2.1　板式塔的模擬

早在20世紀(jì)80年代初，黃潔等曾用渦流（湍流）擴(kuò)散模型及二維、三維離散混合池模型和經(jīng)驗(yàn)的湍流傳質(zhì)擴(kuò)散系數(shù)以預(yù)測(cè)塔板上的濃度分布，并由此計(jì)算出塔板效率^［1，2］。21世紀(jì)初，王曉玲用零方程方法對(duì)板式精餾塔的三維濃度及其效率進(jìn)行計(jì)算^［3，4］。劉伯潭^［5］根據(jù)標(biāo)量脈動(dòng)方差及其耗散率兩方程的模式^［6～8］，建立了兩方程模型，用于求解板式精餾塔濃度分布^［5］，后經(jīng)孫志民^［9～13］及劉國(guó)標(biāo)^{［14，15］}的進(jìn)一步完善，應(yīng)用于板式塔和填料塔的精餾過(guò)程濃度分布及分離效率的預(yù)測(cè)，并得到驗(yàn)證。隨后李文彬進(jìn)行雷諾質(zhì)流模型的探索，也取得進(jìn)展^［16］。

2.1.1　板式塔傳質(zhì)擴(kuò)散特征數(shù)模型

王曉玲^［3，4］采用擬液相特征數(shù)模型，并結(jié)合計(jì)算流體力學(xué)方程，進(jìn)行精餾塔塔板三維濃度分布計(jì)算，該計(jì)算基于如下假設(shè)。

①在精餾塔塔板上氣液相的相間質(zhì)量傳遞被認(rèn)為是輸入與輸出彼此相等，即如通常一樣近似地設(shè)氣液相為恒質(zhì)量流，故質(zhì)量守恒方程的源項(xiàng)，同時(shí)也使。

②在一塊塔板上的氣液兩相濃度變化范圍內(nèi)，氣液相組分平衡關(guān)系簡(jiǎn)化為線性方程。

③氣液相進(jìn)口濃度是均勻分布的。

此外，在建立模型時(shí)，如果傳質(zhì)組分間的蒸發(fā)潛熱被認(rèn)為相等（例如本章的正庚烷及環(huán)己烷分離）或傳質(zhì)量很小（如本章的甲苯在水溶液中的“剝淡”），可略去熱量守恒的方程組而對(duì)模擬結(jié)果不會(huì)產(chǎn)生影響。

精餾過(guò)程穩(wěn)態(tài)的三維擬液相模型方程組的形式如下。

質(zhì)量守恒方程為：

動(dòng)量守恒方程為：

k方程為：

方程為：

傳質(zhì)組分質(zhì)量守恒方程為：

式中

上面各式中，下標(biāo)L表示液相；為液相的相含率；為組分傳質(zhì)方程源項(xiàng)，m·s^-1；k_L為以液相濃度表示的液膜傳質(zhì)系數(shù)，m·s^-1；C_L為液相主體中組分n的時(shí)均濃度，kg·m^-3；為與界面氣相濃度平衡的液相組分n的界面濃度，kg·m^-3；a為單位體積氣液混合物的有效兩相接觸面積，m²·m^-3。

液相傳質(zhì)系數(shù)k_L采用Lockett推薦的經(jīng)驗(yàn)公式^［17］：

對(duì)于氣體以氣泡形式穿過(guò)液體的過(guò)程，采用Cockx公式^［18］計(jì)算兩相有效接觸面積，即：

在零方程模型封閉中，認(rèn)為與ν_t成一定的比例。對(duì)于篩板精餾塔，推薦渦流擴(kuò)散系數(shù)取為^［19］。此式實(shí)際上相當(dāng)于取等于0.8。這樣假定為一常數(shù)來(lái)封閉傳質(zhì)方程就是零方程的封閉方法。

（1）流體力學(xué)方程的邊界條件

①進(jìn)口　塔板流速場(chǎng)坐標(biāo)系如圖2-1所示。假設(shè)進(jìn)口處速度分布均勻，則液相x方向速度可由液流強(qiáng)度L及清液層高度計(jì)算，其他方向速度為零，即：

式中清液層高度h_L（單位為m）采用如下公式^［20］計(jì)算：

進(jìn)口邊界條件采用文獻(xiàn)上的經(jīng)驗(yàn)關(guān)聯(lián)式。其邊界條件為^［21］：

式中，W為進(jìn)口堰寬。

②出口　采取充分發(fā)展流的條件及設(shè)定出口壓力（表壓）為零，即：

③壁面　對(duì)于底板、出口堰和流場(chǎng)四周的塔壁，均采用無(wú)滑移邊界條件（參見(jiàn)附錄Ⅰ的Ⅰ.3.1節(jié)）。

④氣液接觸表面自由表面　各方向的應(yīng)力為零，故其邊界條件為：

⑤對(duì)稱邊界　塔板中心面邊界條件為方向?qū)ΨQ，即：

（2）傳質(zhì)方程的邊界條件

①進(jìn)口　設(shè)濃度均勻分布，而且為一確定值，即：

②出口　濃度均勻取充分發(fā)展流條件，即：

③壁面　在底板、出口堰和邊壁處，傳質(zhì)通量為零，因此邊界條件為：

底板

出口堰

邊壁

模擬結(jié)果如下。

根據(jù)上述模型方程，除能計(jì)算出塔板上流速的分布外，還能計(jì)算出濃度分布。模擬對(duì)象為Bell等^［22］的實(shí)驗(yàn)塔板，可計(jì)算出三維濃度場(chǎng)。圖2-2為部分計(jì)算結(jié)果。由于Bell等只測(cè)量了速度分布，沒(méi)有測(cè)量塔板上的濃度分布，導(dǎo)致未能用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證計(jì)算的結(jié)果。

2.1.2　板式塔傳質(zhì)擴(kuò)散兩方程模型

孫志民^［9～12］在兩方程封閉方法^［5］基礎(chǔ)上，完善了板式精餾塔計(jì)算傳質(zhì)學(xué)模擬方法，并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，及對(duì)工業(yè)精餾塔進(jìn)行了模擬與驗(yàn)證。數(shù)學(xué)模型如下（模型的假設(shè)與零方程相同）。

2.1.2.1　流體力學(xué)方程組

質(zhì)量守恒方程為：

動(dòng)量守恒方程為：

方程為：

方程為：

模型常數(shù)為：1.44，1.92，σ_k1.0，σ_ε1.3^［23］。

動(dòng)量守恒方程源項(xiàng)的確定如下。

對(duì)于篩板塔模擬中的源項(xiàng)，根據(jù)采取不同的氣相速度，可有兩種不同的計(jì)算方法。

（1）根據(jù)空塔氣速計(jì)算（空塔氣速模型）

對(duì)于x、y方向的源項(xiàng)計(jì)算可取張敏卿等提出的公式^{［24，25］}：

對(duì)于z方向按下式計(jì)算^［26］：

式中，。其中，按下式計(jì)算^［27］：

也可由如下關(guān)聯(lián)式給出^［28］：

（2）根據(jù)篩孔氣速計(jì)算（篩孔氣速模型）

由于篩孔塔板的開(kāi)孔率一般很低，故篩孔處的氣速較空塔氣速要大1～2個(gè)數(shù)量級(jí)，常使篩孔出口氣體以噴射氣柱的形式穿過(guò)液層。由于氣柱對(duì)周圍液體的作用，周圍的液體會(huì)加速上升。同時(shí)氣柱就像質(zhì)地松散的柱體在液流方向?qū)σ后w產(chǎn)生阻力。孫志民^［12］基于以上分析，認(rèn)為此時(shí)的氣液動(dòng)量傳遞源項(xiàng)要包括噴射氣流對(duì)液體的卷吸及夾帶作用力——曳力和氣柱對(duì)液流的橫向阻力。

基于錯(cuò)流中氣體射流的研究結(jié)果，曳力可以表示為^［29］：

式中，C_T取為0.1；，及的計(jì)算公式上面已經(jīng)給出。氣相速度由圓孔射流的研究結(jié)果給出^［30］：

如圖2-3所示，x方向?yàn)橐毫鞣较颍?i>z方向?yàn)榇怪庇谒宀⒅赶蛞簩拥姆较颍?i>y方向是與x-z平面垂直的方向。r為流場(chǎng)中的點(diǎn)距某一篩孔中心的距離，θ為r與液流方向即x方向的夾角。

沿x方向液相流動(dòng)阻力為^［29］：

式中，常數(shù)C_p0.4。

動(dòng)量守恒方程的源項(xiàng)為：

（3）兩種計(jì)算方法的比較

為了說(shuō)明此兩種計(jì)算方法的差別，孫志民對(duì)直徑為1.2m的實(shí)驗(yàn)篩板塔（結(jié)構(gòu)參數(shù)見(jiàn)表2-1）的模擬分別按空塔氣速計(jì)算和按篩孔氣速計(jì)算源項(xiàng)得到流場(chǎng)，如圖2-4所示。實(shí)驗(yàn)篩板塔的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)及操作條件見(jiàn)表2-1。

由圖中可以看出，按空塔氣速的計(jì)算結(jié)果在整個(gè)主流區(qū)液相速度都較均勻，而按篩孔氣速的計(jì)算結(jié)果顯示液速只在開(kāi)孔區(qū)較為均勻，并且其最大值較空塔氣速模型計(jì)算所得的大，而且這些大速度區(qū)出現(xiàn)在塔壁附近，其原因是它們處于布孔區(qū)的邊緣，此處篩孔的外圍沒(méi)有其他孔的影響，氣速衰減較慢，對(duì)周圍液體的加速也較大。由于流場(chǎng)主流部分彼此相差不多，特別是在一般情況下篩孔的分布比較均勻，故空塔氣速與篩孔氣速模型的計(jì)算結(jié)果一般來(lái)說(shuō)相差不會(huì)很大。

2.1.2.2　傳質(zhì)部分方程組

傳質(zhì)組分質(zhì)量守恒方程為：

方程為：

方程為：

模型常數(shù)為：，1.8，，0.8，，^［9，11］。

需要說(shuō)明的是，除上述及的模型化方程外，也可采取其他的模型化方程（參閱第1章）。計(jì)算表明，采用不同的模型化方程及相應(yīng)常數(shù)會(huì)導(dǎo)致模擬結(jié)果略有差異，但一般不會(huì)很大。

濃度輸運(yùn)方程中的S_C（kg·m^-3·s^-1）為相對(duì)于某一組分的傳質(zhì)源項(xiàng)，其值可以表示為：

式中，K_OL為以液相為基礎(chǔ)的總包傳質(zhì)系數(shù)，m·s^-1；a為單位液相體積的氣液接觸面積，m²·m^-3；為與通過(guò)塔板的氣相濃度平衡的液相質(zhì)量濃度，kg·m^-3。

K_OL可表示為：

式中，k_L及k_G分別為液膜及氣膜傳質(zhì)系數(shù)；m為氣液相平衡常數(shù)，對(duì)于稀溶液則等于Henry常數(shù)。

對(duì)于k_L及k_G采取Zuiderweg根據(jù)篩板塔而擬合的關(guān)聯(lián)式^［31］：

式中，m值在涉及濃度范圍內(nèi)的平均值為0.0055。氣液接觸面積，h為液層高度，單位鼓泡面積上的比表面積在噴霧（spray）區(qū)和混合與乳狀（mixed and emulsion）區(qū)的表達(dá)式分別如下^［31］：

噴霧區(qū)　　

混合與乳狀區(qū)（）

式中，（25mm＜H_w＜100mm）；。這里的比表面積以單位鼓泡面積為基礎(chǔ)，與傳質(zhì)源項(xiàng)中的以單位體積為基礎(chǔ)的比表面積不同，在使用時(shí)需除以液層高度。

2.1.2.3　邊界條件

（1）流體力學(xué)方程部分

速度進(jìn)口條件為：

k和ε的邊界條件采用文獻(xiàn)上的經(jīng)驗(yàn)關(guān)聯(lián)式^［23］：

①近壁區(qū)　采用對(duì)數(shù)律壁函數(shù)^［23］，參閱附錄Ⅰ的Ⅰ.3.1節(jié)。當(dāng)壁面單元時(shí)，此時(shí)的無(wú)量綱速度為：

無(wú)量綱距離由下式計(jì)算^［32］：

式中，κ為卡門常數(shù)（對(duì)光滑表面，κ0.418）；E9.8；k_P是節(jié)點(diǎn)P的湍動(dòng)能；μ是流體的黏度；y_P是節(jié)點(diǎn)P到壁面的距離。

對(duì)于的近壁區(qū)網(wǎng)格，按層流處理，即：

對(duì)于湍動(dòng)能方程，在包括近壁區(qū)的整個(gè)流場(chǎng)中均須計(jì)算，在壁面處的邊界條件為：

式中，n為壁面的法線方向。

對(duì)于耗散率方程，在近壁區(qū)就不再求解，而是以下式代替：

對(duì)于底板、出口堰和流場(chǎng)四周的塔壁，設(shè)為無(wú)滑脫邊壁條件，即各方向速度為零：，，。

②氣液接觸自由表面　各方向的應(yīng)力τ_ij為零。各方向的邊界上有：

③塔板中心線　以x方向?yàn)檩S的y方向上對(duì)稱，即：

④出口　取充分發(fā)展的管流條件，即：

同時(shí)，設(shè)出口處表壓為零。

（2）傳質(zhì)方程部分

假設(shè)進(jìn)口處濃度分布均勻，濃度進(jìn)口條件為：

關(guān)于的邊界條件，由于濃度測(cè)量的困難，這方面的研究較少，這里采用類比的方法，借鑒傳熱中的研究成果^［33］，取為：

的邊界條件可由時(shí)間尺度比r_c（設(shè)r_c0.9）間接求得：

在近壁區(qū)也采用壁函數(shù)法按FLUENT軟件進(jìn)行處理：

式中，為無(wú)因次傳質(zhì)邊界層厚度。

2.1.3　板式塔傳質(zhì)擴(kuò)散雷諾質(zhì)流模型

本節(jié)的模擬采用了相互作用的液相建模形式。為簡(jiǎn)化起見(jiàn)，假定塔板上的液相分率和液相密度是常數(shù)。

2.1.3.1　標(biāo)準(zhǔn)雷諾質(zhì)流模型

（1）模型方程

①CFD方程組（模型）

總質(zhì)量守恒方程為：

　　（2-1）

動(dòng)量守恒方程為：

　　（2-2）

其中，由下面的方程給出：

　　（2-3）

式中的常數(shù)為：C_k=0.09，C₁=2.3，=0.4^［34］。

②質(zhì)量傳遞方程組（雷諾質(zhì)流模型）

組分質(zhì)量守恒方程為：

　　（2-4）

脈動(dòng)的質(zhì)量流率為：

　　（2-5）

式中的常數(shù)為：，，。

附屬方程如下。

k_L方程為：

　　（2-6）

方程為：

　　（2-7）

邊界條件與第2章2.1.1節(jié)中給出的一致。

（2）模擬結(jié)果的驗(yàn)證和比較

模擬對(duì)象為塔板，被分離物系是正庚烷和甲基環(huán)己烷二元混合物。文獻(xiàn)［35，36］的作者對(duì)全塔所有塔板進(jìn)行了模擬，給出了距離塔板底面不同高度截面上的濃度分布模擬結(jié)果，其中第8塊和第6塊塔板模擬結(jié)果分別如圖2-5（a）、（b）和圖2-5（c）、（d）所示。

2.1.3.2　混合雷諾質(zhì)流模型

模型方程與標(biāo)準(zhǔn)雷諾質(zhì)流模型相同，即項(xiàng)采用式（2-8）進(jìn)行簡(jiǎn)化：

　　（2-8）

混合雷諾質(zhì)流模型和代數(shù)雷諾質(zhì)流模型，只需要求解簡(jiǎn)化的式（2-8）來(lái)代替復(fù)雜的式（2-3）。文獻(xiàn)［37］的作者對(duì)所有塔板距離塔板底面不同層次高度上的濃度分布進(jìn)行了模擬，其中第8塊塔板如圖2-6（a）、（b）所示，第6塊塔板如圖2-6（c）、（d）所示。

通過(guò)比較圖2-5（a）、（b）和圖2-6（a）、（b）以及圖2-5（c）、（d）和圖2-6（c）、（d），我們發(fā)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)雷諾質(zhì)流模型和混合雷諾質(zhì)流模型模擬得到的結(jié)果差別甚小，主要集中于入口堰的末端和相鄰的部分墻壁處。產(chǎn)生這些差異的原因是，標(biāo)準(zhǔn)雷諾質(zhì)流模型是各向異性的，能夠給出更加詳細(xì)的三維流動(dòng)和傳質(zhì)模擬結(jié)果，而混合雷諾質(zhì)流模型是各向同性的，在那些區(qū)域內(nèi)不能給出詳細(xì)的三維流動(dòng)行為。但是如果忽視這些小區(qū)域內(nèi)的差異，結(jié)果表明混合雷諾質(zhì)流模型可以用于總的模擬來(lái)代替復(fù)雜的標(biāo)準(zhǔn)雷諾質(zhì)流模型來(lái)對(duì)多塔板精餾塔內(nèi)的所有塔板進(jìn)行模擬，從而節(jié)省計(jì)算所需的時(shí)間。

使用混合雷諾質(zhì)流模型得到的結(jié)果也可以與雙方程模擬得到的結(jié)果進(jìn)行比較，如圖2-7所示。在圖中可以看出，兩種模型得到的結(jié)果總體上是一致的，除了在靠近入口堰和塔壁區(qū)域，在這些區(qū)域相比于雙方程模型，混合雷諾質(zhì)流模型給出了更加詳細(xì)的濃度分布。

混合雷諾質(zhì)流模型也可以通過(guò)比較實(shí)驗(yàn)測(cè)量的每塊塔板出口濃度來(lái)驗(yàn)證。圖2-7為塔板濃度分布，圖2-8為根據(jù)塔板出口濃度分布計(jì)算的Murphree塔板效率值。圖2-7和圖2-8中也展示了采用雙方程模型得到的結(jié)果。從圖2-8中可以看出混合雷諾質(zhì)流模型和雙方程模型得到的塔板效率值比較接近，總的趨勢(shì)混合雷諾質(zhì)流模型更接近實(shí)驗(yàn)。采用標(biāo)準(zhǔn)和混合雷諾質(zhì)流模型模擬得到每塊塔板出口C₆濃度的比較由圖2-9給出，在圖中兩者得到的結(jié)果是相吻合的。

總的來(lái)說(shuō)，采用雙方程模型和不同的雷諾質(zhì)流模型對(duì)于一個(gè)板式精餾塔的整體模擬結(jié)果是十分相近的，并被實(shí)驗(yàn)測(cè)量所驗(yàn)證，但如果需要塔板上詳細(xì)的質(zhì)量傳遞和流動(dòng)信息，標(biāo)準(zhǔn)雷諾質(zhì)流模型是最好的選擇。

為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，在本節(jié)的論述中我們采用脈動(dòng)的質(zhì)流通量，即負(fù)的雷諾質(zhì)流-，來(lái)代替雷諾質(zhì)流。

在求解模型方程的過(guò)程中，脈動(dòng)的質(zhì)流通量、、可以同時(shí)獲得^［36］。它們?cè)诘?塊塔板上不同軸向位置的徑向分布如圖2-10（a）所示。在所有方向上脈動(dòng)質(zhì)流通量的總和為，如圖2-10（b）所示。

如圖2-10（b）所示，脈動(dòng)質(zhì)流在靠近入口堰區(qū)域（x=0.2）比出口堰區(qū)域附近（x=0.6）要大，這是因?yàn)樵诰s操作過(guò)程中，c以及隨著x方向（即主體流動(dòng)方向）是減小的。在r方向，其與主體流動(dòng)方向是垂直的，所有、和分布直到0.3r幾乎是不變的，然后輕微地上升直到r=0.45r處達(dá)到最大值。這個(gè)趨勢(shì)在圖2-10（c）、（d）、（e）中也同樣可以看到。這個(gè)最大值點(diǎn)表明，在塔板上一個(gè)最大質(zhì)流輸運(yùn)的出現(xiàn)以及最大湍流擴(kuò)散和渦流混合的存在，這是由于在精餾塔內(nèi)的部分區(qū)域產(chǎn)生的回流（大尺度旋渦）所造成的影響。這個(gè)模擬結(jié)果與很多實(shí)驗(yàn)工作得到的結(jié)果是一致的，在這些實(shí)驗(yàn)中這個(gè)區(qū)域附近觀察到了回流現(xiàn)象。在圖2-10（b）和（d）中和沿著r方向的分布從r=0到r=0.3m幾乎是零梯度，這表明了湍流（脈動(dòng)）質(zhì)流流動(dòng)保持不變，即在這個(gè)區(qū)域湍流影響保持穩(wěn)定（參見(jiàn)2.6.1.3節(jié)）。但前面提到的濃度的變化是非常小的，在濃度分布中幾乎辨認(rèn)不出。

2.1.3.3　代數(shù)雷諾質(zhì)流模型

我們可以進(jìn)一步降低混合雷諾質(zhì)流模型方程的復(fù)雜性。在穩(wěn)態(tài)條件下，通過(guò)設(shè)定式（2-8）左側(cè)的對(duì)流項(xiàng)與右側(cè)的湍流和分子擴(kuò)散項(xiàng)相等，可得到式（2-9）。

　　（2-9）

代數(shù)雷諾質(zhì)流模型就是用式（2-9）來(lái)代替混合雷諾質(zhì)流模型中的式（2-5），而所有其他的模型方程不變。

為了驗(yàn)證這個(gè)模型，文獻(xiàn)［37］的作者模擬了第8塊塔板上的濃度分布，并對(duì)采用不同雷諾質(zhì)流模型得到的結(jié)果進(jìn)行了比較，如圖2-11所示。從圖中可以看出，盡管總體上不同模型得到的分布是相似的，標(biāo)準(zhǔn)雷諾質(zhì)流模型相比較其他兩種簡(jiǎn)化的模型給出了更加細(xì)微的濃度分布變化情況。

上述兩種簡(jiǎn)化模型還可以通過(guò)如圖2-12和圖2-13所示的每塊塔板出口濃度和Murphree塔板效率來(lái)加以比較。采用代數(shù)雷諾質(zhì)流模型模擬得到的出口濃度比混合模型得到的結(jié)果要大一些。而在圖2-13中采用代數(shù)雷諾質(zhì)流模型模擬得到的Murphree塔板效率要低一些。除了含較大實(shí)驗(yàn)誤差的第3塊、第4塊塔板，這兩種模型得到的Murphree塔板效率模擬結(jié)果都與實(shí)驗(yàn)吻合得較好。

2.1.4　多組分點(diǎn)效率的預(yù)測(cè)

2.1.4.1　雙組分和多組分點(diǎn)效率的差異

多組分精餾的分離效率與雙組分精餾的不同體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面。

①在雙組分系統(tǒng)中，液相和氣相間的擴(kuò)散通量與濃度梯度的負(fù)值成正比；然而在多組分系統(tǒng)中并不是這樣。

②在雙組分系統(tǒng)中，組分i和組分j的擴(kuò)散系數(shù)是相等的；然而在多組分系統(tǒng)中它們并不是相等的。

③在雙組分系統(tǒng)中，點(diǎn)效率的范圍是0～1；然而在多組分系統(tǒng)中點(diǎn)效率可以小于0或大于1。

多組分系統(tǒng)復(fù)雜性的出現(xiàn)主要是由于分子間相互復(fù)雜作用的特性形成了非理想溶液，并且可能出現(xiàn)奇異的行為。

點(diǎn)效率在精餾塔的設(shè)計(jì)和操作中是一個(gè)基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。塔板效率可以采用本章中的CMT模型進(jìn)行計(jì)算，研究表明，塔板效率與塔板結(jié)構(gòu)、流動(dòng)形態(tài)和操作條件是有關(guān)的，所以它只適用于在特定操作條件下的特定的精餾塔。而點(diǎn)效率只依賴于氣液相接觸的局部條件和物系的物理屬性，它是評(píng)價(jià)采用板式精餾塔分離某種物系可行性的一種更好的方法。

對(duì)于點(diǎn)效率的研究已有幾十年的歷史，并形成了以作者的姓名命名的表達(dá)形式，如Murphree^［39］、Hausen^［40］、Standard^［41］和Holland^［42］。在這些表達(dá)式中Murphree點(diǎn)效率E_MV使用最為廣泛。對(duì)于塔板，其定義為氣相濃度在進(jìn)入和離開(kāi)塔板過(guò)程的減小值和如果離開(kāi)塔板氣相濃度與液相濃度相平衡的氣相濃度減小值之比。它的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

　　（2-10）

式中，下標(biāo)n表示塔板編號(hào)；和分別表示進(jìn)入和離開(kāi)塔板的氣相濃度（組分i）；表示在局部點(diǎn)與液相濃度相平衡的氣相濃度。注意在這一部分下標(biāo)i和j分別表示組分i和j，并不是流動(dòng)的坐標(biāo)方向。命名法可以從圖2-14中清楚地看到。

Murphree點(diǎn)效率可以按照液相濃度表示成以下形式，即：

　　（2-11）

氣相Murphree點(diǎn)效率E_MV在精餾過(guò)程中經(jīng)常使用，而液相點(diǎn)效率E_ML則適用于液相控制過(guò)程，例如吸收和解吸過(guò)程。

準(zhǔn)確來(lái)講，在塔板上方垂直方向進(jìn)行的傳質(zhì)過(guò)程是復(fù)雜的，如圖2-15所示，其中包含噴射、分散的氣泡、飛濺以及塔板間由于液滴形成的霧沫夾帶。通常塔板在豎直方向可被分為三個(gè)區(qū)域，

即泡沫區(qū)（噴射）、氣泡分散區(qū)（自由鼓泡）、氣泡破碎區(qū)（液滴飛濺形成塔板間的夾帶）。

因?yàn)闅馀萜扑閰^(qū)對(duì)于傳質(zhì)的貢獻(xiàn)很小。而前面兩個(gè)區(qū)域，液相為連續(xù)相，氣相為離散相，在傳質(zhì)過(guò)程中占主導(dǎo)地位，并在文獻(xiàn)中據(jù)此確立了兩區(qū)域模型。

2.1.4.2　Oldershaw篩板

由Oldershaw^{［43，44］}開(kāi)發(fā)的篩板被認(rèn)為是用以代表點(diǎn)效率的最常用的精餾塔板。其主要結(jié)構(gòu)參數(shù)由表2-2給出。Oldershaw篩板的結(jié)構(gòu)和外觀如圖2-16所示。用其進(jìn)行模擬是獲得特定物系分離點(diǎn)效率的一種簡(jiǎn)單而方便的方法。

文獻(xiàn)［46］的作者對(duì)于塔板上的液相使用兩區(qū)域模型模擬了Oldershaw篩板^［46］。采用的是三組分非理想溶液（乙醇、異丙醇、水）的精餾分離，目的是考察多組分精餾中的奇異現(xiàn)象。

對(duì)于非理想的多組分氣液相體系，經(jīng)常采用Maxwell-Stefan方程來(lái)計(jì)算傳質(zhì)行為。Maxwell-Stefan方程的基本原理在第7章7.6.2節(jié)中進(jìn)行了簡(jiǎn)要的介紹。

2.1.4.3　多組分板效率的實(shí)驗(yàn)工作

文獻(xiàn)［46］的作者進(jìn)行了以下的實(shí)驗(yàn)工作，以驗(yàn)證模擬的結(jié)果。實(shí)驗(yàn)在Oldershaw篩板上進(jìn)行，實(shí)驗(yàn)裝置如圖2-17所示。分別針對(duì)三組分系統(tǒng)（乙醇、異丙醇、水）和四組分系統(tǒng)（乙醇、異丙醇、叔丁醇、水）測(cè)試點(diǎn)效率。其中三組分系統(tǒng)的初始組成如下：

入口氣相的組成為：

操作條件為：T351.4K，1.652×10^-4m³·s^-1，11.28mm。

2.1.4.4　用于模擬的點(diǎn)效率模型

為了計(jì)算Murphree塔板效率，我們需要知道離開(kāi)塔板氣相的組成y_out，其值可以通過(guò)以下公式得到。因?yàn)樗迳辖M成的變化范圍很小，我們可以假設(shè)氣液平衡關(guān)系是線性的，即：

　　（2-12）

式中，y^*是氣相的氣液平衡濃度；是n-1階對(duì)角矩陣，表示兩組元對(duì)的平衡常數(shù)。在界面上有：

　　（2-13）

式中，是界面上的氣相濃度。然后我們可以得到：

傳遞的質(zhì)量流量可以由下式進(jìn)行計(jì)算：

　　（2-14）

　　（2-15）

計(jì)算中液相主體濃度是已知的。式（2-14）和式（2-15）可以采用逐步迭代的方法進(jìn)行求解來(lái)得到氣液相間的質(zhì)量通量。

對(duì)于塔板上穿過(guò)液相的氣相，其濃度從y_in變化到y_out，而且應(yīng)采用不同的方法進(jìn)行計(jì)算。如圖2-18所示，在篩板上取一個(gè)高度上的微元，我們得到：

和

式中，是氣相流率；A是塔板上鼓泡區(qū)的面積；是氣泡的表面積。結(jié)合前面的方程得到了：

對(duì)以上方程進(jìn)行積分，積分被分為從塔板處h=0到h=h₁的氣泡形成區(qū)和從h₁到h₂的氣泡分散區(qū)，從而可以得到用于計(jì)算點(diǎn)效率的y_out。采用試差法逐步計(jì)算來(lái)得到結(jié)果。用于計(jì)算每個(gè)區(qū)域的方程如下。

（1）氣泡形成區(qū)

實(shí)驗(yàn)工作表明，這一區(qū)域的氣體主要形式為噴射。篩孔氣柱如圖2-19所示。文獻(xiàn)［47］的作者關(guān)聯(lián)了氣體噴射直徑d_j與塔板上清液層高度h_L和塔板篩孔直徑d_h的關(guān)系：

故噴射氣柱的比表面積可由下式求得：

式中，為塔板開(kāi)孔率。由于氣體流過(guò)噴射柱類似其流過(guò)濕壁塔，所以傳質(zhì)系數(shù)可通過(guò)兩組分系統(tǒng)的關(guān)系加以計(jì)算^［48］：

式中，d_j為氣體噴射直徑；u_j和u_h分別為基于噴射直徑和篩孔直徑的氣體速度。

（2）氣泡分散區(qū)

到達(dá)這一區(qū)域的氣柱破碎為不同尺寸的氣泡，而且呈分散分布。氣泡的平均直徑可由下式估算^［49］：

式中，We_c為Weber數(shù)；為表面張力；為停留時(shí)間。τ值可由下式計(jì)算^［50］：

根據(jù)文獻(xiàn)報(bào)道^{［44，50］}，氣泡的平均直徑與最大直徑之比為常數(shù)，即：

上述氣泡直徑估算方法的可靠性已由文獻(xiàn)中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證，兩者的比較列于表2-3。

對(duì)于孔徑小于2mm的篩板塔，這一區(qū)域內(nèi)的氣含率可由下式計(jì)算：

式中，為篩板的開(kāi)孔率。由上述的迭代方程再結(jié)合氣泡直徑，便可求出比表面積為：

文獻(xiàn)［52］的作者對(duì)氣泡和板上液層之間的兩組分傳質(zhì)系數(shù)進(jìn)行了測(cè)量，文獻(xiàn)［53］的作者將其關(guān)聯(lián)成如下公式：

式中，為氣相中i組分的分子擴(kuò)散系數(shù)。

（3）計(jì)算步驟

結(jié)合圖2-19，板上兩個(gè)清液層區(qū)域的總高度為h（），確定積分微元，其中，。在微元內(nèi)，組分i的質(zhì)量通量可由以下方法計(jì)算。

①對(duì)于并假設(shè)，則組分i的平均組成為。

②采用上述方法計(jì)算傳質(zhì)通量，以獲得離開(kāi)積分微元內(nèi)的氣相組成。若氣相組成非常接近假設(shè)值，則繼續(xù)計(jì)算位于其上部的下一個(gè)積分微元，直到液層區(qū)域的頂部，便可獲得板上氣體的出口組成。

作為上述計(jì)算的一個(gè)例子，表2-4列出了文獻(xiàn)［46］的作者得到的傳質(zhì)通量沿液層高度的計(jì)算結(jié)果。

從表2-4可以看出，傳質(zhì)在液層液位低時(shí)快，隨氣體上升到泡沫區(qū)的頂部而降低。這表明氣泡形成區(qū)在傳質(zhì)過(guò)程中占主導(dǎo)地位。

2.1.4.5　模擬結(jié)果及其與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的比較

三組分系統(tǒng)和四組分系統(tǒng)的Murphree點(diǎn)效率模擬值與實(shí)驗(yàn)值的比較分別列于表2-5和表2-6。可以看出，大部分情況下誤差較小，僅為百分之幾。對(duì)于估算來(lái)說(shuō)，這一誤差是可以接受的。

2.1.4.6　多組分系統(tǒng)的奇異現(xiàn)象

前述文獻(xiàn)［46］所報(bào)道的三組分系統(tǒng)的計(jì)算結(jié)果可用來(lái)說(shuō)明多組分系統(tǒng)的奇異現(xiàn)象。圖2-20為三組分系統(tǒng)中異丙醇的擴(kuò)散通量與推動(dòng)力的關(guān)系。

圖2-20表明，在A點(diǎn)與B點(diǎn)之間，推動(dòng)力為正值，傳質(zhì)方向從y₀（氣相）到y（液相）。在B點(diǎn)，雖然推動(dòng)力為正值，但異丙醇的質(zhì)量傳遞通量為0，這種現(xiàn)象在二元系統(tǒng)中是不會(huì)發(fā)生的，即所謂的擴(kuò)散障礙現(xiàn)象。從B點(diǎn)到C點(diǎn)，推動(dòng)力仍然為正值，但異丙醇的傳遞通量卻為負(fù)值，也就是說(shuō)，傳質(zhì)方向相反，這種現(xiàn)象稱為反向擴(kuò)散。另外，圖2-21示出了組分異丙醇傳質(zhì)推動(dòng)力和傳質(zhì)通量隨液層高度變化的模擬結(jié)果。從圖2-21可以看出，在液層高度h約為25mm處，推動(dòng)力趨近于0，但異丙醇仍能進(jìn)行相間傳質(zhì)，這種現(xiàn)象稱為滲透擴(kuò)散。需要指出的是，在三組分系統(tǒng)中，只有異丙醇出現(xiàn)了這種奇異現(xiàn)象，乙醇和水并未出現(xiàn)。故非理想多組分系統(tǒng)的復(fù)雜性依賴于諸多因素，仍需進(jìn)一步研究。