第四節 常用描述性統計概念

一、隨機變量與描述性統計量

1．隨機變量

1）定義

將一個能取得多個可能值的數值變量X稱為隨機變量。

（1）離散型隨機變量：隨機變量X最多只能取可數的不同值；

（2）連續型隨機變量：隨機變量X的取值無法一一列出，可以遍取某個區間的任意數值。

2）隨機變量的分布

（1）如果X是離散型的，X最多可能取n個值x1, x2, …, xn，并且記pi=P{X=xi}是X取xi的概率，所有概率的總和。

（2）如果X是一個連續型隨機變量，則改用概率密度函數來刻畫X的分布性質。

2．隨機變量的數字特征與描述性統計量

1）期望（均值）

隨機變量X的期望（或稱均值，記作E（X））衡量了X取值的平均水平；它是對X所有可能取值按照其發生概率大小加權后得到的平均值。

在X 的分布未知時，我們用抽取樣本X1, …,Xn的算術平均數（也稱樣本均值）作為E（X）的估計值。

【例1.6·單選題】表1-1列示了對某證券的未來收益率的估計。

該證券的期望收益率等于（ ）。[2014年11月證券真題]

A．15%

B．5%

C．0%

D．10%

【答案】B

【解析】該證券的期望收益率為。

2）方差與標準差

（1）含義。

對于投資收益率，用方差（σ2）或者標準差（σ）來衡量它偏離期望值的程度。其中， σ2=E[（r-Er）2]，它的數值越大，表示收益率r偏離期望收益率的程度越大，反之亦然。

（2）方差和標準差的計算公式。

（3）σ 2與σ的估計。

對于r 分布未知的情況，我們可以抽取其樣本r1,r2, …,rn，然后分別用樣本方差與樣本標準差來估計σ2與σ。

3）分位數

（1）含義。

分位數通常被用來研究隨機變量X 以特定概率（或者一組數據以特定比例）取得大于等于（或小于等于）某個值的情況。

一般來說，設0＜α＜1，隨機變量X的上α 分位數是指滿足概率值P{X≥xα}=α 的數xα；下α 分位數是指滿足概率值P{X≤xα}=α的數xα。

（2）分位數的統計意義。

分位數的統計意義如圖1-1所示。

圖1-1中左右兩側的陰影部分面積均為α，于是變量X會以概率α 取得不超過下α分位數的取值，也可以概率α 取得不小于上α 分位數的取值。

（3）分位數的計算。

直接計算X的分位數比較困難，尤其是X分布未知時，所以用樣本X1, …, Xn來估計分位數。

首先將樣本按照數值從小到大排列成X（1）, …, X（n），然后用樣本中第nα大的數作為上α分位數xα，用樣本中第nα小的數作為下α分位數xα*。如果nα不是整數，我們就取與nα相鄰的兩個整數位置的樣本值的平均數作為分位數。

4）中位數

中位數是用來衡量數據取值的中等水平或一般水平的數值。對隨機變量X 來說，它的中位數就是上50%分位數X50%，這意味著X的取值大于其中位數和小于其中位數的概率各為50%。對一組數據來說，中位數就是大小處于正中間位置的那個數值。

【例1.7·單選題】在某企業中隨機抽取7名員工來了解該企業2013年上半年職工請假情況，這7名員工2013年上半年請假天數分別為1, 5, 3, 10, 0, 7, 2。這組數據的中位數是（ ）。

A．3

B．10

C．4

D．0

【答案】A

【解析】對一組數據來說，中位數就是處于正中間位置的那個數值。例如，對于X 的一組容量為5的樣本，從小到大排列為X1, …,X5，這組樣本的中位數就是X3；如果換成容量為10的樣本X1, …,X10，由于正中間是兩個數X5,X6，我們可用它們的平均數來作為這組樣本的中位數。本題中，該組數據從小到大的順序為：0,1,2,3,5,7,10，居于中間的數據是3。

二、正態分布

1．含義

如果連續型隨機變量X的概率密度函數曲線如圖1-2所示，則稱X服從參數為（μ, σ2）的正態分布，記為X～N（μ, σ2），其中μ是X的期望，σ ＞0為X的標準差。

特別的，當μ=0, σ=1，即X～N（0, 1）時，稱X服從標準正態分布。

2．分布特點

正態分布距離均值越近的地方數值越集中，而在離均值較遠的地方數值則很稀疏。這意味著正態分布出現極端值的概率很低，而出現均值附近的數值的概率非常大。同時圖像越“瘦”，正態分布集中在均值附近的程度也越大。

三、隨機變量的相關性——相關系數

1．含義

相關系數是從資產回報相關性的角度分析兩種不同證券表現的聯動性。通常用ρij表示證券i和證券j的收益回報率之間的相關系數。

2．特征

（1）相關系數的絕對值大小體現了兩個證券收益率之間相關性的強弱。如果a證券與b證券之間的相關系數絕對值|ρab|比a證券與c證券之間的相關系數絕對值|ρac|大，則說明前者之間的相關性比后者之間的相關性強。

（2）相關系數ρ ij總處于+1和-1之間，亦即|ρij|≤1。

① 若ρij=1，則表示ri和rj完全正相關。

② 若ρij=-1，則表示ri和rj完全負相關。

③ 若ρij=0，則表示兩個變量間完全獨立，無任何關系，即零相關。

【例1.8·單選題】證券間的聯動關系由相關系數ρ 來衡量，ρ 值為1，表明（ ）。

A．兩種證券間存在完全反向的聯動關系

B．兩種證券的收益有同向變動傾向

C．兩種證券的收益有反向變動傾向

D．兩種證券間存在完全正向的聯動關系

【答案】D

【解析】ρ是兩個證券的相關系數，在完全正相關下，ρ=1，表明兩種證券存在完全正向的聯動關系。

【過關練習】

單選題（以下備選項中只有一項最符合題目要求）

1．證券投資組合的期望收益率等于組合中證券期望收益率的加權平均值，其中對權數的表述正確的是（ ）。

A．所使用的權數是組合中各證券未來收益率的概率分布

B．所使用的權數之和可以不等于1

C．所使用的權數是組合中各證券的投資比例

D．所使用的權數是組合中各證券的期望收益率

【答案】C

【解析】由n項資產A1, …, An構成資產組合A=w1A1+…+wnAn，其中wi是權數，為投資于資產Ai的資金所占總資金的比例，；若Ai的期望收益率為ri，則資產組合A的期望收益率r為r=w1r1+…+wnrn。

2．證券X的期望收益率為12%，標準差為20%，證券Y的期望收益率為15%，標準差為27%，如果這兩個證券在組合中的比重相同，則組合的期望收益率為（ ）。

A．13.5%

B．15.5%

C．27.0%

D．12.0%

【答案】A

【解析】根據公式，可知該組合的期望收益率為

E（rp）=wx E（rx）+wy E（ry）=10% × 50%+15% × 50%=13.5%。

3．假如你有一筆資金收入，若目前領取可得10000元，而3年后領取可得15000元。如果當前你有一筆投資機會，年復利收益率為20%，每年計算一次，則下列表述正確的是（ ）。

A．3年后領取更有利

B．無法比較何時領取更有利

C．目前領取并進行投資更有利

D．目前領取并進行投資和3年后領取沒有區別

【答案】C

【解析】若將10000元領取后進行投資，年利率為20%，每年計息一次，3年后的終值為FV=10000 ×（1+0.2）3=17280（元）。將10000元領取后再投資3年，比3年后可領取的15000元多2280元，因此選擇目前領取并進行投資更有利。

4．顧先生希望在5年末取得20000元，則在年利率為2%，單利計息的方式下，顧先生現在應當存入銀行（ ）元。

A．19801

B．18004

C．18182

D．18114

【答案】C

【解析】根據單利現值的計算公式，可得（元）。

5．資產負債表的下列科目中，不屬于所有者權益的是（ ）。

A．長期股權投資

B．資本公積

C．股本

D．未分配利潤

【答案】A

【解析】資產負債表中，所有者權益包括四個部分：①股本，即按照面值計算的股本金；②資本公積，包括股票發行溢價、法定財產重估增值、接受捐贈資產、政府專項撥款轉入等；③盈余公積，分為法定盈余公積和任意盈余公積；④未分配利潤，指企業留待以后年度分配的利潤或待分配利潤。A項屬于企業的資產。

6．下列關于財務報表中的各個項目的關系，描述不正確的是（ ）。

A．資產=負債+所有者權益

B．凈現金流量=經營活動產生的現金流量+投資活動產生的現金流量+籌資活動產生的現金流量

C．流動資產=流動負債

D．凈利潤=息稅前利潤-利息費用-稅費

【答案】C

【解析】資產負債表中，“資產=負債+所有者權益”恒成立，但是“流動資產=流動負債”一般情況下不成立；利潤表中，企業的凈利潤等于息稅前利潤（EBIT）減去利息費用和稅費；現金流量表中，其基本結構分為經營活動產生的現金流量、投資活動產生的現金流量、籌資活動產生的現金流量，三部分現金流加總則得到凈現金流。

7．某企業的年末財務報表中顯示，該年度的銷售收入為30萬，凈利潤為15萬，企業年末總資產為120萬，所有者權益為80萬。則該企業的凈資產收益率為（ ）。

A．12.5%

B．18.75%

C．25%

D．37.5%

【答案】B

【解析】凈資產收益率也稱權益報酬率，強調每單位的所有者權益能夠帶來的利潤，其計算公式為：凈資產收益率=凈利潤/所有者權益=15÷80×100%=18.75%。

8．通常將一定數量的貨幣在兩個時點之間的價值差異稱為（ ）。

A．貨幣時間差異

B．貨幣時間價值

C．貨幣投資價值

D．貨幣投資差異

【答案】B

【解析】貨幣時間價值是指貨幣隨著時間的推移而發生的增值。由于貨幣具有時間價值，即使兩筆金額相等的資金，如果發生在不同的時期，其實際價值量也是不相等的。

9．某人希望在5年后取得本利和1萬元，用于支付一筆款項。若按單利計算，利率為5%。那么，他現在應存入（ ）元。

A．8000

B．9000

C．9500

D．9800

【答案】A

【解析】根據單利現值計算公式，5年后取得本利和1萬元的現值為（元）。

10．分析兩種不同證券表現的聯動性的統計量是（ ）。

A．相關系數

B．方差

C．標準差

D．平均值

【答案】A

【解析】相關系數是從資產回報相關性的角度分析兩種不同證券表現的聯動性。相關系數的絕對值大小體現兩個證券收益率之間相關性的強弱。如果a證券與b證券之間的相關系數絕對值|ρab|比a證券與c證券之間的相關系數絕對值|ρ ac|大，則說明前者之間的相關性比后者之間的相關性強。