第4章　差異量數

1度量離中趨勢的差異量數有哪些？為什么要度量離中趨勢？

答：（1）度量離中趨勢的差異量數有全距、四分位差、百分位差、平均差、標準差與方差。

（2）度量離中趨勢的必要性

在心理和教育研究中，要全面描述一組數據的特征，不但要了解數據的典型情況，而且還要了解特殊情況。這些特殊性常表現為數據的變異性，因此，只用集中量數不可能真實地反映出它們的分布情形。為了全面反映數據的總體情況，除了必須求出集中量數外，這時還需要使用差異量數。

2各種差異量數各有什么特點？

答：（1）標準差計算最嚴密，它根據全部數據求得，考慮到了每一個樣本數據，測量具有代表性，適合代數法處理，受抽樣變動的影響較小，反應靈敏。缺點是較難理解，運算較繁瑣，易受極端值的影響。

（2）方差的描述作用不大，但是由于它具有可加性，是對一組數據中造成各種變異的總和的測量，通常采用方差的可加性分解并確定屬于不同來源的變異性，并進一步說明各種變異對總結果的影響。因此，方差是推論統計中最常用的統計量數。

（3）全距計算簡便，容易理解，適用于所有類型的數據，但它易受極值影響，測量也太粗糙，只能反映分布兩極端值的差值，不能顯示全部數據的差異情況，僅作為輔助量數使用。

（4）平均差容易理解，容易計算，能說明分布中全部數值的差異情況，缺點是會受兩極數值的影響，但當數據較多時，這種影響較小，因有絕對值也不適合代數方法處理。

（5）百分位差易理解，易計算，不易受極值影響，但不能反映出分布的中間數值的差異情況，也僅用作補助量數。

（6）四分位差意義明確，計算方便容易，對極端值不敏感，較不受極端值影響。當組距不確定，其他差異量數都無法計算時，可以計算四分位差。但是，四分位差無法反映分布中所有數據的離散狀況，不適合使用代數方法處理，受抽樣變動影響較標準差大。

3標準差在心理與教育研究中除度量數據的離散程度外還有哪些用途？

答：作為一個非常優秀的差異量數，標準差有著非常廣泛的用途。

（1）差異系數

比較同質性數據的離散程度的大小是，如果平均數相同，可以直接比較標準差的大小。但是：

①當進行兩個或兩個以上的樣本資料不同質；

②即使是同質性數據，其平均數相差較大時；

比較其變異程度就不能采用標準差，而需要采用標準差與平均數的比值，即差異系數，來比較。差異系數可以消除單位和（或）平均數不同對兩個或多個資料變異程度比較的影響。

（2）標準分數

標準分數是以標準差為單位，表示一個分數在團體中所處位置的相對位置量數。標準分數有以下用途：

①用于比較分屬性質不同的觀測值在各自數據分布中相對位置的高低。這樣就能進行不同觀測值的比較；

②已知不同質的觀測值的次數分布為正態時，可用Z分數求不同的觀測值的總和或平均值，以表示個體在團體中的相對位置；

③表示標準測驗分數：

經過標準化的心理或教育測驗，如果其常模分數接近正態，常轉化為標準正態分數。其標準化公式為Z′＝aZ＋b，式中Z′為正態標準分數，

a，b，為常數，σ為測驗常模的標準差。

4應用標準分數求不同質的數據總和時應注意什么問題？

答：應用標準分數求不同質的數據總和時應注意這些不同質的觀測值的次數分布應該是正態的。因為標準分是線形變化，不改變原分布的形態，只有原分布是正態時，轉化后的標準分才是正態的。

5計算下列數據的標準差與平均差。

11.0，13.0，10.0，9.0，11.5，12.2，13.1，9.7，10.5。

答：（1）把數據代入公式：

得s≈1.37。

把數據代入公式：

求平均差，得AD≈1.19。

綜上，標準差約為1.37，平均差約為1.19。

6計算第2章習題4所列次數分布表的標準差、四分位差Q。

答：（1）次數分布表的標準差

s≈26.1

（2）

求得

綜上，標準差為26.1，四分位差Q為16.03。

7今有一畫線實驗，標準線分別為5厘米及10厘米，實驗結果5厘米組的誤差平均數為1.3厘米，標準差為0.7厘米，10厘米組的誤差平均數為4.3厘米，標準差為1.2厘米，請問用什么方法比較其離散程度的大小？并具體比較之。

答：由于兩組得平均數和標準差都有很大差異，因此應該用差異系數比較兩組數據的離散程度。

故5厘米組的差異比10厘米組的離散程度大。

8求下表所列各班成績的總標準差：

答：（1）

（2）

（3）

各班成績的總標準差是6.03。

9求下表數據分布的標準差和四分位差。

答：（1）

（2）