2.9　矩陣及其運(yùn)算綜合實(shí)例

2.9.1　矩陣在圖像處理中的應(yīng)用

在MATLAB中，一幅灰度數(shù)字圖像被存為二維矩陣，圖像的分辨率是矩陣的行數(shù)和列數(shù)，矩陣的值對應(yīng)圖像每個點(diǎn)的顏色。對圖像進(jìn)行處理，實(shí)際上是對矩陣的值進(jìn)行操作。在圖像處理中，經(jīng)常對一幅圖像進(jìn)行左右鏡像處理，上下翻轉(zhuǎn)，逆時針或者順時針旋轉(zhuǎn)90°以及圖像平鋪處理，可以利用本章學(xué)過的矩陣結(jié)構(gòu)變換函數(shù)方便地實(shí)現(xiàn)圖像處理。

【例2-21】　已知一幅數(shù)字圖像lena.bmp，用MATLAB語言對該圖像進(jìn)行左右翻轉(zhuǎn)、上下翻轉(zhuǎn)、逆時針翻轉(zhuǎn)90°、順時針翻轉(zhuǎn)90°以及進(jìn)行圖像平鋪3?2=6塊處理。

程序代碼如下：

程序運(yùn)行結(jié)果如圖2-3所示，由該例題結(jié)果可知，在MATLAB語言中，對數(shù)字圖像矩陣的簡單變換，就能實(shí)現(xiàn)對圖像的各種處理，所以MATLAB語言特別適合應(yīng)用于數(shù)字圖像處理。

2.9.2　線性方程組的求解

線性方程組的解一般包括兩大類：一類是方程組存在唯一解或者特解，另一類方程組有無窮解或者通解。可以通過求方程組的系數(shù)矩陣的秩來判斷解的類型。

假設(shè)含有n個未知數(shù)的m個方程構(gòu)成方程組A_m×nx=b，系數(shù)矩陣A的秩為r，方程組的解有下面兩種情況：

（1）若r=n，則方程組有唯一解；

（2）若r＜n，則方程組有無窮解。

1．線性方程組唯一解

用MATLAB語言求解線性方程組Ax=b唯一解的常用方法是左除法和逆矩陣法，下面通過一個例子介紹這兩種方法。

【例2-22】　在MATLAB語言中，用左除法和逆矩陣法分別求解下列線性方法組的唯一解。

程序代碼如下：

以上結(jié)果表明，當(dāng)方程組的系數(shù)矩陣A的秩等于未知量的個數(shù)時，線性方程組具有唯一解，用常用的左除法和逆矩陣方法求解線性方程組的解，結(jié)果是一樣的。

2．線性方程組多解

用MATLAB語言求解線性方程組A_m×nx=b多解的方法常用左除法和偽逆矩陣法，下面通過一個例子介紹這兩種方法。

【例2-23】　在MATLAB語言中，用左除法和偽逆矩陣法分別求解下列線性方法組的解。

程序代碼如下：

以上結(jié)果表明，方程組的系數(shù)矩陣A的秩小于未知量的個數(shù)時，線性方程組具有無窮解，用常用的左除法和偽逆矩陣方法求解線性方程組的解，結(jié)果是不唯一的，但都是方程組的解。

2.9.3　多維數(shù)組在彩色圖像中的應(yīng)用

彩色圖像被讀入MATLAB中，RGB三種顏色分量一般被存為三維數(shù)組。對彩色圖像處理，實(shí)際上是對三維數(shù)組進(jìn)行提取和操作，所以用MATLAB語言處理彩色圖像比較方便。下面通過一個例子說明三維數(shù)組在彩色圖像處理中的應(yīng)用。

【例2-24】　用MATLAB語言，對一幅彩色圖像分別提取紅色分量、綠色分量和藍(lán)色分量，并在同一個圖形窗口的不同區(qū)域顯示，利用cat函數(shù)把三個分量連接成一個三維數(shù)組，并顯示合成后的圖像。

程序代碼如下：

由程序代碼可知，彩色圖像讀入MATLAB中，被存為三維數(shù)組，紅色分量存為第一頁，綠色分量存為第二頁，藍(lán)色分量存為第三頁。用三維數(shù)組提取和連接方法就能實(shí)現(xiàn)三種顏色分量的提取以及合成彩色圖像。

程序結(jié)果如圖2-4和圖2-5所示。