2.6 割草人

[題] 一個割草隊商定要把兩片草地上的草全部割完。我們假設，每個人割草的速度是一樣的。割大塊草地的草用了一天的時間，上午，整隊人都參與了這項勞動；下午，這隊人被平均分成了兩組，其中一組用半天時間割完了大塊草地上的草，而另一組把小塊草地上的草割得只剩下一個人用一天時間可以割完的量。

已知大塊草地的面積是小塊草地的兩倍，請問，這個割草隊一共有多少人？

[解] 在這道題中，除了作為主要未知數的割草隊的人數x之外，還需要用到一個輔助的未知數，也就是每個人一天剛好割完的草的面積，我們設這個值為y。雖然題目并沒有要求我們求出這個未知數，但是有了這個未知數以后，我們求主要的未知數的時候要容易許多。

我們先用x和y來表示出面積較大的草地的面積。由題意可知，上午，x個人所割的草地的面積是：

下午，半隊人所割的草地的面積為：

因為一天的時間剛好把整片草地割完，所以較大塊的草地的面積為：

接下來，用x和y來表示出面積較小的那塊草地的面積。半隊人用半天時間割掉的草地的面積是。而剩下的那一塊的面積恰好就是一個人一天所割草地的面積，也就是y，將割完的和剩下的面積相加，得出小塊草地的面積，也就是：

又因為大塊草地的面積是小塊草地的兩倍，可以得出如下方程：

約去輔助的未知數，可以得到如下方程：

解這個方程，可以得出x=8。

所以，這個割草隊一共有8個人。

在這本《趣味代數學》第一版出版后，我收到了青格爾教授寫給我的一封詳細并十分有意思的信。他在信中提到了這個問題。他認為，這個問題的主要意義其實在于：“它其實完全不能算是一道代數題，而只是一道簡單的算術題，不用死板的公式我們就能很快解決它?！?/p>

青格爾教授繼續寫道：“這道題的來源是這樣的。以前，我的父親和我的叔叔伊·拉耶夫斯基（伊·拉耶夫斯基是列夫·托爾斯泰的好朋友）一起在莫斯科大學的數學系讀書。在數學系的課程中并沒有很多關于教學方法的東西，為了與有經驗的中學老師合作探討教學方法，學生們需要到與大學對口的城市民眾中學去學習。我父親和叔叔的同學當中有一個叫彼得羅夫的，據說他是個特別有天賦而且見解獨到的人，他覺得課堂上所教的解答算術題的方法對學生來說太有害了，僵化死板的教學模式會毀了學生。為了證明自己的想法，他發明了一套題。關于割草人的這道題就是他所發明的那套題中的一道。他所發明的那套題非常靈活，難住了很多‘有經驗的出色的中學教師’。但是那些還沒有被僵化的教學模式所‘毒害’的學生卻很輕易地就解出了這些題目。我們前面所講的關于割草人的問題就是其中之一。有經驗的教師們通過列方程式的方法可以很輕易地解出它，但是，還有一種更簡單的方法卻被他們忽略了?！?/p>

這道題其實一點也不難，只需要用算術就可以解出來了，完全可以不用代數方程式。

因為大塊草地需要用全隊人割上半天，然后再由半隊人割上半天才能割完，所以我們很容易就能推斷出來，半隊人半天能割掉大塊草地的。由于小塊草地的面積是大塊草地的一半，所以，半隊人割了半天后，小塊草地剩下的部分就是大塊草地面積的。而一個人一天能割完小塊草地剩下的部分，即大塊草地面積的，由此，我們可以算出第一天所割的草地的總面積，即。所以，這個割草隊共由8個割草人組成。

托爾斯泰一生非常喜歡這種有變化但是又不是特別難的問題。他聽別人講到這個題目的時候非常高興，他認為借助圖來解這個題目，即使是非常簡單的圖（圖2-2），也能使這個問題變得一目了然。

下面我們將要講到的幾個題目，只要用些巧妙的算術方法，就能變得非常簡單。