01　半人馬座α

1.1 什么是三體問題？

歡迎踏上“宇宙奧德賽”的第二段旅程，即穿越銀河系之旅。在這場旅行的第一站，我們要拜訪的是離地球最近的恒星系統(tǒng)：半人馬座α。它也是中國著名科幻作家劉慈欣筆下的三體世界的原型（圖1.1）。

不過在正式游覽半人馬座α之前，我想先科普一下，到底什么是三體問題。

一言以蔽之，三體問題就是研究3個物體在自身萬有引力作用下的運動規(guī)律的問題。它關心的是，如果知道了某個時刻3個物體的質量、位置和速度，能否準確預言它們未來的運動軌跡。

第一個研究三體問題的人，是我們的老朋友艾薩克·牛頓爵士。在傳世巨著《自然哲學的數學原理》中（圖1.2），他研究了月球在地球和太陽引力影響下的運動。

在此后的數百年間，有數不清的數學家和物理學家都研究過這個三體問題。限于篇幅，我只介紹其中最重要的3個牛人。

第一個牛人是瑞士大數學家萊昂哈德·歐拉（圖1.3）。

歷史上有一大堆特別牛的數學家。但能牛到像歐拉這么逆天的，實在是鳳毛麟角。為了說明此人逆天的程度，讓我們從他一生中最黑暗的時刻說起。

1766年，也就是歐拉59歲的那一年，他的左眼因為白內障而失明。由于他的右眼早在20多年前就已經失明了，這讓歐拉一下就掉進了黑暗的深淵。

你不難想象，對一個整天寫寫算算的數學家而言，雙目失明到底意味著什么。這幾乎就是末日降臨。

為什么要說“幾乎”呢？是因為歷史上有一個數學家從絕望中挺了過來，在雙目失明的情況下，依靠匪夷所思的記憶力和心算能力繼續(xù)從事數學研究，后來竟然又發(fā)表了將近200篇數學論文。你可能已經猜到，這個強悍到變態(tài)的怪物，就是歐拉本人。

我舉一個例子，你就能體會到歐拉變態(tài)的程度了。雙目失明以后，他曾經心算過一個17項相加的算式，即（這里的“！”代表數學中的階乘）；事實上，他一直算到了小數點后50位，都沒有出現任何錯誤！

歐拉一生中總共發(fā)表了800多篇論文，從而成為歷史上發(fā)表論文數第二多的數學家，僅次于1983年沃爾夫數學獎得主保羅·埃爾德什。此外，他的論文質量也傲視群雄。有一個數學雜志，曾經組織了一群知名數學家來評選歷史上最美的數學公式。結果在前5名中，有4個公式都是歐拉提出的。排名第一的就是著名的歐拉恒等式：e^iπ+1=0。

除了著作等身，歐拉也是一個很有眼光的伯樂。他發(fā)掘過的最有名的千里馬，就是我要為你介紹的第二個牛人：意大利大數學家約瑟夫·拉格朗日（圖1.4）。

拉格朗日也是一個曠世奇才。他很小的時候就考上了都靈大學。不過剛上大學的拉格朗日，其職業(yè)規(guī)劃是成為一名律師。17歲那年，他偶然看到哈雷寫的一篇介紹微積分的文章，這才對數學產生了濃厚的興趣。

依靠自學，拉格朗日很快就補上了必要的基礎，然后開始自己做一些數學研究。不久后，他提出了一種新的數學理論，那就是著名的變分法。

興奮不已的拉格朗日立刻給曾經做過相關研究的歐拉寫信，描述了自己的新理論。這封信讓歐拉大為贊賞。為此，他甚至壓下了一篇自己已經寫好、內容非常相似的論文，好讓拉格朗日的論文能夠率先發(fā)表。

此后，拉格朗日又把變分法應用于牛頓力學，并且推導出了分析力學中最核心的公式：歐拉-拉格朗日方程。應該有不少數學系或物理系的同學，都曾深受此方程的折磨。

值得一提的是，拉格朗日因為提出歐拉-拉格朗日方程而名動天下的時候，還是一個20歲的毛頭小伙子。換句話說，從對數學一無所知，到足以在數學史上青史留名，只花了拉格朗日短短3年的時間。

無論是歐拉還是拉格朗日，都在三體問題上傾注了大量的心血。下面，我就來講一講這兩人對三體問題的主要貢獻。

歐拉和拉格朗日研究的課題是，在兩個大型天體構成的雙體系統(tǒng)中，是否存在一些特殊的位置，讓所有處在這些位置上的小天體，都能在兩個大型天體的引力的作用下保持靜止？

他們的研究結果表明，一共存在5個這樣的位置（圖1.5）。歐拉發(fā)現了其中的3個位置，也就是圖1.5中的L1、L2和L3。這3個點位于兩個大型天體（以太陽和地球為例）中心的連線上。其中L1點位于太陽和地球之間，L2點位于地球的外側，而L3點位于太陽的外側、很靠近地球公轉軌道的地方。而拉格朗日則發(fā)現了另外的兩個位置，也就是圖中的L4和L5。這兩點都位于地球繞太陽公轉的軌道平面上，并且與太陽和地球構成了等邊三角形的3個頂點。這5個特殊的位置，被后人稱為拉格朗日點。

位于拉格朗日點的小天體，只依靠太陽和地球的引力就可以一直停留在拉格朗日點。這意味著，如果能把人造衛(wèi)星或空間望遠鏡送到拉格朗日點，它們就能在不依賴額外燃料的情況下，一直相對于地球保持靜止。因此，拉格朗日點是放置人造衛(wèi)星或空間望遠鏡的最理想的位置。

不過，在這5個拉格朗日點中，L3、L4和L5點都離地球頗為遙遠，以目前的技術還很難到達。L1點雖然離地球較近，但會受到比較嚴重的太陽風的干擾。因此，人們一般都會把人造衛(wèi)星或空間望遠鏡送到L2點上。

拉格朗日點的發(fā)現為三體問題的研究帶來了一線曙光。人們一度樂觀地認為，總有一天人類能徹底解決三體問題；換言之，可以解析算出所有三體系統(tǒng)的運動軌跡。但到了19世紀末，這個美好的愿望因為一個人寫的一篇論文而破滅。這個人就是我要為你介紹的第三個牛人：法國大數學家亨利·龐加萊（圖1.6）。

龐加萊有一個綽號：世界上最后一個數學全才。下面這件事最能說明此人強悍到何種地步。在20世紀初期，他曾與另一個大數學家、德國哥廷根學派領袖克萊因在自守函數領域展開過一場異常慘烈的競爭。表面上看，兩人最后平分秋色，但實際上，克萊因可謂兵敗如山倒。因為這場競爭拖垮了克萊因的身體，讓他研究數學的黃金時代早早終結。而龐加萊則游刃有余，在與克萊因展開競爭之余，還抽空建立了另一門數學分支。

言歸正傳。1887年，龐加萊參加了一個為慶祝瑞典國王奧斯卡二世60歲大壽而舉辦的數學競賽。此競賽的主題就是三體問題。數學家們原本希望能通過舉辦這次大賽來促進三體問題的解決，但現實卻無情地粉碎了他們的夢想。

在這個數學競賽中，龐加萊提交了一篇堪稱驚世駭俗、后來讓他名動天下的論文。他從數學上證明了，三體問題根本沒有解析解；換言之，根本無法寫出解析的數學公式，來精確預言三體系統(tǒng)未來的運動軌跡。更恐怖的是，三體系統(tǒng)存在很多無法精確預測其未來運動狀態(tài)的數值敏感區(qū)，這讓它變成了一個真正意義上的混沌系統(tǒng)。

聽起來有點云里霧里，是吧？沒關系。讓我借助一個在中學物理中最常見的例子，來解釋一下什么是數值敏感區(qū)和混沌系統(tǒng)。

圖1.7是一個單擺。一根長為10米、質量可以忽略不計的輕桿，一端固定，另一端連著一個質量為m的小球。假設地球的重力加速度是10米/秒。開始的時候，小球靜止在最低端的位置。如果給小球一個初速度，就可以讓它擺動起來。很明顯，初速度越大，小球所能達到的最大高度就越高。這個高度可以通過一個簡單的能量守恒公式來計算，其中m是小球的質量，v是小球的初速度，g是地球的重力加速度，而h是小球所能達到的最大高度。

好了，現在最關鍵的問題來了。要是給靜止的小球一個方向水平向右、大小為20米/秒的初速度，小球最終的運動狀態(tài)將會如何？

用前面說的能量守恒公式，很容易算出這個20米/秒的初速度，恰好能讓單擺沿逆時針的方向旋轉180°，并且達到整個單擺系統(tǒng)的最高點（即高度為20米的地方）。換句話說，20米/秒的初速度會讓此系統(tǒng)處于一個極端微妙的臨界狀態(tài)。此后，哪怕是最微小的改變，都會對單擺系統(tǒng)的運動狀態(tài)產生巨大的影響。比如說，如果真實初速度比這個臨界初速度大一億分之一，小球就會繼續(xù)沿逆時針的方向從左邊落下；如果真實初速度比這個臨界初速度小一億分之一，小球就會沿順時針的方向從右邊落下。換句話說，如果一個物理系統(tǒng)的初始條件恰好處于臨界狀態(tài)（在此例子中就是20米/秒），那么初始條件的微小改變會造成最終結果的驚天巨變。這個臨界的初始狀態(tài)，就是所謂的數值敏感區(qū)。

處于數值敏感區(qū)的物理系統(tǒng)，其最終的運動狀態(tài)就無法預測了。原因很簡單。我們使用的測量儀器精度有限，根本不可能測出一億分之一的速度變化。換言之，無論真實初速度比20米/秒大一億分之一還是小一億分之一，實驗儀器測出的數值全都是20米/秒。這樣一來，我們會發(fā)現同樣是20米/秒的初速度，有時會讓小球從左邊掉落，有時又會讓小球從右邊掉落。這種由于處于數值敏感區(qū)而導致的結果無法預測的詭異現象，就是所謂的混沌現象。

不像單擺系統(tǒng)只有一個數值敏感“點”,三體系統(tǒng)有一大堆數值敏感區(qū)（圖1.8）。這也讓三體系統(tǒng)變得異常復雜艱深和變幻莫測。當然，這也是數學家們把三體問題列為世紀難題的最重要的原因。

在了解了什么是三體問題，以及三體問題為何如此復雜以后，讓我們來聊聊半人馬座α的三體問題。

半人馬座α由3顆恒星構成，分別叫A星、B星和C星。C星離地球最近，只有4.25光年（光跑4.25年的距離），所以中國人又把它稱為比鄰星。

在劉慈欣筆下的《三體》中，三體世界一直處于恒紀元和亂紀元不斷交替的狀態(tài)。在恒紀元中，三顆恒星的運動會非常規(guī)律，從而讓三體人有一段風調雨順的好時光來發(fā)展三體文明；而到了亂紀元，3顆恒星的運動會變得雜亂無章，從而給三體文明帶來滅頂之災。

那么在真實的三體世界，即半人馬座α，是否也存在恒紀元和亂紀元呢？答案是否定的。

看看表1.1，你就知道其中的道理了。根據目前的天文觀測，半人馬座αA星和B星的間距，會在10～35倍日地距離（日地距離約為1.5億千米）之間變動。兩者靠得最近時，相當于從太陽到土星的距離；兩者離得最遠時，相當于從太陽到冥王星的距離。但比鄰星卻與這兩顆恒星相距甚遠，約為日地距離的13 000倍。

這意味著，半人馬座α的3顆恒星，其實按照以下的規(guī)律運動：首先，A星和B星構成了一個彼此繞轉的雙星系統(tǒng)，大概花80年可以完成一圈公轉；其次，AB星作為一個整體，再與比鄰星構成了一個彼此繞轉的兩體系統(tǒng)，大概花55萬年可以繞轉一圈。也就是說，半人馬座α本質上并不是一個運動極端復雜的三體系統(tǒng)，而是一個運動相當規(guī)律的兩體系統(tǒng)。因此，真實的三體世界，其實 只有永恒的恒紀元。

我們已經介紹完了三體問題。1.2節(jié)，我們將近距離地看看這個三體世界。