2010年全國碩士研究生入學統一考試考研數學一真題及詳解

一、選擇題（1～8小題，每小題4分，共32分下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求。）

1極限（　　）。

A．1

B．e

C．e^a－b

D．e^b－a

【答案】C

【考點】極限的性質，等價替換

【解析】

而

因為

則利用等價替換得

2設函數z＝z（x，y）由方程F（y/x，z/x）＝0確定，其中F為可微函數，且F₂′≠0，則x?z/?x＋y?z/?y＝（　　）。

A．x

B．z

C．－x

D．－z

【答案】B

【考點】復合函數的偏導公式

【解析】在F（y/x，z/x）＝0兩邊對x求導得

再在F（y/x，z/x）＝0兩邊對y求導得

故x?z/?x＋y?z/?y＝z。

3設m，n均是正整數，則反常積分的收斂性（　　）。

A．僅與m的取值有關

B．僅與n的取值有關

C．與m，n的取值都有關

D．與m，n的取值都無關

【答案】D

【考點】反常積分的性質，收斂性判別

【解析】分析過程如下

①對進行討論：被積函數只在x→0^＋時無界，因為

又反常積分收斂，所以收斂。

②對進行討論：被積函數只在x→1^－時無界，因為

又反常積分收斂，所以收斂。

綜上，無論正整數m和n取何值，反常積分都收斂，故選D。

4（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【考點】積分的定義

【解析】

5設A是m×n矩陣，B是n×m矩陣，E為m階單位矩陣，若AB＝E，則（　　）。

A．r（A）＝m，r（B）＝m

B．r（A）＝m，r（B）＝n

C．r（A）＝n，r（B）＝m

D．r（A）＝n，r（B）＝n

【答案】A

【考點】矩陣的秩的性質

【解析】由題設可知m＝r（E）＝r（AB）≤min（r（A），r（B）），即r（A）≥m，r（B）≥m。又A是m×n矩陣，B是n×m矩陣，故r（A）≤m，r（B）≤m。于是r（A）＝m，r（B）＝m。

6設A為四階實對稱矩陣，且A²＋A＝O，若A的秩為3，則A相似于（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【考點】對稱矩陣必可對角化，矩陣特征值的求法

【解析】由于A為四階實對稱矩陣，則A必可相似對角化，且A的特征值全為實數。設λ為A的特征值，則λ²＋λ＝0?λ＝0，λ＝－1，又A的秩為3，則A的特征值為－1，－1，－1，0。

7設隨機變量X的分布函數為

則P{X＝1}＝（　　）。

A．0

B．1/2

C．1/2－e^－1

D．1－e^－1

【答案】C

【考點】分布函數的定義

【解析】P＝{X＝1}＝F（1）－F（1－0）＝1－e^－1－1/2＝1/2－e^－1。

8設f₁（x）是標準正態分布的概率密度函數，f₂（x）是[－1，3]上均勻分布的概率密度，且

為概率密度，則a，b應滿足（　　）。

A．2a＋3b＝4

B．3a＋2b＝4

C．a＋b＝1

D．a＋b＝2

【答案】A

【考點】概率密度函數的性質

【解析】由

得

即2a＋3b＝4。

二、填空題（9～14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在題中橫線上。）

9設x＝e^－t，

則______。

【答案】0

【考點】復合函數的求導法則

【解析】dx/dt＝－e^－t，dy/dt＝ln（1＋t²），于是dy/dx＝（dy/dt）/（dx/dt）＝ln（1＋t²）/（－e^－t）＝－e^tln（1＋t²）。

故

10______。

【答案】－4π

【考點】利用變量代換及分部積分法求積分

【解析】

11已知曲線L的方程為y＝1－|x|（x∈[－1，1]），起點為（－1，0），終點為（1，0），則曲線積分______。

【答案】0

【考點】第一型曲線積分的求法

【解析】

于是

12設Ω＝{（x，y，z）|x²＋y²≤z≤1}，則Ω的形心豎坐標z(＿)＝______。

【答案】2/3

【考點】形心的定義及求法，三重積分的球坐標變換法

【解析】

13設a₁＝（1，2，－1，0）^T，a₂＝（1，1，0，2）^T，a₃＝（2，1，1，a）^T，若由a₁，a₂，a₃所形成的向量空間的維數為2，則a＝______。

【答案】6

【考點】向量組的秩與其組成的向量空間的維數的關系，向量組的秩的求法

【解析】若由a₁，a₂，a₃所形成的向量空間的維數為2，則a₁，a₂，a₃的秩為2，于是

14設隨機變量X的概率分布為P（X＝k）＝C/k!（k＝0，1，2，…），則EX²＝______。

【答案】2

【考點】概率的性質，泊松分布的定義和性質

【解析】

所以X服從參數為1的泊松分布。故EX²＝DX＋（EX）²＝1＋1＝2。

三、解答題（15～23小題，共94分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）

15（本題滿分10分）

求微分方程y″－3y′＋2y＝2xe^x的通解。

【考點】微分方程的求解

解：由題意知，y″－3y′＋2y＝2xe^x對應的齊次方程為y″－3y′＋2y＝0，其特征方程為λ²－3λ＋2＝0?λ＝1，λ＝2，于是通解為y＝C₁e^x＋C₂e^2x，C₁，C₂為任意常數。

由于λ＝1為特征單根，故設特解為y^*＝（Ax＋B）xe^x，則

y^*′＝[Ax²＋（2A＋B）x＋B]e^x

y^*″＝[Ax²＋（4A＋B）x＋2A＋2B]e^x

代入原方程有

所以y^*＝－x（x＋2）e^x。故原方程的通解為y＝C₁e^x＋C₂e^2x－（x＋2）xe^x，C₁，C₂為任意常數。

16（本題滿分10分）

求函數的單調區間與極值。

【考點】函數的單調性，單調區間和極值的求法

解：函數f（x）的定義域為（－∞，＋∞）。由于

令f′（x）＝0?x＝0，x＝±1。

以x＝0，x＝±1為分割點列表如表2：

表2

綜上，f（x）的單調減少區間為（－∞，－1）和（0，1）；單調增加區間為（－1，0）和（1，＋∞）。

f（x）在x＝±1處取得極小值f（±1）＝0；f（x）在x＝0處取得極大值

17（本題滿分10分）

（Ⅰ）比較與（n＝1，2，…）的大小，說明理由。

（Ⅱ）記

求極限。

【考點】定積分的性質和數列極限的求法

解：（Ⅰ）令f（t）＝[ln（1＋t）]ⁿ－tⁿ（0≤t≤1）。

當n＝1時，f′（t）＝1/（1＋t）－1＜0，故f（t）＝ln（1＋t）－t＜f（0）＝0，即0≤ln（1＋t）≤t，故0≤[ln（1＋t）]ⁿ≤tⁿ（0≤t≤1），則f（t）＝[ln（1＋t）]ⁿ－tⁿ＜0，即|lnt|[ln（1＋t）]ⁿ＜tⁿ|lnt|。

故由定積分比較定理可得，

（Ⅱ）根據（Ⅰ）的結果有

又

故由夾逼定理得

18（本題滿分10分）

求冪級數的收斂域與和函數。

【考點】冪級數的收斂域及和函數，級數的收斂性

解：記

令

于是可得冪級數在（－1，1）絕對收斂。

當x＝±1時，原冪級數為，由萊布尼茨交錯級數判斂法則可知此級數收斂，故冪級數的收斂域為[－1，1]。

當x∈[－1，1]時，有

19（本題滿分10分）

設P為橢球面S：x²＋y²＋z²－yz＝1上的動點，若S在點P處的切平面與xOy面垂直，求點P的軌跡C，并計算曲面積分

其中∑是橢球面S位于C上方的部分。

【考點】切平面，兩平面垂直的定義及曲面積分的求法

解：設橢球面S上一動點P（x₀，y₀，z₀），S在P處的切平面方程為2x₀（x－x₀）＋（2y₀－z₀）（y－y₀）＋（2z₀－y₀）（z－z₀）＝0，因為切平面與xOy面垂直，所以2x₀·0＋（2y₀－z₀）·0＋（2z₀－y₀）·1＝0?2z₀－y₀＝0，P為橢球面S上的動點，所以C的方程為

即

取D＝{（x，y）|x²＋3y²/4≤1}，記∑為z（x，y）（（x，y）∈D）。

由于

故

20（本題滿分11分）

設

已知線性方程組Ax＝b有兩個不同的解。

（Ⅰ）求λ，a；

（Ⅱ）求方程Ax＝b的通解。

【考點】方程組解的判定方法及求通解的方法

解：因為線性方程組Ax＝b有兩個不同的解，則

當λ＝1時，

則r（A）＝1≠2＝r（A(＿)），即λ＝1不成立。

當λ＝－1時，

因為Ax＝b有解，所以a＋2＝0?a＝－2。

（Ⅰ）綜上，λ＝－1，a＝－2。

（Ⅱ）原方程與以下方程組同解

故原方程的通解為

21（本題滿分11分）

已知二次型f（x₁，x₂，x₃）＝x^TAx在正交變換x＝Qy下的標準型為y₁²＋y₂²，且Q的第3列為

（Ⅰ）求矩陣A；

（Ⅱ）證明矩陣A＋E為正定矩陣，其中E為三階單位矩陣。

【考點】用正交變換化二次型為標準型的方法，特征值、特征向量的性質及矩陣的乘法公式

解：由題設A的特征值為1，1，0，且（1，0，1）^T為A的屬于特征值0的一個特征向量。

設X＝（x₁，x₂，x₃）^T為A的屬于特征值1的特征向量，因為A的屬于不同特征值的特征向量正交，所以X（1，0，1）^T＝x₁＋x₃＝0，取，（0，1，0）^T為A的屬于特征值1的相互正交的單位特征向量。

令

則有

（Ⅰ）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知A的特征值為1，1，0，則A＋E的特征值為2，2，1，均大于零，又A＋E為實對稱矩陣，故A＋E為正定矩陣。

22（本題滿分11分）

設二維隨機變量（X，Y）的概率密度為

求常數A及條件概率密度f_Y|X（y|x）。

【考點】概率密度函數的性質，條件概率的定義和求法

解：由概率密度函數的性質得

故A＝1/π。

于是

X的邊緣概率密度為

于是當－∞＜x＜＋∞時，條件概率密度

23（本題滿分11分）

設總體x的概率分布如表3所示。

表3

其中0＜θ＜1未知，以N_i表示來自總體X的隨機樣本（樣本容量為n）中等于i的個數（i＝1，2，3），試求常數a₁，a₂，a₃，使為θ的無偏估計量，并求T的方差。

【考點】考查無偏估計的定義及方差的定義和性質

解：

由題設可知，N₁～B（n，1－θ），N₂～B（n，θ－θ²），N₃～B（n，θ²）。

故EN₁＝n（1－θ），EN₂＝n（θ－θ²），EN₃＝nθ²。于是要使為θ的無偏估計量，則必有

于是

故

即DT＝D（1－N₁/n）＝DN₁/n²＝n（1－θ）θ/n²＝（1－θ）θ/n。