3.2　課后習(xí)題詳解

3-1　在以下兩種情況下，畫出圖3-2-1所示電路的圖，并說(shuō)明其結(jié)點(diǎn)數(shù)和支路數(shù)：

（1）每個(gè)元件作為一條支路處理；

（2）電壓源（獨(dú)立或受控）和電阻的串聯(lián)組合，電流源和電阻的并聯(lián)組合作為一條支路處理。

圖3-2-1

解：（1）每個(gè)元件作為一條支路，圖3-2-1（a）（b）可簡(jiǎn)化為如圖3-2-2（a₁）（b₁）所示的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

（a₁）中結(jié)點(diǎn)數(shù)n＝6，支路數(shù)b＝11；（b₁）中結(jié)點(diǎn)數(shù)n＝7，支路數(shù)b＝12。

（2）電壓源（獨(dú)立或者受控）和電阻的串聯(lián)組合，電流源和電阻的并聯(lián)組合作為一條支路，圖3-2-1（a）（b）可簡(jiǎn)化為如圖3-2-2（a₂）（b₂）所示的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

（a₂）中結(jié)點(diǎn)數(shù)n＝4，支路數(shù)b＝8；（b₂）中結(jié)點(diǎn)數(shù)n＝5，支路數(shù)b＝9。

圖3-2-2

3-2　指出題3-1中兩種情況下，KCL、KVL獨(dú)立方程各為多少？

解：（1）圖3-2-2（a₁）中，獨(dú)立的KCL方程個(gè)數(shù)為n－1＝5，獨(dú)立的KVL方程個(gè)數(shù)為b－n＋1＝6；

圖3-2-2（b₁）中，獨(dú)立的KCL方程個(gè)數(shù)為n－1＝6，獨(dú)立的KVL方程個(gè)數(shù)為b－n＋1＝6。

（2）圖3-2-2（a₂）中，獨(dú)立的KCL方程個(gè)數(shù)為n－1＝3，獨(dú)立的KVL方程個(gè)數(shù)為b－n＋1＝5；

圖3-2-2（b₂）中，獨(dú)立的KCL方程個(gè)數(shù)為n－1＝4，獨(dú)立的KVL方程個(gè)數(shù)為b－n＋1＝5。

3-3　對(duì)圖3-2-3（a）、（b），各畫出4個(gè)不同的樹，樹支數(shù)各為多少？

圖3-2-3

解：圖3-2-3（a）中不同的4個(gè)樹，如圖3-2-4（a）所示，樹枝數(shù)都為5個(gè)。

圖3-2-4（a）

圖3-2-3（b）中不同的4個(gè)樹，如圖3-2-4（b）所示，樹枝數(shù)都為5個(gè)。

圖3-2-4（b）

3-4　圖3-2-5所示橋形電路共可畫出16個(gè)不同的樹，試一一列出（由于結(jié)點(diǎn)數(shù)為4，故樹支數(shù)為3，可按支路號(hào)遞增的窮舉方法列出所有可能的組合，如123，124，…，126，134，135，…，從中選出樹）。

圖3-2-5

解：16個(gè)不同樹的支路組合為：（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，5），（1，3，6），（1，4，5），（1，4，6），（1，5，6），（2，3，4），（2，3，5），（2，3，6），（2，4，6），（2，5，6），（3，4，5），（3，4，6），（4，5，6）。

3-5　對(duì)圖3-2-3所示的G₁和G₂，任選一樹并確定其基本回路組，同時(shí)指出獨(dú)立回路數(shù)和網(wǎng)孔數(shù)各為多少？

解：分析可得：基本回路數(shù)＝獨(dú)立回路數(shù)＝網(wǎng)孔數(shù)。

在一個(gè)連通圖中，若結(jié)點(diǎn)數(shù)為n，支路數(shù)為b，那么獨(dú)立回路數(shù)l＝b－n＋1，即為獨(dú)立的KVL方程數(shù)。

圖3-2-3（a），獨(dú)立回路數(shù)為5，相應(yīng)的基本回路數(shù)和網(wǎng)孔數(shù)也為5。選擇樹（2，5，7，8，9）為例，則基本回路組為：（2，3，5），（8，9，10），（5，6，7，8，9），（1，2，5，7，8），（4，5，7，8）。

圖3-2-3（b），獨(dú)立回路數(shù)為6，相應(yīng)的基本回路數(shù)和網(wǎng)孔數(shù)也為6。選擇樹（4，6，8，9，10）為例，則基本回路組為：（2，9，10），（3，4，6，8），（4，6，8，10，11），（4，7，8），（1，6，8，9，10），（5，6，9，10）。

3-6　對(duì)圖3-2-6所示非平面圖，設(shè)：（1）選擇支路（1，2，3，4）為樹；（2）選擇支路（5，6，7，8）為樹。

問獨(dú)立回路各有多少？求其基本回路組。

圖3-2-6

解：回路中結(jié)點(diǎn)數(shù)n＝5，支路數(shù)b＝10，所以獨(dú)立回路數(shù)l＝b－n＋1＝6。

（1）選擇（1，2，3，4）為樹，形成的基本回路為（1，2，3，4，5），（1，2，3，7），（1，2，6），（2，3，9），（3，4，10），（2，3，4，8）。

（2）選擇（5，6，7，8）為樹，形成的基本回路為（1，5，8），（2，5，6，8），（3，6，7），（4，5，7），（5，7，8，9），（5，6，10）。

3-7　圖3-2-7所示電路中R₁＝R₂＝10Ω，R₃＝4Ω，R₄＝R₅＝8Ω，R₆＝2Ω，u_S3＝20V，u_S6＝40V，用支路電流法求解電流i₅。

圖3-2-7

解：由圖3-2-7可得：n＝4，b＝6，則獨(dú)立回路數(shù)l＝6－4＋1＝3。

各支路電流的參考方向和結(jié)點(diǎn)的標(biāo)注如圖3-2-8所示。

圖3-2-8

建立KCL，KVL方程

結(jié)點(diǎn)①：i₁＋i₂＋i₆＝0；

結(jié)點(diǎn)②：－i₂＋i₃＋i₄＝0；

結(jié)點(diǎn)③：－i₄＋i₅－i₆＝0；

回路Ⅰ：i₂R₂＋i₃R₃－i₁R₁＝－u_S3；

回路Ⅱ：i₄R₄＋i₅R₅－i₃R₃＝u_S3；

回路Ⅲ：－i₂R₂－i₄R₄＋i₆R₆＝－u_S6；

解得：i₅≈－0.956A。

3-8　用網(wǎng)孔電流法求解圖3-2-7中電流i₅。

解：設(shè)圖3-2-7中網(wǎng)孔Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的網(wǎng)孔電流分別為i_l1、i_l2、i_l3，繞行方向?yàn)轫槙r(shí)針，則建立網(wǎng)孔電流方程

解得：i₅＝i_l2≈－0.956A。

3-9　用回路電流法求解圖3-2-7中電流i₃。

解：回路如圖3-2-9所示，電流繞行方向取順時(shí)針，建立回路方程

代入數(shù)值解得：i₃＝i_l2≈－1.552A。

圖3-2-9

3-10　用回路電流法求解圖3-2-10中5Ω電阻中的電流i。

圖3-2-10

圖3-2-11

解：選擇網(wǎng)孔為基本回路，回路電流參考方向?yàn)轫槙r(shí)針，如圖3-2-11所示。

建立回路方程

解得：i＝i_l3＝2.4A。

3-11　用回路電流法求解圖3-2-12所示電路中電流I。

圖3-2-12

圖3-2-13

解：選擇如圖3-2-13所示的基本回路，建立回路方程

解得：i_l2＝0.5A，i_l3＝1.5A；

所以I＝i_l2＝0.5A。

3-12　用回路電流法求解圖3-2-14所示電路中電流I_α及電壓U_o。

圖3-2-14

圖3-2-15

解：選擇網(wǎng)孔為基本回路，如圖3-2-15所示，建立回路電流方程

解得：i₂＝－1A，i₁＝5i₂＝－5A，i₃＝1.4i₁＝－7A；

所以I_α＝－i₁＝5A，U_o＝4i₁＋8i₂－14＝－42V。

3-13　用回路電流法求解：

（1）圖3-2-16（a）中的U_x；

（2）圖3-2-16（b）中的I。

圖3-2-16

解：（1）回路電流的參考方向如圖3-2-17（a）所示，建立回路電流方程

解得

所以U_x＝32×（i₂－i₃）＝32×（0.65－0.4）＝8V。

圖3-2-17（a）

圖3-2-17（b）

（2）回路電流的參考方向如圖3-2-17（b）所示，建立回路電流方程

解得：i₃＝－2.5A；

所以I＝i₃＋i₂＝1A。

3-14　用回路法求解圖3-2-18所示電路中I_x以及CCVS的功率。

圖3-2-18

圖3-2-19

解：回路電流參考方向如圖3-2-19所示，建立回路電流方程

補(bǔ)充方程：I₃＝I_x；

整理得

解得：i₂＝5A，i₃＝3A；

所以I_x＝i₃＝3A，元件CCVS的功率P＝10I_x（i₂－i₁）＝0。

3-15　列出圖3-2-20（a）、（b）所示電路的結(jié)點(diǎn)電壓方程。

圖3-2-20

解：（1）圖3-2-20（a），結(jié)點(diǎn)的編號(hào)如圖3-2-21（a）所示，選結(jié)點(diǎn)?為參考結(jié)點(diǎn)，設(shè)結(jié)點(diǎn)①、②、③的電位分別為u_n1、u_n2、u_n3，則可列結(jié)點(diǎn)電壓方程

圖3-2-21

（2）圖3-2-20（b），結(jié)點(diǎn)的編號(hào)如圖3-2-21（b）所示，選結(jié)點(diǎn)?為參考結(jié)點(diǎn)，設(shè)結(jié)點(diǎn)①、②的電位分別為u_n1、u_n2，則可列結(jié)點(diǎn)電壓方程

整理得

3-16　列出圖3-2-22（a）、（b）所示電路的結(jié)點(diǎn)電壓方程。

圖3-2-22

解：（1）圖3-2-22（a），結(jié)點(diǎn)的編號(hào)如圖3-2-23（a）所示，選結(jié)點(diǎn)?為參考結(jié)點(diǎn)，設(shè)結(jié)點(diǎn)①、②的電位分別為u_n1、u_n2，則可列結(jié)點(diǎn)電壓方程

整理得

圖3-2-23

（2）圖3-2-22（b），結(jié)點(diǎn)的編號(hào)如圖3-2-23（b）所示，選結(jié)點(diǎn)?為參考結(jié)點(diǎn)，設(shè)結(jié)點(diǎn)①、②的電位分別為u_n1、u_n2，則可列結(jié)點(diǎn)電壓方程

整理得

3-17　圖3-2-24所示為由電壓源和電阻組成的一個(gè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)的電路，用結(jié)點(diǎn)電壓法證明其結(jié)點(diǎn)電壓為

u_n1＝（∑G_ku_Sk）/（∑G_k）

此式又稱為彌爾曼定理。

圖3-2-24

證明：利用電源的等效變換，經(jīng)電壓源等效為電流源，等效電流源為

因?yàn)橹挥幸粋€(gè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)，所以不存在互導(dǎo)。結(jié)點(diǎn)①的自導(dǎo)為

結(jié)點(diǎn)的電壓方程為：G₁₁u_n1＝i_S11；

所以

命題得證。

3-18　列出圖3-2-25（a）、（b）所示電路的結(jié)點(diǎn)電壓方程。

圖3-2-25

解：（1）圖3-2-25（a），結(jié)點(diǎn)的編號(hào)如圖3-2-26（a）所示，選結(jié)點(diǎn)?為參考結(jié)點(diǎn)，設(shè)結(jié)點(diǎn)①、②、③的電位分別為u_n1、u_n2、u_n3，則可列結(jié)點(diǎn)電壓方程

整理得

圖3-2-26

（2）圖3-2-25（b），結(jié)點(diǎn)的編號(hào)如圖3-2-26（b）所示，選結(jié)點(diǎn)?為參考結(jié)點(diǎn)，設(shè)結(jié)點(diǎn)①、②、③的電位分別為u_n1、u_n2、u_n3，將無(wú)伴電壓源看成是電流為i的電流源，方向由負(fù)到正，則可列結(jié)點(diǎn)電壓方程

補(bǔ)充方程

整理得

3-19　用結(jié)點(diǎn)電壓法求解圖3-2-27所示電路中各支路電流。

圖3-2-27

解：（1）圖3-2-27（a），結(jié)點(diǎn)的編號(hào)如圖3-2-28（a）所示，選結(jié)點(diǎn)?為參考結(jié)點(diǎn)，則可列結(jié)點(diǎn)電壓方程

整理得

解得：u_n1＝9V，u_n2＝10V；

各支路電流

i₁＝（10－u_n1）/0.5＝2A

i₂＝（u_n1－u_n2）/1＝－1A

i₃＝u_n1/3＝3A

i₄＝u_n2/5＝2A

圖3-2-28

（2）圖3-2-27（b），結(jié)點(diǎn)的編號(hào)如圖3-2-28（b）所示，選結(jié)點(diǎn)?為參考結(jié)點(diǎn)，則可列結(jié)點(diǎn)電壓方程

整理得

解得

各支路電流

i_a＝（15－u_n1）/4＝1.891A

i_b＝u_n1/6＝1.239A

i_c＝（u_n1－u_n2）/1＝0.652A

i_d＝u_n2/3＝2.261A

i_e＝（u_n2－10）/2＝－1.609A

3-20　圖3-2-29所示電路中電源為無(wú)伴電壓源，用結(jié)點(diǎn)電壓法求解電流I_S和I_O。

圖3-2-29

圖3-2-30

解：如圖3-2-30所示，選結(jié)點(diǎn)?為參考結(jié)點(diǎn)，設(shè)結(jié)點(diǎn)①、②、③的電位分別為U_n1、U_n2、U_n3，則可列結(jié)點(diǎn)電壓方程

解得：U_n2＝18V，U_n3＝12V；

所以I_S＝（U_n1－U_n2）/5＋（U_n1－U_n3）/（3＋9）＝（48－18）/5＋（48－12）/12＝9A，I_O＝（U_n3－U_n2）/2＝（12－18）/2＝－3A。

3-21　用結(jié)點(diǎn)電壓法求解圖3-2-31所示電路中電壓U。

圖3-2-31

圖3-2-32

解：如圖3-2-32所示，選結(jié)點(diǎn)?為參考結(jié)點(diǎn)，設(shè)結(jié)點(diǎn)①、②、③的電位分別為U_n1、U_n2、U_n3，則可列結(jié)點(diǎn)電壓方程

補(bǔ)充方程：I＝U_n2/20；

解得：U＝U_n2＝32V。

3-22　用結(jié)點(diǎn)電壓法求解題3-13。

解：（1）如圖3-2-33（a）所示，選結(jié)點(diǎn)?為參考結(jié)點(diǎn)，設(shè)結(jié)點(diǎn)①、②、③的電位分別為u_n1、u_n2、u_n3，則可列結(jié)點(diǎn)電壓方程

解得：U_n2＝8V，U_n3＝6V；

即U_x＝U_n2＝8V。

圖3-2-33（a）

圖3-2-33（b）

（2）如圖3-2-33（b）所示，選結(jié)點(diǎn)?為參考結(jié)點(diǎn)，設(shè)結(jié)點(diǎn)①、②、③的電位分別為u_n1、u_n2、u_n3，則可列結(jié)點(diǎn)電壓方程

經(jīng)整理可得到

解得：U_n3＝－35V，I＝U_n3/35＝－1A。

3-23　用結(jié)點(diǎn)電壓法求解題3-14。

解：（1）如圖3-2-34所示，選結(jié)點(diǎn)?為參考結(jié)點(diǎn)，設(shè)結(jié)點(diǎn)①、②、③的電位分別為U_n1，U_n2，U_n3，則可列結(jié)點(diǎn)電壓方程

補(bǔ)充方程：U_n1＝U_n2＋10I_x，U_n3＝10I_x＋30；

解得：U_n1＝50V，U_n2＝20V，U_n3＝60V，I_x＝3A；

流過受控電壓源中的電流為

I_CS＝－[U_n2/10＋（U_n2－U_n3）/20]＝－[20/10＋（20－60）/20]＝0

因此，CCVS的功率為0。

圖3-2-34

3-24　用結(jié)點(diǎn)電壓法求解圖3-2-35所示電路后，求各元件的功率并檢驗(yàn)功率是否平衡。

圖3-2-35

圖3-2-36

解：如圖3-2-36所示，選結(jié)點(diǎn)?為參考結(jié)點(diǎn)，設(shè)結(jié)點(diǎn)①、②、③的電位分別為u_n1、u_n2、u_n3，則可列結(jié)點(diǎn)電壓方程

對(duì)結(jié)點(diǎn)?，建立KCL方程得：I₁＝u_n2/1＋I(xiàn)₁/3；

化簡(jiǎn)，得：I₁＝1.5u_n2；

解得：u_n3＝u_n2＝2V；

電流I₁＝1.5u_n2＝3A；

電阻吸收的總功率為

6V電壓源發(fā)出的功率為：P₂＝6×I₁＝6×3＝18W；

12V電壓源發(fā)出功率為：P₃＝12×I₁/3＝12×3/3＝12W；

受控電流源吸收的功率為：P₄＝（u_n3＋12）×I₁/3＝14×3/3＝14W；

綜上，吸收的電功率總和與發(fā)出的電功率總和相等，所以電路的功率是平衡的。

3-25　用結(jié)點(diǎn)電壓法求解圖3-2-37所示電路中u_n1和u_n2，你對(duì)此題有什么看法？

圖3-2-37

圖3-2-38

解：如圖3-2-38所示，選結(jié)點(diǎn)?為參考結(jié)點(diǎn)，設(shè)結(jié)點(diǎn)①、②的電位分別為u_n1、u_n2，則可列結(jié)點(diǎn)電壓方程

補(bǔ)充方程：u₁＝u_n1；

整理得

無(wú)解，說(shuō)明該電路模型不符合實(shí)際情況。

3-26　列出圖3-2-39所示電路的結(jié)點(diǎn)電壓方程。如果R_S＝0，則方程又如何？（提示：為避免引入過多附加電流變量，對(duì)連有無(wú)伴電壓源的結(jié)點(diǎn)部分，可在包含無(wú)伴電壓源的封閉面S上寫出KCL方程）

圖3-2-39

解：（1）對(duì)S面和結(jié)點(diǎn)④列KCL方程

根據(jù)各個(gè)結(jié)點(diǎn)電壓關(guān)系建立如下補(bǔ)充方程

整理得

（2）當(dāng)R_S＝0時(shí)，u_n1＝u_S1，變量?jī)H有u_n4，即結(jié)點(diǎn)④的方程為

－G₆u_n1－G₅u_n3＋（G₄＋G₅＋G₆）u_n4＝I_S①

補(bǔ)充方程可簡(jiǎn)化為

將補(bǔ)充方程代入方程①得

（G₄＋G₅＋G₆）u_n4＝I_S＋（G₅＋G₆－G₂G₅R_m）U_S1＋G₅（1－R_mG₂）U_S2