2.4　矩陣分析

矩陣是MATLAB語(yǔ)言的基本運(yùn)算單元。本節(jié)主要介紹矩陣分析與處理的常用函數(shù)和功能。

2.4.1　方陣的行列式

一個(gè)行數(shù)和列數(shù)相同的方矩陣可以看作一個(gè)行列式，而行列式是一個(gè)數(shù)值。MATLAB語(yǔ)言用D=det（A）函數(shù)求方矩陣的行列式的值。例如：

已知一個(gè)方矩陣A=[1 0 1；2 1 0；0 2 1]，求行列式的值D。

2.4.2　矩陣的秩和跡

1．矩陣的秩

與矩陣線性無(wú)關(guān)的行數(shù)或者列數(shù)稱為矩陣的秩。MATLAB語(yǔ)言用r=rank（A）函數(shù)求矩陣的秩。例如：

2．矩陣的跡

一個(gè)矩陣的跡等于矩陣的對(duì)角線元素之和，也等于矩陣的特征值之和。MATLAB語(yǔ)言用t=trace（A）函數(shù)求矩陣的跡。例如：

2.4.3　矩陣的逆和偽逆

1．方陣的逆矩陣

對(duì)于一個(gè)方矩陣A，如果存在一個(gè)同階方矩陣B，使得A·B=B·A=I（其中I為單位矩陣），則稱B為A的逆矩陣，A也為B的逆矩陣。

在線性代數(shù)里用公式計(jì)算逆矩陣相對(duì)煩瑣，然而，在MATLAB語(yǔ)言里，用求逆矩陣的函數(shù)inv（A）求解卻很容易。例如：

顯然，A?B=B?A=I，故B與A是互逆矩陣。

2．矩陣的偽逆矩陣

如果矩陣A不是一個(gè)方陣，或者A為非滿秩矩陣，那么就不存在逆矩陣，但可以求廣義上的逆矩陣B，稱為偽逆矩陣，MATLAB語(yǔ)言用B=pinv（A）函數(shù)求偽逆矩陣。例如：

在線性代數(shù)中，可以用矩陣求逆的方法求解線性方程組的解。將設(shè)有n個(gè)未知數(shù)，由n個(gè)方程構(gòu)成線性方程組，表示為

用矩陣表示為

Ax=b

其中：

線性方程組的解為

x=A^﹣1b

所以，利用MATLAB求系數(shù)矩陣A的逆矩陣，可以求線性方程組的解。

【例2-3】　利用MATLAB求系數(shù)矩陣的逆矩陣方法，求如下線性方程組的解。

MATLAB命令程序如下：

2.4.4　矩陣的特征值和特征向量

矩陣的特征值與特征向量在科學(xué)計(jì)算中廣泛應(yīng)用。設(shè)A為n階方陣，使得等式Av=Dv成立，則D稱為A的特征值，向量v稱為A的特征向量。MATLAB語(yǔ)言用函數(shù)eig（A）求矩陣的特征值和特征向量，常用下面兩種格式：

（1）E=eig（A）求矩陣A的特征值，構(gòu)成向量E；

（2）[v，D]=eig（A）求矩陣A的特征值，構(gòu)成對(duì)角矩陣，并求A的特征向量v。

例如：

顯然，A?v=v?D，故D和v分別是A矩陣的特征值和特征向量。

特征值還可以應(yīng)用于求解一元多次方程的根，具體方法是，先將方程的多項(xiàng)式系數(shù)組成行向量a，然后用compan（a）函數(shù)構(gòu)造成伴隨矩陣A，最后再用eig（A）函數(shù)求A的特征值，特征值就是方程的根。

【例2-4】　用MATLAB求特征值的方法求解一元多次方程的根，方程如下：

x⁵﹣5x⁴＋5x³＋5x²﹣6x=0

MATLAB命令程序如下：

當(dāng)然，求一元多次方程的根還可以利用多項(xiàng)式函數(shù)roots。

顯然，用這兩種不同方法求解一元多次方程的根，結(jié)果是一樣的。

2.4.5　矩陣的分解

矩陣有多種分解方法，常見(jiàn)的有對(duì)稱正定矩陣分解（Cholesky）、高斯消去法分解（LU）、正交分解（QR）和矩陣的奇異值分解（SVD）。

1．對(duì)稱正定矩陣分解

MATLAB語(yǔ)言中的對(duì)稱正定矩陣Cholesky分解用函數(shù)chol（A），函數(shù)語(yǔ)法格式如下：

其中，分解后的R滿足R′?R=A。若A是n階對(duì)稱正定矩陣，則R為實(shí)數(shù)的非奇異上三角矩陣；若A是非正定矩陣，則產(chǎn)生錯(cuò)誤信息。

其中，分解后的R滿足R′?R=A。若A是n階對(duì)稱正定矩陣，則R為實(shí)數(shù)的非奇異上三角矩陣，p=0；若A是非正定矩陣，則p為正整數(shù)。

例如，已知A=[1 1 1；1 2 3；1 3 6]，求該矩陣的Cholesky分解。

MATLAB語(yǔ)言程序代碼及結(jié)果如下：

由結(jié)果可知，Cholesky分解得到的R矩陣是一個(gè)實(shí)數(shù)的非奇異上三角矩陣，且滿足R′?R=A。

當(dāng)A為非正定矩陣時(shí)，用Cholesky分解，錯(cuò)誤信息如下：

2．矩陣的高斯消去法分解

高斯消去法分解是在線性代數(shù)中矩陣分解的一種重要方法，主要應(yīng)用在數(shù)值分析中，用來(lái)解線性方程及計(jì)算行列式。矩陣的高斯消去法分解又稱為三角分解，是將一個(gè)一般方矩陣分解成一個(gè)下三角矩陣L和一個(gè)上三角矩陣U，且滿足A=LU，故稱為L(zhǎng)U分解。MATLAB語(yǔ)言用lu（A）函數(shù)實(shí)現(xiàn)LU分解。函數(shù)語(yǔ)法格式如下：

其中，L為下三角矩陣或其變換形式，U為上三角矩陣，且滿足LU=A。

其中，L為下三角矩陣，U為上三角矩陣，P為單位矩陣的行變換矩陣，且滿足LU=PA。

例如，已知A=[1 2 3；4 5 6；7 8 9]，求該矩陣的LU分解。

MATLAB語(yǔ)言程序代碼及結(jié)果如下：

由上述結(jié)果可知，LU分解得到的L是一個(gè)下三角變換矩陣，U是一個(gè)上三角矩陣，且滿足L?U=A。

同樣的矩陣A，若用另一種LU分解，結(jié)果如下：

由上述結(jié)果可知，LU分解得到的L是一個(gè)下三角矩陣，U是一個(gè)上三角矩陣，P為單位矩陣的行變換矩陣，且滿足L?U=P?A。

3．矩陣的正交分解

矩陣的正交分解是將一個(gè)一般矩陣A分解成一個(gè)正交矩陣Q和一個(gè)上三角矩陣R的乘積，且滿足A=QR，故稱為QR分解。

MATLAB語(yǔ)言用qr（A）函數(shù)實(shí)現(xiàn)QR分解。函數(shù)語(yǔ)法格式如下：

其中，Q為正交矩陣，R為上三角矩陣，且滿足QR=A。

其中，Q為正交矩陣，R為對(duì)角元素按大小降序排列的上三角矩陣，E為單位矩陣的變換形式，且滿足QR=AE。

例如，已知A=[1 2 3；4 5 6；7 8 9]，求該矩陣的QR分解。

MATLAB語(yǔ)言程序代碼及結(jié)果如下：

由上述結(jié)果可知，QR分解得到的Q是一個(gè)正交矩陣，R是一個(gè)上三角矩陣，且滿足Q?R=A。

同樣的矩陣A，若用另一種QR分解，結(jié)果如下：

由上述結(jié)果可知，QR分解得到的Q為正交矩陣，R為對(duì)角元素按大小降序排列的上三角矩陣，E為單位矩陣的變換形式，且滿足Q?R=A?E。

4．矩陣的奇異值分解

奇異值分解（Singular Value Decomposition）是線性代數(shù)中一種重要的矩陣分解方法，可以應(yīng)用在信號(hào)處理和統(tǒng)計(jì)學(xué)等領(lǐng)域。矩陣的奇異值分解是將一個(gè)一般矩陣A分解成一個(gè)與A同大小的對(duì)角矩陣S，兩個(gè)酉矩陣U和V，且滿足A=U?S?V'。

MATLAB語(yǔ)言用svd（A）函數(shù)實(shí)現(xiàn)奇異值分解。函數(shù)語(yǔ)法格式如下：

s=svd（A）產(chǎn)生矩陣A的奇異值向量。

[U，S，V]=svd（A）產(chǎn)生一個(gè)與A同大小的對(duì)角矩陣S、兩個(gè)酉矩陣U和V，且滿足A=U?S?V'。若A為m×n陣，則U為m×m陣，V為n×n陣。奇異值在S的對(duì)角線上，非負(fù)且按降序排列。

例如，已知A=[1 2 3；4 5 6]，求該矩陣的奇異值分解。

MATLAB語(yǔ)言程序代碼及結(jié)果如下：

由上述結(jié)果可知，奇異值分解得到的一個(gè)與A同大小的對(duì)角矩陣S、兩個(gè)酉矩陣U和V，且滿足A=U?S?V'。

2.4.6　矩陣的信息獲取函數(shù)

MATLAB語(yǔ)言提供了很多函數(shù)以獲取矩陣的各種屬性信息，包括矩陣的大小、矩陣的長(zhǎng)度和矩陣元素的個(gè)數(shù)等。

1．size

MATLAB語(yǔ)言可以用size（A）函數(shù)來(lái)獲取矩陣A的行和列的數(shù)。函數(shù)的調(diào)用格式如下：

D=size（A）返回一個(gè)行和列數(shù)構(gòu)成兩個(gè)元素的行向量；

[M，N]=size（A）返回矩陣A的行數(shù)為M，列數(shù)為N。

例如，已知A=[1 2 3；4 5 6]，求該矩陣的行數(shù)和列數(shù)。

MATLAB語(yǔ)言程序代碼及結(jié)果如下：

2．length

MATLAB語(yǔ)言可以用length（A）函數(shù)來(lái)獲取矩陣A的行數(shù)和列數(shù)的較大者，即length（A）=max（size（A））。函數(shù)的調(diào)用格式如下：

d=length（A）返回矩陣A的行數(shù)和列數(shù)的較大者。

例如：

3．numel

MATLAB語(yǔ)言可以用numel（A）函數(shù)來(lái)獲取矩陣A的元素的總個(gè)數(shù)。函數(shù)的調(diào)用格式如下：

n=numel（A）返回矩陣A的元素的總個(gè)數(shù)。

例如：