使之變成一個收斂-發散譜后，如圖28-1-4（b）所示，就可繼續用雨流法計數，這就是雨流法計數第二階段。

圖28-1-4（a）為一發散-收斂譜，從最高峰值a₁或最低谷值b₁處截成兩段，使左段起點b_n和右段末點a_n相連接，構成如圖28-1-4（b）那樣的收斂-發散譜，則繼續用雨流法計數直到完畢。

除了雨流計數法以外，峰值計數法和幅值計數法相對更加便于應用。峰值計數法是把載荷-時間歷程中的全部峰值和谷值都進行計數，統計每一級載荷的頻次數，如圖28-1-5所示。幅度計數法是對相鄰的峰值和谷值的差值，或是一次循環中最大載荷與最小載荷的差值進行計數，統計出不同幅度（變程）的頻次數，如圖28-1-6所示。

1.2.3　載荷譜編制

由實際的載荷-時間歷程簡化成典型載荷譜的過程，稱為“載荷譜編制”，簡稱“編譜”。編譜時必須遵循損傷等效原則，即把一個連續的隨機載荷對零件所造成的損傷等量地反映出來。由于載荷譜具有典型性、集中性和概括性的特點，因而成為疲勞試驗的基礎，也是疲勞壽命估算的依據。

載荷譜有三種類型，即恒幅載荷譜、程序塊載荷譜和隨機載荷譜。恒幅載荷譜的最大值和最小值不隨時間變化。程序塊載荷譜以離散的變幅值的程序塊代替連續的隨機載荷。隨機載荷譜是在頻域中用人工制造的振動來合成實際載荷歷程。恒幅載荷譜常用于材料疲勞性能試驗，也用于疲勞分析方法的研究，以及用于比較結構疲勞性能的優劣。隨機載荷譜比較嚴密精確，但要有專用的疲勞試驗機，試驗費用較高。程序塊載荷譜沒有考慮載荷順序的影響，但試驗費用較低。一般的編譜過程多指程序塊載荷譜的編制。

載荷譜除以載荷-時間歷程給出之外，機械工程中還常以力矩-時間歷程、轉矩-時間歷程等形式給出。

1.2.3.1　累積頻數曲線

累積頻數曲線也叫載荷累積頻數圖。根據疲勞載荷進行雨流法循環計數，得到各級載荷出現的頻數。如果子樣的數量足夠大，可以將統計結果以累積頻數曲線表示出來，如圖28-1-7中的光滑曲線。

還可將載荷累積頻數轉化成概率密度函數，其均值及標準差都可求出。根據概率密度函數可寫出相應的概率分布函數。正態分布函數和威布爾分布函數都可以用來描述疲勞載荷數據。

正態概率分布函數形式為

　　（28-1-10）

式中　A——幅值；

σ——母體標準差；

μ——母體均值。

威布爾概率分布函數形式為

　　（28-1-11）

式中　γ——位置參數；

η——尺度參數；

β——形狀參數。

實際工作中，由于受測試時間及費用等限制，一般情況下，人們只能實測整個機械壽命中很小一部分載荷-時間歷程。在較短時間內測得的載荷-時間歷程難以保證出現整個壽命中的最大載荷。因此，一般建議借助統計方法推算在10⁶次載荷循環中會出現一次的最大載荷，并將此載荷作為整個壽命周期中的最大載荷。

當零件的工況比較復雜、不能用一種典型工況表示時，需要分別求出每種工況各自的累積頻數，再將各種典型工況的累積頻數相加，得到總累積頻數，然后再將其擴充為含10⁶次載荷循環的累積頻數圖。

1.2.3.2　載荷譜編制

編制載荷譜時，首先應確定一個包括所有狀態的譜時間T_S，即所編制的典型譜代表多少工作小時。其次應根據產品實際使用或計劃使用情況，給出各種載荷狀態在整個壽命期內所占的比例。據此推知在譜時間T_S內幅值發生的總頻數。

在用雨流計數法處理載荷-時間歷程的過程中，沒有考慮載荷的作用順序和載荷頻率的影響。就所編制的程序載荷譜而言，載荷級數多少、載荷塊大小以及加載順序對疲勞壽命都有影響。為減小所編制的程序載荷譜所產生的這些影響，常把簡化后的程序載荷譜的周期取得短一些，即把程序塊的容量減小，塊數增加，總周期不變。

通常采用8級載荷代表連續載荷譜，如圖28-1-7所示。圖中各級幅值A₁、A₂、…、A₈與最大幅值之比依次為0.125、0.275、0.425、0.575、0.725、0.85、0.95、1。若程序塊的重復次數為k，總壽命為N次循環，則每個程序塊的循環次數n_i應取為

　　（28-1-12）

為了減少加載順序對計算或試驗結果的影響，必須使程序塊多次重復，一般應在試樣或零件壽命周期內重復10～20次。每個程序塊中各級幅值次數占比由雨流計數法得到。

用8級載荷可以組成各種加載程序，常用的加載順序有4種，如圖28-1-8所示。

試驗結果表明：低-高加載試樣壽命偏長；高-低加載試樣壽命偏短，后2種加載方式接近隨機加載情況。

1.2.3.3　應用舉例

編譜步驟：首先將連續載荷時間歷程變成由峰谷值表征的離散載荷時間歷程，再用循環計數法獲得載荷幅值的統計數據并進行分組，一般情況下可分成10～20組為宜。然后求出每組中載荷出現的頻數n，頻率f =n/N₀，累積頻數N，累積頻率F，其中N₀為整個載荷歷程中的載荷總數。最后得到載荷頻數曲線。有了載荷頻數曲線就可以根據情況編制各種形式的載荷譜。

將實測的一段載荷時間歷程進行離散化處理，離散后的載荷數據：整個載荷歷程峰谷值總數N₀=1399，最大載荷P_max=1300N，最小載荷P_min=0。將載荷值分成13組，將雨流計數后的數據進行統計，得到各組中載荷循環的頻數n、頻率f、累積頻數N和累積頻率F，列于表28-1-1中。

以載荷為縱坐標，累積頻數為橫坐標（對數坐標），擬合數據得到累積頻數曲線，如圖28-1-9中曲線AB所示。

外推累積頻數曲線的作法：首先將測得的累積頻數曲線AB向右平移至A'B'，使B'點的橫坐標N=10⁶，如圖28-1-9所示。其次確定外推后的累積頻率曲線的最大載荷P'_max，曲線連接縱坐標上的P'_max點與A'點，則曲線P'_max A'B'即為所求的外推累積頻率曲線。其中P'_max的計算公式為：

　　（28-1-13）

式中　P_max——統計得到的最大載荷；

N₀₂——擴展后的循環數；

N₀₁——統計的累積次數；

n——載荷塊數，本例取n=8。

則得：

1.3　材料疲勞性能

進行疲勞強度設計時，必不可少的是反映材料抗疲勞性能的“循環應力-壽命曲線”，該曲線以疲勞壽命（循環應力作用下發生破壞時的循環數）N為橫坐標，以對試樣施加的循環應力水平為縱坐標。一般情況下，彎曲應力、拉伸（壓縮）應力用σ表示，扭轉應力用τ表示，應變用ε表示，亦即實際試驗作出的是σ-N曲線、τ-N曲線或ε-N曲線。由于“應力”和“應變”在英文字母中首字母都是“S”，所以這三種曲線統稱為S-N曲線。

傳統的材料應力-壽命曲線一般是在旋轉彎曲疲勞試驗機上，用標準試樣試驗得到的，現在則多用拉壓疲勞試驗機。圖28-1-10是用光滑試樣在控制應力的試驗條件下得到的典型的S-N曲線。

從圖中曲線可以看出，每一個應力都有一相應的失效循環次數，即相應的疲勞壽命。曲線的水平部分見圖28-1-10（a），在不大于該應力水平下材料經無限次應力循環也不會發生疲勞失效。與此對應的最大應力表示光滑試樣對稱循環應力條件下的疲勞極限，用σ_-1表示。若材料的S-N曲線有一水平的漸近線，其縱坐標即為疲勞極限σ_-1。一般規定：鋼試樣經過10⁷循環仍不破壞時，就認為它可以承受無限次循環。有些材料的S-N曲線沒有水平部分，見圖28-1-10（b），常以一定的循環數（如2×10⁷或10⁸）下的應力作為疲勞極限。在S-N曲線上，小于10⁷次循環的點所對應的最大應力，稱為材料在該循環數下的條件疲勞極限。

1.4　疲勞損傷累積效應與法則

當材料或零件承受高于疲勞極限的應力時，每一循環都使材料產生一定量的損傷，即材料性能或微觀結構的變化。在循環載荷作用下，疲勞損傷會不斷累積，當損傷累積到臨界值時發生疲勞破壞，這就是疲勞損傷累積概念。

在循環應力作用下，疲勞損傷過程是在結構局部高應力或有缺陷的部位形成微裂紋，并逐漸擴展，直至斷裂。

疲勞累積損傷理論，歸納起來可分為兩大類。

1）線性疲勞累積損傷理論。材料在各個應力下的疲勞損傷是獨立的，總損傷可以線性地累加起來。其中最有代表性的是帕姆格倫-邁因納（Palmgren-Miner）理論，簡稱邁因納理論或Miner損傷法則。

2）非線性疲勞累積損傷理論。基于載荷歷程和損傷之間存在著相互作用，即在某應力下產生的損傷與前面應力作用的水平和次數有關。這一理論的代表是科爾頓和多蘭（Corten & Dolan）理論。

線性累積損傷理論，包括相對線性損傷理論，特別是Miner理論，形式簡單、使用方便，在工程中得到了廣泛的應用。

1.4.1　線性疲勞累積損傷（Miner）法則

線性疲勞累積損傷理論認為，材料在各個應力下的疲勞損傷是獨立進行的，并且總損傷可以線性地累加起來。

圖28-1-11為疲勞損傷線性累積示意圖。圖28-1-11（a）為應力歷程，圖28-1-11（b）為S-N曲線。

應力σ₁作用n₁次，在該應力水平下材料達到破壞的總循環次數為N₁。設D為最終斷裂時的損傷臨界值，根據線性疲勞累積損傷理論，應力σ₁每作用一次對材料的損傷為D/N₁，經n₁次循環作用后，σ₁對材料的總損傷為n₁D/N₁。僅有σ₂作用時，材料發生破壞的應力循環數為N₂，應力σ₂每循環一次對材料的損傷為D/N₂，經n₂次循環后，σ₂對材料的總損傷應為n₂D/N₂。依此類推，應力σ₃，循環作用n₃次，對材料造成的總損傷為n₃D/N₃。應力σ₄小于材料疲勞極限σ_-1，它可以作用無限次循環而不引起材料疲勞損傷，計算中可以不予考慮。

當各級應力對材料的損傷總和達到臨界值D時，材料即發生破壞。用公式表示為

或寫成

上面的關系式推廣到更普遍的情況時，即有

或寫成

　　（28-1-14）

式（28-1-14）稱為線性疲勞累積損傷方程式。Miner理論與試驗結果并不完全相符合。這是因為疲勞損傷的累積不但決定于當前的應力狀況，而且還和過去作用的應力歷史有關。另外，加載順序對損傷有明顯影響。先作用高應力還是先作用低應力，所得結果不一樣。因而使得式（28-1-14）的右邊不等于1。

1.4.2　相對Miner法則

由于上述的Miner法則沒有考慮載荷順序的復雜影響，有時誤差很大。相對Miner法則一方面保留了Miner法則中第一個假設，即線性疲勞累積假設，另一方面又避開了累積損傷a=1的第二個假設，其數學表達式為

　　（28-1-15）

式中　N_A——載荷譜A作用下估算的疲勞壽命；

N_B——載荷譜B作用下估算的疲勞壽命；

——載荷譜A的計算累積損傷；

——載荷譜B的計算累積損傷。

式（28-1-15）表明，只要兩個譜的載荷歷程相似，則兩個譜的壽命之比等于它們的累積損傷之比的倒數。

使用相對Miner法則的關鍵是確定相似譜B。其中有兩點假設：①相似譜B的主要峰谷順序應和計算譜A相近或相同；②相似譜B的主要峰谷大小和計算譜A成比例或近似成比例，比例因子最好接近1。

用相對Miner法則計算和試驗結果比較可見，能大幅度消除Miner法則計算數值引起的誤差，提高其計算精度。

1.5　平均應力修正

對于非對稱循環疲勞的平均應力影響，可以采用比較成熟的平均應力修正公式，例如Gerber公式、Goodman公式和Soderberg公式等。

格伯（Gerber）公式：

　　（28-1-16）

古德曼（Goodman）公式：

　　（28-1-17）

索德倍爾格（Soderberg）公式：

　　（28-1-18）