【考點精講】

考點一：整數

1整數及其運算

（1）概念

①整數

整數包括任意非零自然數（如1，2，3，4，5）以及它們的負數和0。整數的全體構成整數集，整數集是一個數環。在整數系中，零和正整數統稱為自然數。－1、－2、－3、…、－n、…（n為非零自然數）為負整數。正整數、零與負整數構成整數系。

【例1】設m，n是正整數，則能確定m＋n的值。（　　）[2018年真題]

（1）1/m＋3/n＝1；

（2）1/m＋2/n＝1。

【答案】D

【解析】條件（1），1/m＋3/n＝1，則1/m＝1－3/n＝（n－3）/n，且n≠3，則m＝n/（n－3）＝1＋3/（n－3）。由于m為正整數，則n－3＝1或3，n＝4或6，對應的m＝4或2，m＋n的值恒為8，故條件（1）充分；條件（2），1/m＋2/n＝1，則1/m＝1－2/n＝（n－2）/n，且n≠2，則m＝n/（n－2）＝1＋2/（n－2），由于m為正整數，則2/（n－2）為正整數，則n－2＝1或2，n＝3或4，對應的m＝3或2，m＋n的值恒為6，故條件（2）充分。

【例2】已知M＝{a，b，c，d，e}是一個整數集合，則能確定集合。（　　）[2014年真題]

（1）a，b，c，d，e平均值為10；

（2）方差為2。

A．條件（1）充分，但是（2）不充分

B．條件（2）充分，但是（1）不充分

C．條件（1）和（2）單獨不充分，但條件（1）和（2）聯合起來充分

D．條件（1）充分，條件（2）也充分

E．條件（1）和（2）單獨不充分，條件（1）和（2）聯合起來也不充分

【答案】C

【解析】顯然條件（1）（2）單獨均不充分，將條件（1）（2）聯合起來，由（1）得a＋b＋c＋d＋e＝50。由（2）得：

（a－10）²＋（b－10）²＋（c－10）²＋（d－10）²＋（e－10）²＝10

a²＋b²＋c²＋d²＋e²－20（a＋b＋c＋d＋e）＋5×10²＝10

a²＋b²＋c²＋d²＋e²＝10－5×10²＋20（a＋b＋c＋d＋e）＝10－5×10²＋20×50＝510

因為10＝0＋1＋1＋4＋4，窮舉可知8²＋9²＋10²＋11²＋12²＝510，故聯立起來充分。

【例3】n/14是一個整數。（　　）[2008年GRK真題]

（1）n是一個整數，且3n/14也是一個整數；

（2）n是一個整數，且n/7也是一個整數。

A．條件（1）充分，但是（2）不充分

B．條件（2）充分，但是（1）不充分

C．條件（1）和（2）單獨不充分，但條件（1）和（2）聯合起來充分

D．條件（1）充分，條件（2）也充分

E．條件（1）和（2）單獨不充分，條件（1）和（2）聯合起來也不充分

【答案】A

【解析】條件（1），3n/14是一個整數，因為3不是14的約數，所以n是14的倍數，則n/14是一個整數，充分；條件（2），舉反例，設n＝7，則n/14不是一個整數，不充分。

②整除

設a，b是任意兩個整數，其中b≠0，如果存在一個整數q，使得等式a＝bq成立，則稱b整除a或a可以被b整除，此時，b稱為a的因數，a稱為b的倍數。如果這樣的整數不存在，則稱b不能整除a。

（2）整數的運算

①加、減運算

加法交換律：a＋b＝b＋a；

加法結合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）。

②乘法運算

乘法交換律：a×b＝b×a；

乘法結合律：（a×b）×c＝a×（b×c）；

乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c。

③除法計算

從被除數的首位起，先看除數有幾位，再用除數試除被除數的前幾位，如果它比除數小，再試除多一位數；除到被除數的哪一位，就在那一位上面寫上商；每次除后余下的數必須比除數小。

（3）整除判定基本法則

①能被2、4、8、5、25、125整除的數的數字特性。

a．能被2（或5）整除的數，末一位數字能被2（或5）整除；

b．能被4（或25）整除的數，末兩位數字能被4（或25）整除；

c．能被8（或125）整除的數，末三位數字能被8（或125）整除；

d．一個數被2（或5）除得的余數，就是其末一位數字被2（或5）除得的余數；

e．一個數被4（或25）除得的余數，就是其末兩位數字被4（或25）除得的余數；

f．一個數被8（或125）除得的余數，就是其末三位數字被8（或125）除得的余數。

②能被3、9整除的數的數字特性。

a．能被3（或9）整除的數，各位數字和能被3（或9）整除；

b．一個數被3（或9）除得的余數，就是其各位數字相加后被3（或9）除得的余數。

【例】從1到100的整數中任取一個數，則該數能被5或7整除的概率為（　　）。[2016年真題]

A．0.02

B．0.14

C．0.2

D．0.32

E．0.34

【答案】D

【解析】1～100中尾數為5和0的數都可以被5整除，個數為20個；1～100中能被7整除的數有14個，其中35、70同時能被5和7整除；所以，1～100中能被5或7整除的數有20＋14－2＝32。則從1～100中任取一數能被5或7整除的概率為32÷100＝0.32。

2奇數、偶數

（1）奇數和偶數的概念

不能被2整除的整數稱為奇數，如1、3、5、7、9、……

能被2整除的整數稱為偶數，正的偶數又稱雙數。

所有整數不是奇數（正的奇數又稱單數），就是偶數。當n是整數時，偶數可表示為2n；奇數則可表示為2n±1。

（2）奇數和偶數的性質

①奇數±奇數＝偶數；

②偶數±偶數＝偶數；

③偶數±奇數＝奇數；

④奇數±偶數＝奇數；

⑤奇數×奇數＝奇數；

⑥偶數×整數＝偶數；

⑦任意多個偶數的和或差都是偶數；

⑧單數個奇數的和是奇數，雙數個奇數的和是偶數；

⑨除2外所有的正偶數均為合數；

⑩若干個整數的連乘積，如果其中有一個偶數，乘積必然是偶數，eg：2×3×5×7＝210，4×7×9＝252；

?偶數的平方被4整除，奇數的平方被8除余1，即任何平方數被4除的余數只有可能是0或1。

【例1】在年底的獻愛心活動中，某單位共有100人參加捐款。經統計，捐款總額是19000元，個人捐款數額有100元，500元和2000元三種。該單位捐款500元的人數為（　　）。[2011年真題]

A．13名

B．18名

C．25名

D．30名

E．38名

【答案】A

【解析】設捐款100、500、2000的人數分別為x、y、z，由已知條件得：

由此可得

且x、y、z分別是非負整數。由4y＋19z＝90可得，z為小于5的偶數，則z只能取2或4。若z＝4，則由4y＋19z＝90可得y不是整數。

因此，將z＝2代入

解得y＝13，x＝85。因此，捐500元的有13名。

【例2】利用長度為a和b的兩種管材能連接成長度為37的管道（單位：米）。（　　）[2016年真題]

（1）a＝3，b＝5；

（2）a＝4，b＝6。

A．條件（1）充分，但是（2）不充分

B．條件（2）充分，但是（1）不充分

C．條件（1）和（2）單獨不充分，但條件（1）和（2）聯合起來充分

D．條件（1）充分，條件（2）也充分

E．條件（1）和（2）單獨不充分，條件（1）和（2）聯合起來也不充分

【答案】A

【解析】設長度為a和b的兩種管材根數分別為x，y，則x、y均為非負整數。

條件（1）：當a＝3，b＝5時，方程3x＋5y＝37有非負整數解x＝9，y＝2，故條件（1）充分；

條件（2）：當a＝4，b＝6時，根據奇偶性可知，方程4x＋6y＝37沒有非負整數解，故條件（2）不充分。

【例3】已知m，n是正整數，則m是偶數。（　　）[2012年真題]

（1）3m＋2n是偶數；

（2）3m²＋2n²是偶數。

A．條件（1）充分，但是（2）不充分

B．條件（2）充分，但是（1）不充分

C．條件（1）和（2）單獨不充分，但條件（1）和（2）聯合起來充分

D．條件（1）充分，條件（2）也充分

E．條件（1）和（2）單獨不充分，條件（1）和（2）聯合起來也不充分

【答案】D

【解析】條件（1）：已知n是正整數，則2n是偶數；要使3m＋2n是偶數，則3m也必須是偶數；由于3是奇數，要使3m是偶數，則m必須是偶數，因此條件（1）充分。

條件（2）：2n²是偶數，要使3m²＋2n²是偶數，則3m²也必須是偶數；由于3是奇數，要使3m²是偶數，則m²必須是偶數，又已知m是正整數，所以m必須是偶數，因此條件（2）充分。

3質數、合數

（1）質數

質數又稱素數，指在大于1的自然數中，除了1和此整數自身外，無法被其他自然數整除的數（也可定義為只有1和本身兩個因數的數）。

2是最小的質數，并且是唯一為偶數的質數。

【例1】設m，n是小于20的質數，滿足條件|m－n|＝2的m，n共有（　　）。[2015年真題]

A．2組

B．3組

C．4組

D．5組

E．6組

【答案】C

【解析】20以內的質數有2、3、5、7、11、13、17、19，其中滿足條件|m－n|＝2的{m，n}有|3－5|＝2，|5－7|＝2，|11－13|＝2，|17－19|＝2，所以滿足要求的{m，n}有4組。

【例2】若幾個質數（素數）的乘積為770，則它們的和為（　　）。[2014年真題]

A．85

B．84

C．28

D．26

E．25

【答案】E

【解析】770可分解為770＝7×110＝7×2×55＝7×2×5×11，這幾個質數的和為：7＋2＋5＋11＝25。

【例3】p＝mq＋1為質數。（　　）[2013年真題]

（1）m為正整數，q為質數；

（2）m，q均為質數。

A．條件（1）充分，但是（2）不充分

B．條件（2）充分，但是（1）不充分

C．條件（1）和（2）單獨不充分，但條件（1）和（2）聯合起來充分

D．條件（1）充分，條件（2）也充分

E．條件（1）和（2）單獨不充分，條件（1）和（2）聯合起來也不充分

【答案】E

【解析】條件（1）：m＝2，q＝7符合條件（1），但是p＝2×7＋1＝15不是質數，因此條件（1）不充分。

條件（2）：m＝2，q＝7符合條件（2），但是p＝2×7＋1＝15不是質數，因此條件（2）不充分；顯然，將條件（1）（2）聯合起來也不充分。

【例4】設a，b，c是小于12的三個不同的質數（素數），且|a－b|＋|b－c|＋|c－a|＝8，則a＋b＋c＝（　　）。[2011年真題]

A．10

B．12

C．14

D．15

E．19

【答案】D

【解析】由于a、b、c均為小于12的素數，可采用枚舉法。小于12的素數只有2、3、5、7、11，由|a－b|＋|b－c|＋|c－a|＝8可知a、b、c可以是3、5、7的組合，因此a＋b＋c＝15。

（2）合數

比1大但不是素數的自然數稱為合數。eg：4、6、8、9、10、12、14。

1和0既非素數也非合數。

4公倍數、公約數

（1）公倍數

①概念

公倍數指在兩個或兩個以上的自然數中，如果它們有相同的倍數，這些倍數就是它們的公倍數。這些公倍數中最小的，稱為這些整數的最小公倍數。

②求兩個數最小公倍數的方法

首先將兩個數的質因數寫出來，最小公倍數等于它們所有的質因數的乘積（如果有幾個質因數相同，則比較兩數中哪個數有該質因數的個數較多，乘較多的次數）。

eg：求45和30的最小公倍數。

45＝3×3×5

30＝2×3×5

不同的質因數是2，3，5。3，5是他們兩者都有的質因數，由于45有兩個3，30只有一個3，所以計算最小公倍數的時候乘兩個3。即45和30的最小公倍數為2×3×3×5＝90。

（2）公約數

①概念

如果一個整數同時是幾個整數的約數，稱這個整數為它們的公約數。公約數中最大的稱為最大公約數。

②求兩個數最大公約數的方法

首先把兩個數的質因數寫出來，最大公約數等于它們所有的相同質因數的乘積。

eg：求45和30的最大公約數。

45＝3×3×5

30＝2×3×5

相同的質因數是3，5。所以，45和30的最大公約數為3×5＝15。

【例1】將長、寬、高分別為12、9、6的長方體切割成正方體，且切割后無剩余，則能切割成相同正方體的最少個數為（　　）。[2017年真題]

A．3

B．6

C．24

D．96

E．648

【答案】C

【解析】要求切割成相同正方體的個數最少，則正方體邊長最大為12、9、6的最大公約數3，所以正方體最少個數為12/3×9/3×6/3＝4×3×2＝24。

【例2】某種同樣的商品裝成一箱，每個商品的重量都超過1千克，并且是1千克的整數倍，去掉箱子重量后凈重210千克，拿出若干個商品后，凈重183千克，則每個商品的重量為（　　）千克。[2010年GRK真題]

A．1

B．2

C．3

D．4

E．5

【答案】C

【解析】拿出的若干商品重量為27，因此單個商品的重量一定是27的約數，選項中只有C項的3才是27的約數。

考點二：分數、小數、百分數

1分數

將單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數稱為分數，表示這樣的一份的數稱為分數單位。分數中間的一條橫線稱為分數線，分數線上面的數稱為分子，分數線下面的數稱為分母，讀作幾分之幾。

【例1】某人需要處理若干份文件，第1小時處理了全部文件的1/5，第二小時處理了剩余文件的1/4，則此人需要處理的文件數為25份。（　　）[2017年真題]

（1）前兩小時處理了10份文件；

（2）第二小時處理了5份文件。

A．條件（1）充分，但是（2）不充分

B．條件（2）充分，但是（1）不充分

C．條件（1）和（2）單獨不充分，但條件（1）和（2）聯合起來充分

D．條件（1）充分，條件（2）也充分

E．條件（1）和（2）單獨不充分，條件（1）和（2）聯合起來也不充分

【答案】D

【解析】設此人需要處理的文件為x份。則第1小時處理了（1/5）x份，第二小時處理了（4/5）x×1/4＝（1/5）x份。

條件（1）：（1/5）x＋（1/5）x＝10?x＝25，因此，條件（1）充分；

條件（2）：（1/5）x＝5?x＝25，因此，條件（2）也充分。

【例2】現有一批文字材料需要打印，兩臺新型打印機單獨完成此任務分別需要4小時與5小時，兩臺舊型打印機單獨完成任務分別需要9小時與11小時，則能在2.5小時內完成此任務。（　　）[2011年真題]

（1）安排兩臺新型打印機同時打印；

（2）安排一臺新型打印機與兩臺舊型打印機同時打印。

A．條件（1）充分，但是（2）不充分

B．條件（2）充分，但是（1）不充分

C．條件（1）和（2）單獨不充分，但條件（1）和（2）聯合起來充分

D．條件（1）充分，條件（2）也充分

E．條件（1）和（2）單獨不充分，條件（1）和（2）聯合起來也不充分

【答案】D

【解析】條件（1）：若安排兩臺新型打印機分別同時打印，則可在小時內完成任務。因此，條件（1）充分；

條件（2）：安排一臺單獨需要5小時完成的新型打印機與兩臺舊型打印機同時打印，新型打印機2.5小時內能完成1/2的工作量，剩下1/2的工作量由兩臺舊型打印機完成，因此可在小時內完成。因此，條件（2）充分。

2小數

小數是實數的一種特殊的表現形式，所有分數都可以表示成小數，小數中的圓點稱為小數點，它是一個小數的整數部分和小數部分的分界號。其中整數部分是零的小數稱為純小數，整數部分不是零的小數稱為帶小數。

eg：0.63是純小數，1.59是帶小數。

3百分數

百分數是表示一個數是另一個數的百分之幾的數，也稱為百分率或百分比。百分數通常不寫成分數的形式，而采用符號“%”（稱為百分號）來表示。

【例1】某商品的定價為200元，受金融危機的影響，連續兩次降價20%后的售價為（　　）。[2012年真題]

A．114元

B．120元

C．128元

D．144元

E．160元

【答案】C

【解析】連續兩次降價后的售價＝200×（1－20%）×（1－20%）＝128（元）。

【例2】2007年，某市的全年研究與試驗發展（R&D）經費支出300億元，比2006年增長20%，該市的GDP為10000億元，比2006年增長10%，2006年，該市的R&D經費支出占當年GDP的（　　）。[2011年真題]

A．1.75%

B．2%

C．2.5%

D．2.75%

E．3%

【答案】D

【解析】設2006年該市的GDP為x億元，R&D經費支出為y億元，則由題意可得：

即2006年該市的R&D經費支出占當年GDP的2.75%。

考點三：比與比例

1比

比就是由一個前項和一個后項組成的除法算式，只不過把“÷”改成了“:”（比號）而已。但除法算式表示的是一種運算，而比則表示兩個數的關系。

2比例

表示兩個比相等的式子稱為比例。判斷兩個比能不能組成比例，要看它們的比值是不是相等。組成比例的四個數，稱為比例的項；兩端的兩項稱為比例的外項；中間的兩項稱為比例的內項。在比例里，兩個外項的積等于兩個內項的積。eg：在7:9＝21:27中，其中7與27稱為比例的外項，9與21稱為比例的內項，且有：7×27＝9×21＝189。

（1）正比例

兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果兩種量中，相對應的兩個數的比值（商）一定，兩種量就稱為正比例的量，他們的關系稱為正比例的關系。如果用字母x、y表示兩種關聯的量，用k表示它們的比值，成正比例關系可以表示為：y:x＝k，k為定值。

eg：y:x＝8可以變形為：y÷x＝8，y＝8x。

（2）反比例

兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果兩種量中，相對應的兩個數的積一定，這兩種量就稱為反比例的量，他們的關系稱為反比例關系。如果用字母x、y表示兩種關聯的量，用k表示它們的乘積，成反比例關系可以表示為：x×y＝k，k為定值。

eg：xy＝2可以變形為：y＝2/x。

（3）比例的性質

若a:b＝c:d（b，d≠0），則有：

①ad＝bc；

②b:a＝d:c（a，c≠0）；

③a:c＝b:d；c:a＝d:b；

④（a＋b）:b＝（c＋d）:d；

⑤a:（a＋b）＝c:（c＋d）（a＋b≠0，c＋d≠0）；

⑥（a－b）:（a＋b）＝（c－d）:（c＋d）（a＋b≠0，c＋d≠0）。

（4）解比例

求比例的未知項，稱為解比例，解比例需要運用比例的基本性質。因為兩外項的積等于兩內項的積，所以可以把兩個外項和內項互相乘起來，再來解這個方程。

eg：x:3＝9:27

解：27x＝3×9，27x＝27，x＝1。

【例1】某家庭在一年總支出中，子女教育支出與生活資料支出的比為3:8，文化娛樂支出與子女教育支出為1:2。已知文化娛樂支出占家庭總支出的10.5%，則生活資料支出占家庭總支出的（　　）。[2016年真題]

A．40%

B．42%

C．48%

D．56%

E．64%

【答案】D

【解析】由題可得，文化娛樂支出:子女教育支出:生活資料支出＝3:6:16，所以，生活資料支出占家庭總支出的比例為：10.5%×16/3＝56%。

【例2】若實數a，b，c滿足a:b:c＝1:2:5，且a＋b＋c＝24，則a²＋b²＋c²＝（　　）。[2015年真題]

A．30

B．90

C．120

D．240

E．270

【答案】E

【解析】由已知條件可設a＝x，b＝2x，c＝5x，根據a＋b＋c＝24，解得x＝3，所以a＝3，b＝6，c＝15，所以a²＋b²＋c²＝3²＋6²＋15²＝270。

【例3】某人駕車從A地趕往B地，前一半路程比計劃多用時45分鐘，平均速度只有計劃的80%。若后一半路程的平均速度為120km/h，此人還能按原定時間到達B地，A、B兩地相距（　　）。[2015年真題]

A．450km

B．480km

C．520km

D．540km

E．600km

【答案】D

【解析】根據題意可知，前半段路程的計劃速度與實際速度比為5:4，則計劃時間與實際時間之比為4:5。又因計劃時間與實際時間相差45分鐘，則計劃時間為45×4＝180（分鐘）。由“原定時間到達B地”說明后半段路程少用45分鐘，即實際用時135分鐘。后半段計劃時間與實際時間之比為4:3。則計劃速度與實際速度之比為3:4。實際速度為120km/h，則計劃速度為90km/h。全程計劃時間180×2＝360（分鐘）＝6（小時），全程＝6×90＝540（km）。

【例4】某容器中裝滿了濃度為90%的酒精，倒出1升后用水將容器充滿，攪拌均勻后倒出1升，再用水將容器注滿，已知此時的酒精濃度為40%，則該容器的容積是（　　）。[2014年真題]

A．2.5升

B．3升

C．3.5升

D．4升

E．4.5升

【答案】B

【解析】設容器的容積為x升，則由題意得：第一次倒出1升后的濃度為

第二次倒出1升后的濃度為

解得：x＝3（升）。

考點四：數軸與絕對值

1數軸

數軸是個一維的圖，整數作為特殊的點均勻地分布在一條線上。所以說數軸是一條規定了原點、正方向和單位長度的直線。其中，原點、正方向和單位長度稱為數軸的三要素。例如：

圖1-1

【例1】一輛出租車有段時間的營運全在東西走向的一條大道上，若規定向東為正向，向西為負向。且知該車的行駛的公里數依次為－10、6、5、－8、9、－15、12，則將最后一名乘客送到目的地時該車的位置是（　　）。[2008年MBA真題]

A．在首次出發地的東面1公里處

B．在首次出發地的西面1公里處

C．在首次出發地的東面2公里處

D．在首次出發地的西面2公里處

E．仍在首次出發地

【答案】B

【解析】出租車每次走的距離構成一個數列，將最后一名乘客送到目的地時該車的位置為該數列的和，即－10＋6＋5－8＋9－15＋12＝－1。

【例2】f（x）有最小值2。（　　）[2008年MBA真題]

（1）f（x）＝|x－5/12|＋|x－1/12|；

（2）f（x）＝|x－2|＋|4－x|。

A．條件（1）充分，但是（2）不充分

B．條件（2）充分，但是（1）不充分

C．條件（1）和（2）單獨不充分，但條件（1）和（2）聯合起來充分

D．條件（1）充分，條件（2）也充分

E．條件（1）和（2）單獨不充分，條件（1）和（2）聯合起來也不充分

【答案】B

【解析】可將絕對值的意義看成是數軸上兩點間的距離。條件（1），f（x）幾何意義為點x到點5/12的距離和點x到點1/12的距離之和，最小值為5/12－1/12＝1/3，不充分。條件（2），f（x）幾何意義為點x到點2的距離和點x到點4的距離之和，最小值為4－2＝2，充分。

2絕對值

在數軸上，表示一個數的點到原點的距離稱為這個數的絕對值，絕對值用“||”來表示。在數軸上，表示數a的點到數b的點之間的距離，稱為a－b的絕對值，記作|a－b|。

eg：圖1-1中－5的絕對值為|－5|＝5，5－（－3）的絕對值為|5－（－3）|＝|5＋3|＝8。

【例1】已知a、b、c為三個實數，則min{|a－b|，|b－c|，|a－c|}≤5。（　　）[2017年真題]

（1）|a|≤5，|b|≤5，|c|≤5；

（2）a＋b＋c＝15。

A．條件（1）充分，但是（2）不充分

B．條件（2）充分，但是（1）不充分

C．條件（1）和（2）單獨不充分，但條件（1）和（2）聯合起來充分

D．條件（1）充分，條件（2）也充分

E．條件（1）和（2）單獨不充分，條件（1）和（2）聯合起來也不充分

【答案】A

【解析】條件（1），由絕對值的幾何意義可知，a，b，c均為[－5，5]上的點。

可設極值，令a＝5，若要使|a－b|，|a－c|均大于5，則b和c均為[－5，0）上的點，則|b－c|＜5，則條件（1）充分。

條件（2）不充分，舉例：a＝30，b＝0，c＝－15，推不出結論。

【例2】已知a，b是實數，則|a|≤1，|b|≤1。（　　）[2013年真題]

（1）|a＋b|≤1；

（2）|a－b|≤1。

A．條件（1）充分，但是（2）不充分

B．條件（2）充分，但是（1）不充分

C．條件（1）和（2）單獨不充分，但條件（1）和（2）聯合起來充分

D．條件（1）充分，條件（2）也充分

E．條件（1）和（2）單獨不充分，條件（1）和（2）聯合起來也不充分

【答案】C

【解析】條件（1）：取a＝－4，b＝3，雖滿足|a＋b|＝1≤1，但|a|＝4，|b|＝3，顯然不滿足|a|≤1，|b|≤1，因此條件（1）不充分；

條件（2）：取a＝4，b＝3，雖滿足|a－b|＝1≤1，但|a|＝4，|b|＝3，顯然不滿足|a|≤1，|b|≤1，因此條件（2）不充分；

將條件（1）（2）聯合來，由|a＋b|≤1且|a－b|≤1得（a＋b）²≤1且（a－b）²≤1，即a²＋2ab＋b²≤1且a²－2ab＋b²≤1，可得2（a²＋b²）≤2。由于a²≥0且b²≥0，因此|a|≤1且|b|≤1，因此條件（1）（2）聯合起來充分。

【例3】若實數a，b，c，滿足

則abc＝（　　）。[2011年真題]

A．－4

B．－5/3

C．－4/3

D．4/5

E．3

【答案】A

【解析】由于等式左邊每項都大于或等于零，則可得左邊整式中的三項都為0，因此：

可得abc＝－4。

【例4】已知實數a，b，x，y滿足

和|x－2|＝y－1－b²，則3^x＋y＋3^a＋b＝（　　）。[2009年真題]

A．25

B．26

C．27

D．28

E．29

【答案】D

【解析】將

|x－2|＝y－1－b²

兩式相加得到：

（兩個絕對值相加不可能為負）

可得a＝b＝0，則

即x＝2。

將x＝2，a＝0代入

可得到y＝1，故x＋y＝3。

因此3^x＋y＋3^a＋b＝28。