山脈

登上一座山能讓你看到更高的山

你是否有過這種體驗(yàn)——登上一座山的頂峰，發(fā)現(xiàn)的卻是比它更高的所有其他山峰？數(shù)學(xué)也是如此，它越發(fā)展，可供研究的對象就越多。此事的發(fā)生一般伴隨著兩種過程。

第一種是“抽象化”：我們用邏輯梳理清楚了本來沒有邏輯存在的領(lǐng)域。打個比方，可能你原本只用電飯煲煮米飯，而有一天，你發(fā)現(xiàn)你也可以用它來烤蛋糕，而且用電飯煲烤出來的蛋糕和用傳統(tǒng)烤箱烤出來的蛋糕只有一點(diǎn)點(diǎn)不同。換句話說，我們借助一種新的視角來看待原本不是數(shù)學(xué)的事物，從而將其變?yōu)閿?shù)學(xué)。這就是x和y會出現(xiàn)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的原因——我們原先的目的是研究數(shù)字，但后來我們發(fā)現(xiàn)此種處理數(shù)字的方法也可以應(yīng)用到其他領(lǐng)域。

第二種是“廣義化”：我們明白了如何用我們已經(jīng)理解的事物來建構(gòu)更復(fù)雜的事物。這就好像你用攪拌機(jī)做了一個蛋糕，又用攪拌機(jī)做了酥皮，然后把兩者堆疊起來，創(chuàng)造出一種新的甜點(diǎn)。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，這就等同于用比較簡單的數(shù)字、三角形和日常生活中的事物來建構(gòu)多項(xiàng)式、矩陣、四維空間等。

我會在接下來的幾章探討抽象化和廣義化這兩種過程，但首先我想請讀者看一看數(shù)學(xué)是如何奇妙又怪異地實(shí)現(xiàn)這兩個過程的。