1.3　質(zhì)量守恒方程封閉的兩方程模型（模型）

為了描述湍流條件下的質(zhì)量傳遞過程，經(jīng)過雷諾時均后的質(zhì)量方程式（1-3）中出現(xiàn)了新的變量，即雷諾質(zhì)流。獲得該變量的理論模型，從而使得式（1-3）以及計算流體力學(xué)方程（見附錄Ⅰ）組成的方程組實現(xiàn)封閉則是計算傳質(zhì)學(xué)的核心問題。

根據(jù)湍流動量、熱量傳遞的類似，引用Boussinesq假設(shè)，可將雷諾質(zhì)流表達(dá)為時均濃度梯度的函數(shù)：

　　（1-6）

式中，D_t表示組分n的湍流傳質(zhì)擴(kuò)散系數(shù)（略去下標(biāo)n，下同，單位為m²·s^-1），它與流場、組分濃度場及溫度場相關(guān)。由于3個方向的都由統(tǒng)一的式（1-6）關(guān)聯(lián)，故在此模型中認(rèn)為D_t是各向同性的。但由于濃度梯度隨位置而變化，故D_t的各向的梯度也會不相同，這和D_t是各向同性不矛盾。

將式（1-6）代入式（1-3），可將式（1-3）簡化為：

　　（1-7）

在上式中U_i可由計算流體力學(xué)方程組求出，如果D_t能求解，則方程可封閉，從而求出C的分布。

1.2節(jié)傳統(tǒng)方法中的特征數(shù)關(guān)聯(lián)法即利用傳遞相似性原理，假設(shè)湍流中的動量傳遞與質(zhì)量傳遞完全類似，D_t只與流場有關(guān)，而與組分種類、濃度完全無關(guān)，則可有：

　　（1-8）

式中，μ_t為湍流黏度，可根據(jù)計算流體力學(xué)求出（參閱附錄Ⅰ）；Sc_t為湍流施密特數(shù)，，文獻(xiàn)上常根據(jù)經(jīng)驗假設(shè)為一個常數(shù)。這種方法雖然簡單，但由于其依賴經(jīng)驗假設(shè)的特征，不屬于嚴(yán)格的計算傳質(zhì)學(xué)方法。

而模型，即兩方程模型，則是獲得D_t模型方程的一種理論方法。

1.3.1　兩方程模型（模型）的導(dǎo)出

上節(jié)所述的常用模型只是把湍流傳質(zhì)擴(kuò)散系數(shù)與流場等參數(shù)關(guān)聯(lián)起來，而與組分濃度脈動的大小沒有任何關(guān)聯(lián)。然而很多實驗研究表明，湍流傳質(zhì)擴(kuò)散系數(shù)除與流場（即湍流動能k及其耗散率）密切有關(guān)外，還與組分濃度脈動大小及其耗散率有關(guān)，而組分濃度脈動大小可用代表組分濃度脈動平均偏差程度的組分脈動濃度方差來表示。

湍流傳質(zhì)擴(kuò)散是由于流體中的速度湍動和存在流體中的濃度湍動而引起的，而雖然分子擴(kuò)散仍會存在，但D與相比，分量很小。因此可以認(rèn)為湍流傳質(zhì)擴(kuò)散的程度（以湍流傳質(zhì)擴(kuò)散系數(shù)表示）等于湍流的湍流動能k乘以其存在時間（即衰變時間），即，而特征擴(kuò)散時間與速度方差衰變時間及濃度脈動方差衰變時間有關(guān)，而與k及其耗散率有關(guān)，與及有關(guān)。因此特征擴(kuò)散時間可表示為：

各參數(shù)的因次（量綱）依次為：

采用因次分析方法，上式可寫為：

根據(jù)方程中各參數(shù)因次的指數(shù)（冪）相等，而各參數(shù)的因次式為：

對于因次m

對于因次s

上兩式的解可以是：

由此可得：

湍流傳質(zhì)擴(kuò)散系數(shù)按上式可表示為：

　　（1-9）

式中，為比例系數(shù)。上式是脈動方差模型計算以求解湍流傳質(zhì)擴(kuò)散方程的公式。由上式可見，計算就需要知道和的數(shù)值。為此，可通過建立下述方程求出。

1.3.1.1　方程的建立

（1）濃度脈動方差的精確方程

將式（1-2）代入式（1-1），減去式（1-3），可得脈動量的輸運方程為：

　　（1-10）

將上式兩邊同乘以，并取雷諾時均，可得：

　　（1-11）

上式可進(jìn)行簡化，方程的左方可變?yōu)椋?/p>

對于式（1-11）的右方，可做如下簡化。根據(jù)下式：

故有：

上式乘以D，并根據(jù)定義等于濃度方差耗散率，即，式（1-11）右邊第一項可簡化為：

對式（1-11）右邊第二項，由于：

故得：

對式（1-11）右邊第三項，由于：

故得：

而式（1-11）右邊第四項為：

綜合以上各式，可得方差的精確方程為：

　　（1-12）

式中，右邊第一項是由分子運動和湍流脈動引起的組分濃度脈動方差的輸運項；第二項是由平均濃度梯度引起的脈動質(zhì)流產(chǎn)生項；第三項是耗散項。除分子運動引起的方差輸運項外，其他各項均需進(jìn)行模型化。

（2）方程的模型化

式（1-12）中右方的和，可根據(jù)類似Boussinesq的假設(shè)與其相應(yīng)時均量的梯度成正比，即：

式中，為校正常數(shù)，通常可取為1。的模型化方程式（1-12）變?yōu)椋?/p>

　　（1-13）

上式和式（1-12）均含有未知量，需進(jìn)一步求解。求解可有下述兩個途徑。

①通過實驗求得值　設(shè)濃度方差衰變時間與速度方差衰變時間之比為r_c，即：

由于k、ε、的方程為已知，如果用實驗方法得出值，則可求得。Lemoine等通過實驗求得流體和發(fā)光染料通過柵格時，在主流動處的值平均為0.9，在近壁處的值則有所上升^［24］。Spadling對湍動射流得出^［25］，Launder等對湍動剪切流得出^［26］。因此可以認(rèn)為值隨著不同流場和濃度場而有不同數(shù)值，并且亦隨不同位置而有所變化。

實際上，如果認(rèn)為值是一個常數(shù)，可以證明一方程模型等同于零方程模型。將附錄Ⅰ中的式（Ⅰ-14）除以式（1-9），經(jīng)整理后可得：

上式左方即為湍流施密特數(shù)，，式中若為常數(shù)，則亦為常數(shù)，即等同于零方程模型。

由此可見，采用某一值的方法來求解一方程模型，是有很大偏差的，故很少應(yīng)用。

②建立方程　如果能建立方程求解出，則濃度脈動方差模型就可以應(yīng)用。實際上，方程則與方程一起就可形成計算傳質(zhì)學(xué)的兩方程模型，如下節(jié)所示。因此也可以說兩方程模型是模型的發(fā)展。

1.3.1.2　ε_c'方程的建立

（1）ε_c'的精確方程

將瞬時傳質(zhì)方程式（1-1）對求導(dǎo)數(shù)得：

上式乘以得：

　　（1-14）

將式（1-2），即、兩式，代入上式，并進(jìn)行時均運算得：

　　（1-15）

將式（1-3）對求導(dǎo)數(shù)，然后乘以，并進(jìn)行時均運算得：

　　（1-16）

從式（1-15）中減去式（1-16），并定義，可得：

　　（1-17）

上式就是濃度方差耗散率的精確輸運方程，方程右端的第一項是濃度方差耗散率的擴(kuò)散項，第二、三、四項是的生成項，包括平均濃度梯度、平均速度梯度和脈動引起增加的生成項，第五、六項是的消失項。式（1-17）表示了濃度方差耗散率的輸運是經(jīng)過擴(kuò)散、產(chǎn)生和消失的過程。方程的各項均需進(jìn)行模型化才能進(jìn)行數(shù)值計算。

（2）ε_c'方程的模型化

式（1-17）右方第一項，根據(jù)類似Boussinque的假設(shè)可以得到濃度方差耗散率湍流輸運項的模式化形式：

式中，為模型常數(shù)。故得：

根據(jù)模型化法則，式（1-17）右端第二項可認(rèn)為與及濃度梯度成正比，其比例常數(shù)按量綱相等法則等于，故得：

式（1-17）右端第三項可認(rèn)為與及速度梯度成正比，其比例常數(shù)按量綱相等法則等于，故得：

式（1-17）右端第四項可模型化為，故得：

式（1-17）右端第五項可認(rèn)為與成正比，其比例常數(shù)按量綱相等法則為，故得：

式（1-17）右端第六項可認(rèn)為與成正比，其比例常數(shù)按量綱相等法則為，故得：

綜合上述模型化，式（1-17）可寫為：

由于DD_t數(shù)值甚小，可以忽略，故式（1-17）模型化形式變?yōu)椋?/p>

　　（1-18）

孫志民為簡化上式，采用與方程模型化類比的方法^［14］，將式（1-17）右方的生成項（第二、三、四項）模型化為：

將式（1-17）右方的耗散項（第五、六項）模型化為：

再將數(shù)值相對很小的項略去，并以式（1-6）代入式（1-18）可得：

　　（1-19）

根據(jù)一些計算，發(fā)現(xiàn)式（1-18）中的項約是項的3倍，所以可以設(shè)想C_c3的對應(yīng)項對湍流傳質(zhì)系數(shù)的影響不大，可以忽略。

通過對若干個算例結(jié)果的比較，證明忽略掉的對應(yīng)項不會對濃度的計算結(jié)果產(chǎn)生影響，對湍流傳質(zhì)擴(kuò)散系數(shù)也產(chǎn)生很小的影響。因此方程可再進(jìn)一步簡化為：

　　（1-20）

（3）模型常數(shù)的確定

①根據(jù)濃度為標(biāo)量而確定式（1-18）常數(shù)　由于濃度為標(biāo)量，式（1-18）可由相應(yīng)標(biāo)量方程轉(zhuǎn)化，并可采用標(biāo)量方程的常數(shù)。而濃度與溫度均為標(biāo)量，故眾多標(biāo)量及傳熱的模型及其常數(shù)原則上都可以通用。例如式（1-18）常數(shù)可采用有關(guān)的文獻(xiàn)報道：Nagano等的模型常數(shù)^［5］，即在式（1-18）中，，，，，，，；Elghobashi等的模型常數(shù)^［4］，即在式（1-18）中，1.8，，2.2，，。

實際上對于不同過程設(shè)備和操作，這些常數(shù)常乘以修正系數(shù)f使模擬更為準(zhǔn)確（參閱附錄Ⅰ）。

②根據(jù)及值確定式（1-19）及式（1-20）常數(shù)^［8，10］　確定式（1-9）中常數(shù)，首先將湍流黏度、湍流施密特數(shù)、動量與濃度的時間尺度比和湍流傳質(zhì)系數(shù)的定義式綜述如下：

綜合上述各式，可得到如下的結(jié)果：

　　（1-21）

對于標(biāo)準(zhǔn)方程，。雖然時間尺度比不是一個常數(shù)，但由于這方面的實驗數(shù)據(jù)缺少，可取平均值為0.9^［27］。由于為不確定值，而且隨著模擬類型而變化，可近似地取為0.7^［27］，綜合、及值，結(jié)果可得。需要指出，由于采取及值的不確定性，故在不同情況下的值可能略有變化。例如，一些研究者令為0.85，仍為0.9，則結(jié)果可得。由此可見，方程的模型化只是一種近似的求解，不同模型化可能得出不同的結(jié)果，但一般相差不會很大。

③式（1-19）中和的確定　根據(jù)封閉模式方程的漸進(jìn)性原則，當(dāng)湍流退化為簡單湍流時，由封閉模式導(dǎo)出的結(jié)果應(yīng)當(dāng)和理論、實驗或直接數(shù)值模擬結(jié)果一致。因此和可以根據(jù)各向同性湍流中的結(jié)果獲得。

在各向同性湍流中，在U為恒定的穩(wěn)態(tài)流動情況下，湍動能、湍動能耗散率、濃度方差和濃度方差耗散率方程變?yōu)椋?/p>

　　（1-22）

其中x為流動方向。根據(jù)，濃度方差耗散率可表示為：

并且在各向同性湍流中濃度與速度的時間尺度比在流動方向上不變^{［28，29］}。由以上各式可得：

　　（1-23）

比較式（1-22）和式（1-23），可得如下關(guān)系：

根據(jù)上述兩式，如能確定值，則可求得及。若如上述令^［26］，并以標(biāo)準(zhǔn)方程中代入式（1-21）及式（1-22），可得，。如果改變值，例如Nagano令^［5］，得到，。可見及值可根據(jù)不同值而有較大變化，但此時值亦要隨之修改。

④式（1-19）中的確定。對于式（1-19）中常數(shù)的研究較少，可參考Newman等^［3］及Colin等^［6］的研究工作，按照傳熱與傳質(zhì)的類比，可以取為2.0。

⑤式（1-13）中和式（1-18）中的確定。根據(jù)傳熱與傳質(zhì)之間的相似性，并與Elghobashi等^［4］的選擇相同，可有。

綜合上述式（1-19），各項常數(shù)為：，，2.0，，2.22，，。

孫志民經(jīng)過對精餾過程的測算，認(rèn)為項貢獻(xiàn)很小，可以忽略，即可進(jìn)一步簡化式（1-20）模型常數(shù)為：，，，，。

（4）應(yīng)用不同ε_c'模型及常數(shù)求解濃度分布及D_t的比較

①應(yīng)用兩方程模型求解傳質(zhì)過程　應(yīng)用兩方程模型來封閉求解傳質(zhì)微分方程，共有未知量11個，即流體力學(xué)方面7個（）和傳質(zhì)方面4個（）。而求解方程亦有11個，即流體力學(xué)方程7個（1個連續(xù)方程、3個動量方程、1個方程、1個k方程和1個ε方程），傳質(zhì)方程4個（1個傳質(zhì)方程、1個方程、1個方程、1個方程），故能封閉求解。

②應(yīng)用不同模型求解的比較　采用兩方程模型和式（1-18）、式（1-19）、式（1-20）三者之一及相應(yīng)常數(shù)均可求解傳質(zhì)微分方程。孫志民對此分別應(yīng)用于精餾過程的計算并做比較^［10］，模擬對象是工業(yè)規(guī)模篩板精餾塔中的一塊塔板^［30］。其結(jié)果見于圖1-1及圖1-2。圖中顯示出采用3個不同方程來計算的塔板上濃度分布相差不大，對于的分布亦相似，但按式（1-19）及式（1-20）計算的平均值與Cai等的實驗結(jié)果^［30］更為符合。可見采用不同模型化的模型和相應(yīng)常數(shù)也能得到相近的模擬結(jié)果。

總的來說，方程可以有式（1-18）、式（1-19）、式（1-20）3個不同的表述。考慮到孫志民得出的式（1-19）及式（1-20）和常數(shù)雖在板式塔的模擬中成功應(yīng)用，但尚未應(yīng)用于其他設(shè)備的模擬，故其廣泛適用性尚有待進(jìn)一步考察。因此目前仍以采用式（1-18）和常數(shù)為宜。

1.3.2　近壁區(qū)計算

近壁區(qū)的計算與附錄Ⅰ中Ⅰ.3節(jié)相同。近壁區(qū)由黏性支層（包括過渡層）和湍流層組成，前者以黏性應(yīng)力為主導(dǎo)，后者以雷諾應(yīng)力為主導(dǎo)。在近壁區(qū)內(nèi)認(rèn)為存在等切應(yīng)力。

（1）黏性支層

對于黏性支層，根據(jù)傳遞過程相似律，在近壁區(qū)內(nèi)無量綱濃度及無量綱距離的定義可參照附錄Ⅰ的式（Ⅰ-29）及式（Ⅰ-30）來確定。式（Ⅰ-29）可寫為：

　　（1-24）

由于的量綱為速度，可類似于傳質(zhì)過程的質(zhì)流速度。對于在壁面w點與微小距離p點，令其濃度分別為C_w及C_p，則此兩點間的平均質(zhì)流速度等于壁面質(zhì)流通量除以平均推動力，其量綱為m·s^-1，可類似于。因此根據(jù)傳遞過程的相似性，可以認(rèn)為：

　　（1-25）

式中，為比例常數(shù)，它與（即）有關(guān)，故可令。在一般情況下，，故將式（1-25）代入式（1-24），經(jīng)簡化后可有：

　　（1-26）

近壁面的無量綱濃度定義為：

　　（1-27）

近壁面的無量綱距離可按附錄Ⅰ中式（Ⅰ-30）計算，即，然后根據(jù)式（1-26）及式（1-27）可有：

　　（1-28）

式中的Sc在近壁面范圍內(nèi)可認(rèn)為是常數(shù)。上式適用于近壁區(qū)的黏性支層內(nèi)，可見此時與為線性關(guān)系。

（2）湍流層

對于湍流層，近壁區(qū)湍流層內(nèi)的與服從對數(shù)律，可推導(dǎo)如下。合并式（1-26）、式（1-27）可得：

　　（1-29）

根據(jù)附錄Ⅰ在壁面附近的等切應(yīng)力區(qū)內(nèi)的式（Ⅰ-31），即，從式（1-29）可得：

積分上式，得：

式中，B為積分常數(shù)。以的情況下代入求解常數(shù)，上式變?yōu)椋?/p>

　　（1-30）

式中，E為經(jīng)驗常數(shù)，與壁面情況有關(guān)，對于光滑壁面，可取E9.8；κ為卡門常數(shù)，可取0.418。上式亦稱為傳質(zhì)邊界對數(shù)律，其有效范圍為湍流層。

以附錄Ⅰ中式（Ⅰ-37）代入式（1-27），以及由式（Ⅰ-39），湍流層內(nèi)的與可表示如下：

黏性支層與湍流層的分界可按附錄Ⅰ的Ⅰ.3節(jié)y⁺的轉(zhuǎn)變點劃分。但在工程計算中，除薄膜流動外，實際上y的第一個計算點常常取在黏性支層之外，即略去了在黏性支層之內(nèi)的計算。這樣簡化對一般傳質(zhì)設(shè)備的整體計算結(jié)果而言，可以說沒有產(chǎn)生影響。