2.1　幾種水環(huán)境轉(zhuǎn)化模型

2.1.1　淺海生態(tài)系統(tǒng)物質(zhì)轉(zhuǎn)化模型

以下模型聚焦于海洋生態(tài)系統(tǒng)中淺海生態(tài)系統(tǒng)內(nèi)的物質(zhì)循環(huán)。淺海生態(tài)系統(tǒng)內(nèi)的浮游生物扮演著生產(chǎn)者的角色，是研究海洋生態(tài)系統(tǒng)的基礎。浮游生物包括兩個大類：浮游植物和浮游動物。浮游植物的生長受到光合作用和海洋營養(yǎng)鹽濃度的限制，浮游動物的生物量取決于浮游植物濃度的分布，浮游動物的死亡將導致物質(zhì)從生物量向營養(yǎng)鹽方向轉(zhuǎn)化。整個過程可看做是一個閉合的生態(tài)系統(tǒng)，是海洋生態(tài)系統(tǒng)的基礎子系統(tǒng)。以下舉兩個海洋浮游生物動力學模型的例子：其一是最簡單的自養(yǎng)浮游植物和營養(yǎng)鹽質(zhì)量轉(zhuǎn)化動力學模型，其二是相對完整的營養(yǎng)鹽、浮游植物、浮游動物、碎屑質(zhì)量轉(zhuǎn)化動力學模型。模型關于浮游生物生物量轉(zhuǎn)化的描述方式在其他水生生態(tài)系統(tǒng)中具有一定的推廣意義。

2.1.1.1　NP模型

營養(yǎng)鹽（Nutritive Salt）和自養(yǎng)浮游植物（Phytoplankton）組成一個最為簡單的閉合生態(tài)系統(tǒng)。所謂NP模型就是描述這兩種物質(zhì)發(fā)生轉(zhuǎn)化的動力學模型。

這個動力學模型的關鍵在于描述浮游植物受兩方面生長條件影響下的生長過程：光輻射，營養(yǎng)鹽。模型假設系統(tǒng)僅由營養(yǎng)鹽和自養(yǎng)浮游植物兩類物質(zhì)所組成，并且為封閉系統(tǒng)，沒有質(zhì)量脫離系統(tǒng)，也沒有外界的質(zhì)量輸入。

NP模型如式（2.1a），式（2.1b）所示：

　　（2.1a）

　　（2.1b）

式中，P為浮游植物生物量濃度，kg·m^-3；N為營養(yǎng)鹽濃度，kg·m^-3；ε_P為浮游植物死亡比速率，s^-1；k_P為浮游植物的生長動力學比速率，s^-1。

浮游植物的生長會受到光輻射強弱和營養(yǎng)鹽貧富程度的影響，所以模型中k_P可定義為海洋內(nèi)部光密度I（W·m^-2）和營養(yǎng)鹽濃度N的量的函數(shù)，如式（2.2）所示

　　（2.2）

式中，生化反應比速率k_bio（s^-1）受營養(yǎng)鹽底物濃度影響的關系為莫諾得（Monod）形式并如式（2.3）所示。

　　（2.3）

光密度影響因子f（I）函數(shù)模型形式常用的有三種，詳見表2.1。

需要特別說明的是表2.1中的光密度影響因子f（I）函數(shù)的第三種定義方式，其考慮了光抑制現(xiàn)象——過強的光密度損害懸浮植物細胞中的葉綠素，從而降低光合作用發(fā)生效率的現(xiàn)象。這種形式的光密度影響因子函數(shù)適用于夏季淺水光密度分布較強的條件下。

模型如考慮到光被海水介質(zhì)所吸收的衰減效應，光密度將隨深度的增減而減弱，并服從指數(shù)衰減的比爾-朗伯定律（Beer-Lambert Law），如式（2.4）所示：

　　（2.4）

式中，d為水深，m；λ為衰減因子常數(shù)，m^-1。式（2.1）～式（2.4）以及表2.1中光密度影響因子的諸多關系共同組成了隨深度變化的自養(yǎng)懸浮植物和營養(yǎng)鹽質(zhì)量相互轉(zhuǎn)化的動力學模型。

如有必要，浮游植物生長模型還可以考慮溫度的影響，也就是在式（2.2）所定義的浮游植物的生長動力學比速率函數(shù)的基礎上再乘一個溫度因子^［9］。篇幅所限，不再贅述。

2.1.1.2　NPZD模型

NPZD模型包括的物質(zhì)種類有：營養(yǎng)鹽（Nutritive Salt）、自養(yǎng)浮游植物（Phytoplankton）、食植浮游動物（Zooplankton）以及碎屑（Debris）。它們之間的質(zhì)量轉(zhuǎn)化關系如圖1.1所示。營養(yǎng)鹽與浮游生物之間的質(zhì)量轉(zhuǎn)化通過中間物質(zhì)——海洋碎屑實現(xiàn)。浮游生物死亡形成海洋碎屑，海洋碎屑分解形成營養(yǎng)鹽；浮游植物通過攝取營養(yǎng)鹽實現(xiàn)生物量增長，浮游植物通過攝食活動實現(xiàn)生物量的增長，攝食的殘余物或排泄物進入碎屑體系。不考慮外界質(zhì)量的輸入與輸出。四者所組成的海洋底層生態(tài)系統(tǒng)封閉體系的動力學方程（組）如式（2.5a），式（2.5b），式（2.5c），式（2.5d）所示：

　　（2.5a）

　　（2.5b）

　　（2.5c）

　　（2.5d）

式中，P，N，ε_P，k_P，I符號意義同NP模型。Z為食植浮游動物生物量，kg·m^-3；D為碎屑濃度，kg·m^-3。函數(shù)F為因食植浮游動物的攝食行為而轉(zhuǎn)化的生物量的轉(zhuǎn)化速率，kg·s^-1·m^-3，γ為吸收率或同化率，無量綱。描述攝食行為的攝食生物量轉(zhuǎn)化速率函數(shù)形式不一，表2.2給出了其常用的幾種形式。

NPZD模型中的營養(yǎng)鹽、自養(yǎng)浮游植物、食植浮游動物以及碎屑四種物質(zhì)組成了一個封閉的質(zhì)量循環(huán)體系，在這個體系中雖然單一種類的質(zhì)量會發(fā)生改變，但總體質(zhì)量保持守恒。模型雖然也考慮了光的強度等外界因素的影響，但是光的強弱并不直接參與質(zhì)量的轉(zhuǎn)化，而作為外在條件，通過改變質(zhì)量轉(zhuǎn)化的速率間接影響質(zhì)量的轉(zhuǎn)化過程。

可以總結一下研究淺海生態(tài)模型和其建立過程給我們的啟示。其一，簡單明晰系統(tǒng)框架便于問題的研究。對淺海生態(tài)系統(tǒng)這個復雜的研究對象，僅劃分為N（營養(yǎng)鹽）、P（自養(yǎng)浮游植物）兩類物質(zhì)或N（營養(yǎng)鹽）、P（自養(yǎng)浮游植物）、Z（食植浮游動物）、D（碎屑）四類物質(zhì)，這是淺海生態(tài)模型舍繁求簡從功能特征劃分系統(tǒng)元素的特點。其二，基本原理與適用性的結合。從模型的設計可以發(fā)現(xiàn)，從NP到NPZD模型，對物質(zhì)的轉(zhuǎn)化過程的刻畫逐漸詳細，但模型的建立完全嚴格遵循基本的質(zhì)量守恒律原理。與此同時，針對不同條件或具體應用情況的考慮，增長比速率函數(shù)的定義有所不同。其三，建模可以逐漸細化或擴展。在這個轉(zhuǎn)化模型的框架基礎之上，建模者可以根據(jù)需要進一步豐富模型的內(nèi)容。比如除了考慮光強的影響，某些條件下應該增加溫度的對物質(zhì)增長速率的影響而細化模型。再比如，對于某些漁業(yè)生產(chǎn)與生態(tài)環(huán)境協(xié)同問題，需聚焦于某一種魚類或海產(chǎn)品的生物量，則可以在NPZD模型的基礎上擴展建立新的模型：根據(jù)這種魚類或海產(chǎn)品的主要攝食物種類別進一步細分浮游動物。

2.1.2　環(huán)境水體的氧濃度模型

在湖泊或者河流中最為重要的生態(tài)環(huán)境指標莫過于水體中的氧濃度含量。水體中氧的貧富程度直接表征了水生生態(tài)環(huán)境的活性。抓住了這個生態(tài)系統(tǒng)氧氣的變化規(guī)律，則抓住了這個系統(tǒng)的關鍵。

以Street-Phelps（S-P）模型為基本的箱式模型將整個水體環(huán)境視為一個大型的箱式容器反應器，不考慮容器內(nèi)部污染物的空間分布不均現(xiàn)象，只考察氧的濃度指標隨時間的變化情況，并在此基礎上派生出了各種不同的環(huán)境水體氧濃度模型。而模型的建立基于此物質(zhì)轉(zhuǎn)化的守恒律和衰減規(guī)律。在直接給出模型形式之前，需要搞清楚氧氣在水體中的存在形式和最基本的演變方式。

2.1.2.1　溶解氧動力學方程

對于溶解態(tài)的氧氣，我們并不直接以溶解氧的濃度C_O（kg·m^-3）來描述它，取而代之的是水體還能夠溶解氧氣的濃度“余地”或“空間”，此被稱為“氧虧”。氧虧的符號為D，屬于濃度量，單位為kg·m^-3。定義D=C_OS—C_O。氧虧還體現(xiàn)了水體的缺氧程度。當中C_OS（kg·m^-3）為水體中氧的飽和溶解濃度常數(shù)。這與水環(huán)境相對固定的客觀條件有關，而被認為是個常數(shù)。

氧氣在水中的溶解速率取決于水體中氧的飽和溶解量和實際溶解量之間的差距，或者說是水還可以溶解、存納氧氣的溶解空間。因此，在潔凈水體中，當僅考慮氧氣的溶解過程，則可以以下微分方程（2.6）形式，描述氧氣在水中的溶解速率。

　　（2.6）

式（2.6）為氧氣的溶解動力學方程。式中，V為水體體積，m³；A為水體與大氣的接觸面積，m²；k_L為空氣向水體傳遞氧氣的傳質(zhì)系數(shù)或傳質(zhì)速率常數(shù)，m·s^-1。更為簡潔明了地，這個方程也可以寫為以氧虧D為變量的形式，如式（2.7）所示。

　　（2.7）

式中，k_a=k_LA/V，單位為s^-1。由于水體的幾何形態(tài)固定，所以k_a也是常數(shù)，稱為氧虧衰減比速率。衰減比速率與水體和大氣的暴露面積成正比，與水體體積成反比。可見，由于氧氣的溶解，暴露在大氣環(huán)境中的水體氧虧指標會隨時間發(fā)生衰減，水體缺氧的狀態(tài)會隨時間而逐漸緩解。式（2.7）表達了環(huán)境水體中氧虧指標所基本服從的衰減律。

2.1.2.2　BOD和BOD自身的衰減

一般情況下，在相對封閉的水體內(nèi)氧可以以游離的溶解狀態(tài)存在，也可以被生化反應所使用。前者氧以溶解態(tài)的氧存在，后者氧以BOD方式存在。所以，除了需要弄清氧氣溶解的基本規(guī)律以外，也需要同時搞清楚水體中BOD溶解態(tài)的氧氣的變化規(guī)律，以及其與溶解氧之間的聯(lián)系。

首先具體說明何為BOD，以及為何使用BOD。水體中有機物是個范疇概念，包含諸多物種，甚至涵蓋微生物和沒有生命的有機物。對于生物量的直接測量比較困難，考慮到物種的生命過程無不與氧氣或氧元素聯(lián)系密切，使用生化耗氧量（BOD——Biochemical Oxygen Demand）一個指標間接體現(xiàn)水體有機物總量是個簡單有效的做法。比如說，有機物在水體內(nèi)的好氧分解的一般過程可以按照如下式寫出：

而所謂BOD則是參與此類生化反應的氧氣的量。明顯地，通過BOD的多少可以估算出水體中有機物含量的多少，還能估算出參與有氧分解過程微生物的量以及兩者的總量，對于特定的反應，這些量與BOD之間存在倍數(shù)關系；而對于綜合反應，BOD指標也能夠表達有機物或微生物的量以及總量。通常人們關心的是有機物（包括微生物）的總量。BOD并非是對有機物（包括微生物）總量多少的直接測量。在自然生態(tài)中的環(huán)境水體中，微生物種類繁多，好氧生化過程復雜，人們確實難以考察反應的細節(jié)，而更加關心整個環(huán)境水體中有機物（包括微生物）的總量。通過直接考察測量BOD的辦法是方便有效的。

在量化的描述中，定義BOD濃度L（kg·m^-3）。水體的BOD濃度指標L同樣服從衰減律。BOD的多少與有機物（包括微生物）總量之間存在一致性，所以當存在有機物（非微生物）的好氧分解，以及微生物的死亡作用時，BOD指標也會隨之減少。因此，這種情況下存在如下微分方程式（2.8）：

　　（2.8）

式中，k_d為有機物降解比速率常數(shù)，s^-1。這體現(xiàn)了BOD自身的變化也符合衰減律。

以上式（2.7）與式（2.8）揭示了氧虧與BOD自身變化的衰減律，但是式（2.7）與式（2.8）并未完全體現(xiàn)水體中氧的轉(zhuǎn)化規(guī)律，以及氧虧和BOD兩者的聯(lián)系。實際上，氧虧和BOD的變化速率之間存在互補的關系，并且受到守恒律的約束，這在以下S-P模型中有體現(xiàn)。

2.1.2.3　氧轉(zhuǎn)化的S-P模型

從變化速率上看，隨著有機物好氧分解的進行，氧氣被用于生化反應而釋放了水體氧氣，也就是任何時刻的單位時間內(nèi)氧虧的總量會增加；與此同時，隨著有機物好氧分解的進行，以及微生物的死亡和碎屑的沉淀，對應BOD總量減少，而且每單位時間內(nèi)有多少BOD的減少則有多少氧虧的增加，所以BOD與氧虧的變化速率之間存在互補的關系，并且滿足守恒律關系。

Street-Phelps（S-P）模型描述水體環(huán)境中氧的轉(zhuǎn)化規(guī)律，屬于默認水體中氧氣分布均勻的箱式模型。S-P模型體現(xiàn)了氧虧濃度和BOD濃度自身變化過程中的衰減律以及兩者在任意時刻的單位時間內(nèi)的質(zhì)量互補的守恒關系。先不考慮空間上氧的分布不均問題，S-P模型已經(jīng)能夠較為清晰地揭示水體中氧隨時間的變化規(guī)律。S-P模型以方程組（2.9a），（2.9b）的形式給出：

　　（2.9a）

　　（2.9b）

從功能上看，也就是從溶解氧在水環(huán)境中起到的作用上來看，氧氣可以游離地溶解在水體中，也可以因有機物的好氧分解過程而被使用或消耗掉。Street-Phelps（S-P）模型將氧氣濃度功能化地劃分為兩種存在形式——氧虧和BOD。這又是一種以“特征”定義“系統(tǒng)元素”的思考方式，這種直接抓住事物關鍵特征的觀察角度為復雜系統(tǒng)的分析和進一步建立模型提供了方便。

式（2.9）為S-P模型基本形式，在此基礎上（如細化環(huán)境水體中氧氣轉(zhuǎn)化的不同過程），S-P模型還存在其他變形。

2.1.2.4　S-P模型的派生模型

S-P模型的派生模型在原來模型的基礎上增加了沉降效應、光合作用等過程。主要的派生模型有托馬斯模型、康布模型和歐康奈爾模型。

托馬斯模型在S-P模型的基本形式的基礎上引進了生物量的沉降等去除作用，增加（或細分）了一個衰減項，如式（2.10a），式（2.10b）所示：

　　（2.10a）

　　（2.10b）

k_s為因沉降作用而使得BOD減少的衰減比速率常數(shù)，s^-1。

康布模型在托馬斯模型的基礎上增加了光合作用生物生產(chǎn)對體系氧氣的貢獻：一方面光合作用產(chǎn)生了水體有機物總量增速率B（kg·m^-3·s^-1）；另一方面，光合作用產(chǎn)生氧氣而減少了氧虧，產(chǎn)生的氧虧減少速率記為P（kg·m^-3·s^-1）。如式（2.11a），式（2.11b）：

　　（2.11a）

　　（2.11b）

歐康奈爾模型是托馬斯模型的細化，其將生化耗氧量BOD分為含碳生物耗氧量CBOD和含氮生物耗氧量NBOD分別計算，如式（2.12a），式（2.12b），式（2.12c）：

　　（2.12a）

　　（2.12b）

　　（2.12c）

式中，L_c為含碳生物耗氧量濃度，kg·m^-3；L_n為含氮生物耗氧量濃度，kg·m^-3，沉降等去除作用僅表現(xiàn)在CBOD方程上。

2.1.2.5　歐康奈爾遷移-傳質(zhì)-轉(zhuǎn)化模型

到目前為止以上4種形式的S-P箱式模型不考慮水體的流動和物質(zhì)的擴散所引起含氧量的傳遞與轉(zhuǎn)移現(xiàn)象，但歐康奈爾模型還存在穩(wěn)態(tài)傳輸形式。這個模型描述的是穩(wěn)定狀態(tài)下水體氧量的傳輸、傳質(zhì)和轉(zhuǎn)化規(guī)律，適用于具有恒定流速的河流內(nèi)水體氧量的衡算。這個模型的具體內(nèi)容如下。以河流中軸線上所測量的河流長度為坐標尺度x，河流流速為恒定值u，則含碳生物耗氧量的變化率為：

考慮到穩(wěn)態(tài)假設，即認為在自然體系內(nèi)，較長時間尺度上看水體中物質(zhì)濃度已經(jīng)達到穩(wěn)定：

因此就有式（12.13a）：

　　（2.13a）

同樣地，對于歐康奈爾模型其他變量，有方程式（2.13b），式（2.13c）：

　　（2.13b）

　　（2.13c）

模型給出的是河流中軸線上各氧量濃度空間分布規(guī)律，已經(jīng)不屬于箱式模型范疇。模型給出穩(wěn)態(tài)條件下因河流的流動和傳質(zhì)轉(zhuǎn)化導致的各氧量指標在空間上的分布。若已知某已固定流量排污的排污口處氧量濃度值，模型則可以此為定解條件，得到下游河道中軸線上氧量的分布解。此為最簡單的遷移轉(zhuǎn)化模型。

2.1.3　湖泊污染物箱式模型

污染物的箱式模型將體系視為相對封閉的系統(tǒng)，污染物在其中的空間分布視為均勻，僅考慮其在時間上的變化情況，模型主要考察污染物的轉(zhuǎn)化規(guī)律而非遷移規(guī)律。在守恒律的支配規(guī)則下，當存在河流攜帶以及沉降作用的情況時，湖泊污染物的箱式模型的重點在于如何描述流體質(zhì)量的輸出與輸入。通量的概念是建立模型的基本。沃倫韋德爾（R.A.Vollenweider）模型和吉柯奈爾-狄龍（Kichner-Dillon）模型是兩個典型的湖泊污染物濃度衡算的箱式模型，體現(xiàn)質(zhì)量的守恒規(guī)律。在某些條件下也存在描述熱量守恒規(guī)律的箱式模型，有興趣請查閱相關資料。

2.1.3.1　沃倫韋德爾模型

模型針對環(huán)境水體進行質(zhì)量衡算。為得到總?cè)莘e為V（m³）的箱式水體內(nèi)某物質(zhì)質(zhì)量濃度C（kg·m^-3）的變化規(guī)律，模型考慮輸入通量、輸出通量和因沉降而產(chǎn)生的在鉛直方向上的通量對C改變的影響。

其一，輸入通量為：單位時間內(nèi)輸入水體的營養(yǎng)物質(zhì)或污染物質(zhì)量I_c（kg·s^-1）。

其二，輸出通量為：以流出箱體的水體積通量Q（m³·s^-1）決定的輸出污染物質(zhì)量QC（kg·s^-1）。

其三，沉降通量為：V_sedAC（kg·s^-1）。A（m²）為水體平均截面面積，V_sed（m·s^-1）為沉降速度，因此V_sedAC為單位時間沉降體積內(nèi)所含有的污染物質(zhì)量。如果定義沉降比速率s（s^-1）為單位時間沉降體積占湖泊總體積的比（s=V_sedA/V），則沉降通量還可以表達成sVC（kg·s^-1）。有時s還可以寫為s=V_sed/h，h（m）為平均水深。嚴格意義上講沉降速度V_sed和沉降比速率s應該按點定義，即在湖泊內(nèi)部不同位置上的沉降速率或比速率都不會相同，在接近湖面位置處此兩者數(shù)值略大，在接近湖底位置處此兩者數(shù)值趨于0。但是在箱式模型的均勻混合假設條件下，近似視其為非0常數(shù)。

模型不考慮水體內(nèi)部的化學反應或生化反應。由此箱式水體內(nèi)部某物質(zhì)質(zhì)量濃度C（kg·m^-3）的衡算衡算方程為式（2.14）：

　　（2.14）

此為沃倫韋德爾箱式模型。

2.1.3.2　吉柯奈爾-狄龍模型

吉柯奈爾-狄龍模型引入滯留系數(shù)R_c的概念改寫輸出通量。R_c的意義為單位時間內(nèi)輸出河流的物質(zhì)質(zhì)量和輸入河流的物質(zhì)質(zhì)量之比。因此吉柯奈爾-狄龍模型如式（2.15）：

　　（2.15）

滯留系數(shù)R_c的估算方法如式（2.16）：

　　（2.16）

式中，Q_in，i為第i條匯入河流流入水體的水流體積通量，m³·s^-1；C_in，i為第i條匯入河流攜帶匯入的物質(zhì)濃度，kg·m^-3；Q_out，j為第j條匯入河流流入水體的水流體積通量，m^-3·s^-1；C_out，j為第j條匯入河流攜帶匯入的物質(zhì)濃度，kg·m^-3。

2.1.4　湖泊多箱體模型

2.1.4.1　水體的分區(qū)箱式模型

依據(jù)質(zhì)量守恒律，體積為V的湖泊箱體內(nèi)物種i（第i種物種）質(zhì)量濃度C_i單位時間內(nèi)的增量取決于物質(zhì)的輸入、物質(zhì)的輸出、沉降現(xiàn)象以及化學或生化轉(zhuǎn)化，即傳質(zhì)和轉(zhuǎn)化現(xiàn)象。具體表達如下：

　　（2.17）

式中各質(zhì)量通量的定義為，F_in，i為單位時間內(nèi)輸入箱體的物質(zhì)i的質(zhì)量，可以包括大氣向水體的傳質(zhì)，比如溶解氧；F_out，i為單位時間內(nèi)輸出箱體物質(zhì)i的質(zhì)量；F_sed，i為因沉降作用單位時間輸出箱體物質(zhì)i的質(zhì)量；r_che，i為化學反應轉(zhuǎn)化的物質(zhì)i濃度；r_bio，i為生化反應轉(zhuǎn)化的物質(zhì)i濃度。

以上是將湖泊視為一個箱體的箱式模型基本形式，某些情況下為提高相對的準確性，而將湖泊視為多個箱體的組成。建立多箱體模型的原因一方面在于能夠增加模型的準確性。雖然在個別箱體內(nèi)部同樣認為物質(zhì)混合均勻，不存在濃度差別，但是允許在不同箱體之間存在濃度差別，因而用多個擁有不同物質(zhì)濃度的箱體所組成的多濃度體系近似描述整個湖泊水體中物質(zhì)濃度分布不均的現(xiàn)象，這實際上是網(wǎng)格化的一種初級形式或粗糙形式。最為常見的有兩種水體的多箱體分區(qū)方式，其一是對面積廣大的湖泊在水平面積上將湖泊視為多個箱體的組合，比如2.1.4.3中滇池的分區(qū)水質(zhì)模型。其二是對深度較深的水體在深度的鉛直方向上將湖泊分為多個箱體疊落，細致考察其中的沉降現(xiàn)象，比如污水處理廠中的沉降池水質(zhì)模型。

建立多箱體模型的另一方面的原因在于，湖泊不同區(qū)域的物質(zhì)轉(zhuǎn)化機制的客觀現(xiàn)實不同，而必須區(qū)分考慮，建立分區(qū)箱式模型。比如2.1.4.2斯諾得格拉斯（Snodgrass）湖泊分層箱式模型。這個模型考慮到深度較深湖泊由于夏天溫度在深度上的分布不均導致了磷酸鹽和偏磷酸鹽的轉(zhuǎn)化機制有所不同，而將湖泊分層建模。2.1.4.3中滇池的分區(qū)水質(zhì)模型也考慮了不同區(qū)域物質(zhì)的轉(zhuǎn)化效率的差別，并區(qū)分了不同區(qū)域轉(zhuǎn)化過程。

一般地，當輸入湖泊河流數(shù)目為p，輸出河流數(shù)目為q，物種數(shù)為m，箱數(shù)為n時，輸入箱體k的物種i的質(zhì)量濃度C_ki以式（2.18）所示：

　　（2.18）

式中，i=1，2，…，m； k=1，2，…，n。V_k是箱體k的體積。上式右端頭兩項為河流的輸入和輸出，當河流與此箱體不連通時，相關河流質(zhì)量通量為0。F_air，k是大氣向箱體k的傳質(zhì)，比如考慮氧氣的溶解過程時此項非0，如忽略大氣對水體的傳質(zhì)或者箱體與大氣不連通時為0。F_in，kli和F_out，kli分別為單位時間內(nèi)箱體l向箱體k輸入和輸出箱體的物質(zhì)i的質(zhì)量；F_sed，ki為因沉降作用在單位時間輸出箱體k的物質(zhì)i的質(zhì)量；r_che，ki和r_bio，_ki分別為在箱體k中化學反應轉(zhuǎn)化的物質(zhì)i濃度和生化反應轉(zhuǎn)化的物質(zhì)i濃度。

2.1.4.2　斯諾得格拉斯湖泊分層箱式模型

在夏季，有一定深度的湖泊會出現(xiàn)溫度分層的現(xiàn)象。湖水的表面溫度接近大氣溫度，通常為20℃上下，隨著湖水深度的增加，溫度先陡然下降，之后溫度保持在4℃以上，并基本維持在恒溫水平。不同溫度的水體區(qū)域是不同的生態(tài)環(huán)境。溫度的分布不均在一定程度上會影響湖泊藻類或微生物群以及營養(yǎng)物質(zhì)的循環(huán)轉(zhuǎn)化，特別是不同存在形態(tài)的磷元素的相互轉(zhuǎn)化因溫度而不同。

因此，刻畫夏季深層湖泊中磷的遷移轉(zhuǎn)化的斯諾得格拉斯模型（Snodgrass Model），將湖泊在鉛直方向上分為兩個層。模型將溫度陡然變化的深度區(qū)域稱為變溫層（Epilimnion），以下直至湖底水域稱為均穩(wěn)層（Hypolimnion）。如圖2.1所示。通常情況下躍溫層（Thermocline/Metalimnion）是指變溫層向均穩(wěn)層過度的中間區(qū)域。斯諾得格拉斯模型還包括冬季磷的轉(zhuǎn)化遷移模型。所不同的是，因為冬季湖泊溫度分布較為均勻，皆為4℃左右，冬季湖泊的斯諾得格拉斯模型將整個湖泊視為一個箱體，不再對湖泊分區(qū)。夏季和冬季模型皆以正磷酸鹽和偏磷酸鹽的兩類物質(zhì)的濃度指標為主要變量。模型關于此兩個變量建立衡算方程，認為箱體為一個反應器系統(tǒng)，考察了所有主要的影響正磷酸鹽和偏磷酸鹽兩類濃度改變的轉(zhuǎn)化和遷移因素。其中包括箱體與外界磷元素的質(zhì)量交換、不同箱體之間的質(zhì)量遷移和箱體內(nèi)部物質(zhì)的轉(zhuǎn)化過程。以下分別敘述夏季兩箱體模型和冬季單箱體模型。

在夏季模型中，分層建模的依據(jù)在于正磷酸鹽和偏磷酸鹽在不同溫層的轉(zhuǎn)化過程不同，可以按照以下方式表達：

所以在夏季模型中，湖泊的上層主要發(fā)生的是從正磷酸鹽向偏磷酸鹽轉(zhuǎn)化的反應，而在湖泊的下層主要發(fā)生的則是偏磷酸鹽向正磷酸鹽的轉(zhuǎn)化反應。

開始需要聲明模型所涉及的變量。在變溫層箱體中，正磷酸鹽濃度和偏磷酸鹽濃度分別以符號P_1e和表示；在均溫層箱體中，正磷酸鹽濃度和偏磷酸鹽濃度分別以符號P_1h和P_2h表示，單位皆為kg·m^-3。

進一步分述模型所考察的遷移（傳質(zhì)）和轉(zhuǎn)化過程。

變溫層處于湖泊上表面，在變溫層箱體的遷移（傳質(zhì)）現(xiàn)象包括考慮河流的攜帶，層間的擴散作用。對遷移（傳質(zhì)）現(xiàn)象以輸入輸出分述之。首先，輸入變溫層箱體有兩個通量。其一，河流的攜帶通量：∑Q_jP_ij。i=1表示正磷酸鹽，i=2表示偏磷酸鹽，j是流入河流編號。其二，因物質(zhì)的擴散作用，均溫層對變溫層產(chǎn)生傳質(zhì)通量。這個通量和物質(zhì)濃度的梯度有關。離散條件下，均穩(wěn)層向變溫層的擴散物質(zhì)通量為可以這樣估算：A_thD_th（P_ih-P_ie）/z_th。i為正磷酸鹽或偏磷酸鹽物質(zhì)編號；z_th為躍溫層高度z_th=（z_e+z_h）/2；A_th為躍溫層橫截面積，也即變溫層與均溫層交界面面積。其次，輸出變溫層箱體的通量有兩個。其一，河流攜帶。河流的攜帶輸出通量為：∑Q'_kP_ie；i=1表示正磷酸鹽，i=2表示偏磷酸鹽，k是流出河流編號。其二，沉降攜帶：僅有偏磷酸鹽發(fā)生沉降，其沉降通量為v_sed，eA_thP_2e，v_sed，e為變溫層內(nèi)的沉降速率。

再有，變溫層內(nèi)存在正磷酸鹽向偏磷酸鹽轉(zhuǎn)化。轉(zhuǎn)化的速率取決于正磷酸鹽濃度：k_12，eV_eP_1e。因此，變溫層箱式模型用式（2.19a）與式（2.19b）表示：

　　（2.19a）

　　（2.19b）

在夏季模型中第二個均溫層箱體處于湖泊底層，不需要考慮河流的攜帶作用，但是存在層間的擴散作用以及偏磷酸鹽的沉降作用。

首先，輸入均溫層箱體有通量兩個。其一，對于兩種磷酸鹽變溫層向均溫層都存在擴散傳質(zhì)。對于不同的物種i，擴散傳質(zhì)通量為：A_thD_th（P_ih-P_ie）/z_th。其二，上層的偏磷酸鹽的沉降帶入。上層的偏磷酸沉降質(zhì)量通量為：-v_sed，eA_thP_2e。

其次，由于均溫層不與河道相連，僅考慮沉降輸出，而且僅存在偏磷酸鹽的沉降。其沉降通量為：v_sed，hA_sP_2e。A_s為底層沉淀區(qū)橫截面積，近似為均溫層底面面積。v_sed，h為均溫層內(nèi)的沉降速率。

再有，均穩(wěn)層內(nèi)僅存在偏磷酸鹽向正磷酸鹽轉(zhuǎn)化過程，轉(zhuǎn)化的速率取決于偏磷酸鹽濃度：k_21，hV_hP_2h。因此，均溫層箱式模型用式（2.19c）與式（2.19d）表示：

　　（2.19c）

　　（2.19d）

以上為斯諾得格拉斯夏季湖泊磷遷移、轉(zhuǎn)化模型。以下建立冬季模型。

冬季湖泊表面結冰，水下絕大部分區(qū)域保持在4℃均溫度，故使用單箱模型進行質(zhì)量衡算。單箱模型不再區(qū)分均溫層和變溫層變量，僅按物質(zhì)區(qū)分濃度變量，實際上只需將兩層模型相加就行了。如式（2.20a）與式（2.20b）所示：

　　（2.20a）

　　（2.20b）

2.1.4.3　 劉玉生-唐宗武滇池分區(qū)箱式模型

劉玉生、唐宗武^［12］建立了滇池富營養(yǎng)化模型。其利用滇池內(nèi)生化反應相對顯著程度以及水流的傳輸相對擴散的顯著程度的空間分布不均性來對滇池進行功能性的分區(qū)，建立分區(qū)模型箱式模型。具體地，以Pe數(shù)（Peclet Number）以及PK數(shù)為指標作為分區(qū)的根據(jù)。Pe數(shù)的意義是水流輸運相對于擴散對物質(zhì)的傳遞顯著程度。Pe數(shù)較大意味著流動傳輸是物質(zhì)傳遞的主要機理，而非擴散。PK數(shù)為反應項和傳遞項的比值，PK數(shù)較大意味著局部物質(zhì)質(zhì)量的消耗或轉(zhuǎn)移主要靠反應完成而非因流體的流動。該模型將滇池分為5個箱：北部，盤龍河以北草海兩個箱，盤龍河以南外海三個箱，如圖2.2所示。

模型對各個箱體關于11個物質(zhì)濃度變量進行質(zhì)量衡算。這11個物種是8種狀態(tài)中的元素和3類污染物質(zhì)，它們分別是：藻類細胞中的碳含量、藻類細胞中的氮含量、藻類細胞中的磷含量、有機碎屑中的磷含量、有機碎屑中的氮含量、沉積物中的磷、沉積物中的氮、可溶性磷以及浮游植物生物量、浮游動物生物量、化學需氧量。

在箱體j（j=1，2，3，4，5）中物質(zhì)i（i=1，2，…，11）濃度C_i，j（kg·m^-3）的衡算模型的具體形式如式（2.21）所示：

　　（2.21）

式中，A為箱體接觸面積，m²；D為物質(zhì)在箱體之間的擴散系數(shù)，m²·s^-1；Q為箱體間流量，m³·s^-1；r為轉(zhuǎn)化速率kg·m^-3·s^-1；V為箱體體積，m³。

模型的另一個關鍵問題在于各物質(zhì)的轉(zhuǎn)化率r的確定，其中包含生化反應動力學，并多為莫諾得形式。一般來講，考慮到湖泊生物動力學過程的復雜性和具體湖泊的特殊性，生化反應動力學形式并不唯一，相比相對固定的遷移過程而言，轉(zhuǎn)化率模型為湖泊環(huán)境動力學模型的關鍵問題，而需要分別單獨研究。如果考慮到漁業(yè)對湖泊營養(yǎng)物質(zhì)轉(zhuǎn)移的影響需要模式化生物鏈子系統(tǒng)及相關的傳質(zhì)過程。