第五節　常微分方程

單項選擇題（下列選項中，只有一項符合題意）

1微分方程y″－2y′＋y＝0的兩個線性無關的特解是（　　）。[2016年真題]

A．y₁＝x，y₂＝e^x

B．y₁＝e^－x，y₂＝e^x

C．y₁＝e^－x，y₂＝xe^－x

D．y₁＝e^x，y₂＝xe^x

【答案】D

【解析】本題中，二階常系數線性微分方程的特征方程為：r²－2r＋1＝0，解得：r₁＝r₂＝1，故方程的通解為：y₂＝e^x（c₁＋c₂x），則兩個線性無關解為c₁e^x、c₂xe^x（c₁、c₂為常數）。

2微分方程y″＝sinx的通解y等于（　　）。[2018年真題]

A．－sinx＋C₁＋C₂

B．－sinx＋C₁x＋C₂

C．－cosx＋C₁x＋C₂

D．sinx＋C₁x＋C₂

【答案】B

【解析】方法一：直接利用代入法。B項，當y＝－sinx＋C₁x＋C₂時，y′＝－cosx＋C₁，繼續求導得，y″＝sinx，符合題意。n階微分方程通解中應含有n個任意常數。A項通解中實質上只有一個任意常數，而CD兩項均不滿足微分方程y″＝sinx，則均不符合。

方法二：由（sinx）′＝cosx，（cosx）′＝－sinx，則通過求原函數不定積分得y′＝－cosx＋C₁，再求一次不定積分得y＝－sinx＋C₁x＋C₂，B項符合題意。

3微分方程xy′－y＝x²e^2x的通解y等于（　　）。[2014年真題]

A．x（e^2x/2＋C）

B．x（e^2x＋C）

C．x（x²e^2x/2＋C）

D．x²e^2x＋C

【答案】A

【解析】當x≠0時，原微分方程可化為：y′－y/x＝xe^2x

則

4在下列微分方程中，以函數y＝C₁e^－x＋C₂e^4x（C₁，C₂為任意常數）為通解的微分方程是（　　）。[2018年真題]

A．y″＋3y′－4y＝0

B．y″－3y′－4y＝0

C．y″＋3y′＋4y＝0

D．y″＋y′－4y＝0

【答案】B

【解析】由題意知，二階常系數齊次線性微分方程的特征方程的兩個根為－1和4，只有B項滿足。

【總結】求二階常系數齊次線性微分方程y″＋py′＋qy＝0的通解的步驟：

①求出微分方程的特征方程r²＋pr＋q＝0；

②求出特征方程的兩個根r₁，r₂；

③根據r₁，r₂的不同情形，寫出微分方程的通解：

a．當r₁≠r₂，

b．當r₁＝r₂，

c．一對共軛復根r_1，2＝α±βi，y＝e^αx（C₁cosβx＋C₂sinβx）。

5微分方程dy/dx＋x/y＝0的通解是（　　）。[2012年真題]

A．x²＋y²＝C（C∈R）

B．x²－y²＝C（C∈R）

C．x²＋y²＝C²（C∈R）

D．x²－y²＝C²（C∈R）

【答案】C

【解析】由dy/dx＝－x/y，ydy＝－xdx，故兩邊積分得：（1/2）y²＝－（1/2）x²＋C，y²＝－x²＋2C，整理得，x²＋y²＝C₁，這里常數C₁必須滿足C₁≥0。故方程的通解為x²＋y²＝C²（C∈R）。

6微分方程y′－y＝0滿足y（0）＝2的特解是（　　）。[2017年真題]

A．y＝2e^－x

B．y＝2e^x

C．y＝e^x＋1

D．y＝e^－x＋1

【答案】B

【解析】因為y′－y＝0，所以dy/dx＝y，得∫（1/y）dy＝∫1dx，則lny＝x＋c₁；解得：

即y＝ce^x，又y（0）＝2，解得c＝2，即y＝2e^x。

7微分方程的通解是（　　）。[2011年真題]

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】分離變量法，原式等價于：

兩邊積分得：

整理得：

8微分方程dy/dx－y/x＝tan（y/x）的通解是（　　）。[2011年真題]

A．sin（y/x）＝Cx

B．cos（y/x）＝Cx

C．sin（y/x）＝x＋C

D．Cxsin（y/x）＝1

【答案】A

【解析】令y/x＝u，則dy/dx＝xdu/dx＋u，原式等價于du/tanu＝dx/x，兩邊分別積分得：ln（sinu）＝lnx＋lnC，則微分方程dy/dx－y/x＝tan（y/x）的通解是sin（y/x）＝Cx。

9微分方程ydx＋（x－y）dy＝0的通解是（　　）。[2010年真題]

A．（x－y/2）y＝C

B．xy＝C（x－y/2）

C．xy＝C

D．y＝C/ln（x－y/2）

【答案】A

【解析】微分方程ydx＋（x－y）dy＝0可寫成ydx＋xdy＝ydy，右端僅含y，求積分得y²/2。左端既含x又含y，它不能逐項積分，但卻可以化成d（xy），因此，直接求積分得到xy，從而便得到微分方程的隱式解：xy＝y²/2＋C，即（x－y/2）y＝C。

10函數（C₁，C₂為任意數）是微分方程y″－y′－2y＝0的（　　）。[2014年真題]

A．通解

B．特解

C．不是解

D．解，既不是通解又不是特解

【答案】D

【解析】微分方程y″－y′－2y＝0的特征方程為：r²－r－2＝0，解特征方程得：r₁＝2，r₂＝－1。故其通解為：y＝C₁e^2x＋C₂e^－x，即題中函數是方程的解，但不是通解或特解。

11微分方程xy′－ylny＝0滿足y（1）＝e的特解是（　　）。[2013年真題]

A．y＝ex

B．y＝e^x

C．y＝e^2x

D．y＝lnx

【答案】B

【解析】將各選項答案代入已知條件判斷如下：A項，代入可得，ex－exln（ex）≠0，不滿足；B項，代入可得，xe^x－xe^x＝0，當x＝1時，有y（1）＝e，滿足；CD兩項不滿足y（1）＝e。

12已知微分方程y′＋p（x）y＝q（x）（q（x）≠0）有兩個不同的解y₁（x），y₂（x），C為任意常數，則該微分方程的通解是（　　）。[2012年真題]

A．y＝C（y₁－y₂）

B．y＝C（y₁＋y₂）

C．y＝y₁＋C（y₁＋y₂）

D．y＝y₁＋C（y₁－y₂）

【答案】D

【解析】所給方程的通解等于其導出組的通解加上該方程對應齊次方程的一個特解，（y₁－y₂）是導出組的一個解，C（y₁－y₂）是導出組的通解。

13微分方程y″＋y′＋y＝e^x的一個特解是（　　）。[2017年真題]

A．y＝e^x

B．y＝e^x/2

C．y＝e^x/3

D．y＝e^x/4

【答案】C

【解析】求解特征方程，可得1不是特征方程的根，根據已知微分方程的表達式，可設特解為y＝Ae^x，代入原方程解得A＝1/3，所以該微分方程的一個特解為y＝e^x/3。

14微分方程y″－3y′＋2y＝xe^x的待定特解的形式是（　　）。[2013年真題]

A．y＝（Ax²＋Bx）e^x

B．y＝（Ax＋B）e^x

C．y＝Ax²e^x

D．y＝Axe^x

【答案】A

【解析】形如y″＋py′＋qy＝P（x）e^αx的非齊次方程的特解為：y^*＝x^kQ（x）e^αx，其中k的取值視α在特征方程中的根的情況而定，Q（x）的設法視P（x）的次數而定。在此，特征方程r²－3r＋2＝0的特征根為r＝2，r＝1為單根形式，故k＝1；P（x）＝x，為一次函數，可設Q（x）＝Ax＋B。故原微分方程的待定特解的形式為：x（Ax＋B）e^x＝（Ax²＋Bx）e^x。

15以y₁＝e^x，y₂＝e^－3x為特解的二階線性常系數齊次微分方程是（　　）。[2012年真題]

A．y″－2y′－3y＝0

B．y″＋2y′－3y＝0

C．y″－3y′＋2y＝0

D．y″－2y′－3y＝0

【答案】B

【解析】因y₁＝e^x，y₂＝e^－3x是特解，故r₁＝1，r₂＝－3是特征方程的根，因而特征方程r₂＋2r－3＝0。故二階線性常系數齊次微分方程是：y″＋2y′－3y＝0。

16微分方程y″＋2y＝0的通解是（　　）。[2010年真題]

A．y＝Asin2x

B．y＝Acosx

C．

D．

【答案】D

【解析】二階常系數線性齊次方程，寫出特征方程r²＋2＝0，特征根為：

則方程的通解為：

17微分方程cosydx＋（1＋e^－x）sinydy＝0滿足初始條件y|_x＝0＝π/3的特解是（　　）。

A．cosy＝（1＋e^x）/4

B．cosy＝1＋e^x

C．cosy＝4（1＋e^x）

D．cos²y＝1＋e^x

【答案】A

【解析】原方程可整理為：－sinydy/cosy＝dx/（1＋e^－x）

兩邊取不定積分得：∫（dcosy/cosy）＝∫[1/（1＋e^－x）]dx，則lncosy＝ln（1＋e^x）＋C。因此，cosy＝C（1＋e^x），其中C為任意常數。將初始條件代入，可知C＝1/4。

18函數y＝C₁e^x＋C₂e^－2x＋xe^x滿足的一個微分方程是（　　）。

A．y″－y′－2y＝3xe^x

B．y″－y′－2y＝3e^x

C．y″＋y′－2y＝3xe^x

D．y″＋y′－2y＝3e^x

【答案】D

【解析】y＝C₁e^x＋C₂e^－2x＋xe^x是某二階線性常系數非齊次方程的通解，相應的齊次方程的特征根λ₁＝1，λ₂＝－2，特征方程應是（λ－1）（λ＋2）＝0，于是相應的齊次方程是y″＋y′－2y＝0。CD兩項中，方程y″＋y′－2y＝3e^x，有形如y^*＝Axe^x的特解（此處e^ax中a＝1是單特征根）。

19具有特解y₁＝e^－x，y₂＝2xe^－x，y₃＝3e^x的3階常系數齊次線性微分方程是（　　）。

A．y－y″－y′＋y＝0

B．y＋y″－y′－y＝0

C．y－6y″＋11y′－6y＝0

D．y－2y″－y′＋2y＝0

【答案】B

【解析】由特解知，對應特征方程的根為：λ₁＝λ₂＝－1，λ₃＝1。于是特征方程為：（λ＋1）²（λ－1）＝λ³＋λ²－λ－1＝0。故所求線性微分方程為：y＋y″－y′－y＝0。