4.3　卡諾循環(huán)

科學(xué)是因人類社會的需要而發(fā)展的，熱力學(xué)第二定律也是伴隨著人類發(fā)展的社會需要而發(fā)展起來的。18世紀(jì)末出現(xiàn)了蒸汽機(jī)^［2］，隨后人類對更高熱機(jī)效率的不斷追求，迫切需要解決燃料燃燒放出的熱如何更高效地轉(zhuǎn)化為機(jī)械功的問題。

實(shí)踐證明，功可以無條件地轉(zhuǎn)化為熱，而熱轉(zhuǎn)化為功是有條件的。由于對熱機(jī)效率的追求，自然而然地產(chǎn)生了這一問題：既然熱不能完全轉(zhuǎn)化為功，那么熱轉(zhuǎn)化功的最大效率又該如何呢？

［2］瓦特與蒸汽機(jī)：詹姆斯·瓦特（James Watt，1736—1819），英國著名的發(fā)明家，工業(yè)革命時(shí)期的重要人物。瓦特初期連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)的蒸汽機(jī)，按燃料熱值計(jì)總效率不超過3％；到1840年，最好的凝汽式蒸汽機(jī)總效率可達(dá)8％；到20世紀(jì)，蒸汽機(jī)最高效率可達(dá)到20％。

面對19世紀(jì)初熱機(jī)效率低的工業(yè)難題，卡諾^［3］于1824年創(chuàng)造性地用“理想實(shí)驗(yàn)”的思維方法，提出了最簡單而有重要理論意義的熱機(jī)循環(huán)——卡諾循環(huán)，并假定該循環(huán)在準(zhǔn)靜態(tài)條件下是可逆的，與工作介質(zhì)無關(guān)，制造了一部理想的熱機(jī)，基于該實(shí)驗(yàn)，引入了“卡諾循環(huán)、卡諾熱機(jī)”等概念，得出了“卡諾原理”，有效解決了熱功轉(zhuǎn)化的方向與限度問題，促進(jìn)了熱力學(xué)的發(fā)展。

［3］薩迪·卡諾（Sadi Carnot，1796—1832）是法國青年工程師、熱力學(xué)的創(chuàng)始人之一，兼有理論科學(xué)與實(shí)驗(yàn)科學(xué)才能，是把熱和動力聯(lián)系起來的第一人，是熱力學(xué)理論基礎(chǔ)的真正建立者。英國著名物理學(xué)家麥克斯韋對卡諾理論作出評價(jià)：“卡諾理論是一門具有可靠的基礎(chǔ)、清楚的概念和明確的邊界的科學(xué)”。

4.3.1　卡諾循環(huán)

卡諾以理想氣體為工作物質(zhì)，根據(jù)絕熱可逆和恒溫可逆過程做功不同的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)的一個(gè)循環(huán)，稱為卡諾循環(huán)（carnot cycle），從始態(tài)出發(fā)，歷經(jīng)四步：等溫可逆膨脹、絕熱可逆膨脹、等溫可逆壓縮、絕熱可逆壓縮，又回到了始態(tài)，該循環(huán)過程如圖4-2所示。在這四個(gè)步驟中，功、熱、內(nèi)能關(guān)系如下。

（1）等溫可逆膨脹

理想氣體在T_h溫度由始態(tài)A（p_A，V_A，T_h）恒溫可逆膨脹至狀態(tài)B（p_B，V_B，T_h），從高溫?zé)嵩次鼰?i>Q_h，做功W₁。由于過程恒溫，有

在這個(gè)過程中，體系從高溫?zé)嵩次諢崃俊ν庾龉Α?/p>

（2）絕熱可逆膨脹

理想氣體從狀態(tài)B（p_B，V_B，T_h）絕熱可逆膨脹至狀態(tài)C（p_C，V_C，T_c），有

Q=0，W₂=ΔU₂=C_V（T_c-T_h）

在這個(gè)過程中，體系對環(huán)境作功、溫度降低。

（3）等溫可逆壓縮

理想氣體從狀態(tài)C（p_C，V_C，T_c）恒溫可逆壓縮至狀態(tài)D（p_D，V_D，T_c），此時(shí)環(huán)境對體系做功W₃，體系向低溫?zé)嵩捶艧?i>Q_c，則

在這個(gè)過程中，體系向環(huán)境中放出熱量，體積壓縮。

（4）絕熱可逆壓縮

理想氣體從狀態(tài)D（p_D，V_D，T_c）絕熱可逆壓縮至狀態(tài)A（p_A，V_A，T_h），有

Q=0，W₄=ΔU₄=C_V（T_h-T_c）

在這個(gè)過程中，環(huán)境對體系作功、溫度升高。

經(jīng)過上述四步過程后，體系恢復(fù)到原來狀態(tài)。

根據(jù)熱力學(xué)第一定律，整個(gè)循環(huán)過程中

ΔU=0

　　 （4.1） 　　

對（2）、（4）絕熱可逆過程，用公式

　　 ①

　　②

式①除以式②得，代入式（3.62），得

　　 （4.2） 　　

思考：

4-12　卡諾的科學(xué)貢獻(xiàn)對你有何啟發(fā)？

4-13　回答并理解如下問題：

（1）可逆熱機(jī)是理想熱機(jī)嗎？

（2）卡諾熱機(jī)是可逆熱機(jī)嗎？

（3）可逆熱機(jī)是卡諾熱機(jī)嗎？

（4）實(shí)際熱機(jī)是卡諾熱機(jī)嗎？

4.3.2　熱機(jī)效率

卡諾循環(huán)可以想象成工作于兩個(gè)恒溫?zé)嵩粗g的準(zhǔn)靜態(tài)過程，做卡諾循環(huán)的熱機(jī)叫做卡諾熱機(jī)。該熱機(jī)工作于兩個(gè)恒溫?zé)嵩粗g，其高溫?zé)嵩矗╤ot source）的溫度為T_h，低溫?zé)嵩矗╟old sink）的溫度為T_c。卡諾假設(shè)工作物質(zhì)只與兩個(gè)恒溫?zé)嵩唇粨Q熱量，沒有散熱、漏氣、摩擦等損耗。為使過程是準(zhǔn)靜態(tài)過程，工作物質(zhì)從高溫?zé)嵩次鼰釕?yīng)是無溫度差的等溫膨脹過程，同樣，向低溫?zé)嵩捶艧釕?yīng)是等溫壓縮過程。因限制只與兩熱源交換熱量，脫離熱源后只能是絕熱過程。這一循環(huán)相當(dāng)于從高溫?zé)嵩次諢崃?i>Q_h，對外做功W，同時(shí)向低溫?zé)嵩捶懦隽藷?i>Q_c，如圖4-3所示。

卡諾熱機(jī)從高溫?zé)嵩此盏臒?i>Q_h，一部分轉(zhuǎn)變?yōu)楣?i>W，另一部分熱傳給了低溫?zé)嵩?i>Q_c。由于熱機(jī)效率（η）的定義為熱機(jī)在整個(gè)循環(huán)過程中做的總功與從高溫?zé)嵩次盏臒崃恐龋视?/p>

　　 （4.3） 　　

或 　　 　　 （4.4）

4.3.3　制冷熱機(jī)及其效率

如果把可逆的卡諾熱機(jī)倒開，即沿著ADCBA路徑循環(huán)，就變成了一臺制冷機(jī)，此時(shí)環(huán)境對體系做功，體系從低溫?zé)嵩?i>T_l吸收熱量Q_c，而放給高溫?zé)嵩?i>T_h的熱量為Q_h，這就是制冷機(jī)的工作原理。類似于卡諾熱機(jī)效率的處理計(jì)算方法，可以求出環(huán)境對體系所做的功W與從低溫?zé)嵩此盏?i>Q_c的關(guān)系為

　　 （4.5） 　　

式中，W為環(huán)境對體系所做的功；β為制冷系數(shù)（coefficient of refrigeration）。

例題4-1　1kg 273.2K的水變?yōu)楸芊懦龆嗌贌崃浚考偃粲靡慌_制冷機(jī)在SATP下工作至少需要對體系做多少功？該制冷機(jī)完成該過程對環(huán)境放熱若干？已知

解：（1）體系　

（2）制冷機(jī)　

　　

（3）制冷機(jī)

-Q_h=（ΔU）=Q_c+W=334.7kJ+30.63kJ=365.33kJ

習(xí)題：

4-1　已知每克汽油燃燒時(shí)可放熱16.86kJ。（1）若用汽油作水蒸氣為工作物質(zhì)的蒸汽機(jī)的燃料時(shí)，該機(jī)的高溫?zé)嵩礊?05℃，冷凝器即低溫?zé)嵩礊?0℃；（2）若用汽油直接在內(nèi)燃機(jī)中燃燒，高溫?zé)嵩礈囟瓤蛇_(dá)2000℃，廢氣即低溫?zé)嵩匆酁?0℃。試分別計(jì)算兩種熱機(jī)的最大效率是多少？每克汽油燃燒時(shí)所能作出的最大功為多少？（0.198，3.34kJ；0.867，14.62kJ）

4-2　1kg 273.2K的水變?yōu)楸芊懦龆嗌贌崃浚考偃粲靡慌_制冷效率為50％的制冷機(jī)在SATP下工作至少需要對體系做多少功？該制冷機(jī)完成該過程對環(huán)境放熱多少？已知Δ_fus。（-334.7kJ，61.26kJ，-395.96kJ）