第四節　無窮級數

單項選擇題（下列選項中，只有一項符合題意）

1級數

滿足下列什么條件時收斂（　　）。[2017年真題]

A．

B．

C．發散

D．a_n單調增且

【答案】D

【解析】級數

收斂的條件為絕對值1/a_n單調遞減且

即a_n單調遞增且

2下列級數中，絕對收斂的級數是（　　）。[2016年真題]

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】可將各項分別取絕對值后判別斂散性。A項，取絕對值后為調和級數，發散；B項，取絕對值后為p級數，且p＝1/2＜1，發散；C項，由

可得，級數發散；D項，sin（3n/2）/n²＜1/n²，由于收斂，故收斂。

3設a_n＝（1＋1/n）ⁿ，則數列{a_n}是（　　）。[2014年真題]

A．單調增而無上界

B．單調增而有上界

C．單調減而無下界

D．單調減而有上界

【答案】B

【解析】判斷，等價于判斷，因為

所以

又

故數列{a_n}單調增且有上界。

4正項級數的部分和數列

有上界是該級數收斂的（　　）。[2013年真題]

A．充分必要條件

B．充分條件而非必要條件

C．必要條件而非充分條件

D．既非充分而又非必要條件

【答案】A

【解析】正項級數的部分和S_n構成一個單調增加（或不減少）的數列{S_n}。由極限存在準則可知，正項級數收斂的充要條件是其部分和數列{S_n}有上界。

5級數（　　）。[2014年真題]

A．當1＜p≤2時條件收斂

B．當p＞2時條件收斂

C．當p＜1時條件收斂

D．當p＞1時條件收斂

【答案】A

【解析】條件收斂，即發散，收斂。已知發散，故0＜p－1≤1。所以當1＜p≤2時，級數條件收斂。

6下列級數中，條件收斂的是（　　）。[2012年真題]

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】因條件收斂，應選A項。而和絕對收斂，的一般項不趨近于零，發散。

7下列級數中，發散的是（　　）。[2018年真題]

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】A項，因為級數的前n項和為

求極限得

所以級數收斂。

B項，p級數當p＞1時收斂，當p≤1時發散。因為B項中p＝3/2＞1，所以級數收斂。

C項，級數的一般項如果不趨于零，則該級數必定發散。計算得

因此C項對應的級數發散。

D項，為一個交錯級數，又隨著n的增大，其值越來越小，且利用萊布尼茲定理知級數收斂。

8若級數收斂，則下列級數中不收斂的是（　　）。[2011年真題]

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】因為級數收斂，故

因此，

故不收斂。

9級數的收斂域是（　　）。[2014年真題]

A．（－1，1）

B．[－1，1]

C．[－1，0）

D．（－1，0）

【答案】C

【解析】采用排除法求解。當x＝0時，原級數可化為級數是發散的，排除AB兩項；當x＝－1時，代入可知級數是交錯級數，收斂。

10冪級數的和函數S（x）等于（　　）。[2017年真題]

A．e^x

B．e^x＋1

C．e^x－1

D．cosx

【答案】C

【解析】考慮到為e^x的展開式，

11下列冪級數中，收斂半徑R＝3的冪級數是（　　）。[2013年真題]

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】冪級數收斂半徑

A項，

B項，

C項，

D項，

12設冪級數的收斂半徑為2，則冪級數

的收斂區間是（　　）。[2011年真題]

A．（－2，2）

B．（－2，4）

C．（0，4）

D．（－4，0）

【答案】C

【解析】由于冪級數的收斂半徑為2，故

則

因此需滿足|（x－2）/2|＜1，即x∈（0，4），其收斂區間是（0，4）。

13冪級數在|x|＜2的和函數是（　　）。[2016年真題]

A．2/（2＋x）

B．2/（2－x）

C．1/（1－2x）

D．1/（1＋2x）

【答案】A

【解析】根據和函數的計算公式，計算得：

14函數f（x）＝a^x（a＞0，a≠1）的麥克勞林展開式中的前三項是（　　）。[2018年真題]

A．1＋xlna＋x²/2

B．1＋xlna＋（lna/2）x²

C．1＋xlna＋（lna）²x²/2

D．1＋x/lna＋x²/（2lna）

【答案】C

【解析】麥克勞林公式是泰勒公式（在x₀＝0下）的一種特殊形式。函數f（x）麥克勞林展開式為

因此前三項是1＋xlna＋（lna）²x²/2。

15當|x|＜1/2時，函數f（x）＝1/（1＋2x）的麥克勞林展開式正確的是（　　）。[2012年真題]

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】因為

故

|x|＜1/2。

16下列各級數中發散的是（　　）。[2010年真題]

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】設

b_n＝1/n，則

而發散，則發散。根據交錯級數判別法，可以判定BD兩項收斂；C項是正項級數，根據根值判別法可以判定C項也是收斂的。

17已知級數

則級數等于（　　）。

A．3

B．7

C．8

D．9

【答案】C

【解析】設法將轉化為用級數

和

表示即可。

則

18設常數λ＞0，且級數收斂，則級數（　　）。

A．發散

B．條件收斂

C．絕對收斂

D．收斂性與λ有關

【答案】C

【解析】注意利用不等式|ab|≤（1/2）（a²＋b²）。因為

由題設收斂，又也收斂，故絕對收斂。

19設0≤a_n≤1/n（n＝1，2，…），則下列級數中肯定收斂的是（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】由0≤a_n≤1/n可知，0≤a_n²＜1/n²，而由收斂及正項級數的比較判別法知，級數收斂，從而絕對收斂，得級數收斂。

20已知級數與廣義積分均收斂，則p的取值范圍是（　　）。

A．p＞2

B．p＜2

C．p＞0

D．0＜p＜2

【答案】D

【解析】若和均收斂，則同時有p－2＜0且p＞0，綜合得0＜p＜2。

21函數e^x展開成為x－1的冪級數是（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】e^x在實數范圍內有直到n＋1階的導數，利用泰勒公式在x＝1處展開如下：

22若的收斂域是（－8，8]，則的收斂半徑及的收斂域分別是（　　）。

A．8，（－2，2]

B．8，[－2，2]

C．不定，（－2，2]

D．8，[－2，2）

【答案】A

【解析】由的收斂域是（－8，8]可知，冪級數的收斂半徑是8，從而冪級數的收斂半徑也是8，又因冪級數是冪級數兩次逐項求導所得，由冪級數逐項求導或逐項積分后所得冪級數的收斂半徑不變，可知冪級數的收斂半徑是8，對于有收斂域－8＜x³≤8，即－2＜x≤2。

23已知的收斂半徑R＝1，則的收斂域為（　　）。

A．（－1，1）

B．[－1，1）

C．（－1，1]

D．（－∞，＋∞）

【答案】D

【解析】因為的收斂半徑R＝1，則

對

故收斂域為（－∞，＋∞）。

24設

則f（x）在x＝0時的6階導數f^（6）（0）是（　　）。

A．不存在

B．－1/6

C．1/56

D．－1/56

【答案】D

【解析】由于

所以f（x）＝1/（2!）－x²/（4!）＋x⁴/（6!）－x⁶/（8!）＋…，x∈（－∞，＋∞）

因為

令n＝6，由函數展開式的唯一性：f^（6）（0）/（6!）＝－1/（8!）

所以f^（6）（0）＝－6!/（8!）＝－1/56。

25設α為常數，則級數（　　）。

A．絕對收斂

B．條件收斂

C．發散

D．收斂性與α的取值有關

【答案】C

【解析】因級數的一般項有|sin（nα）/n²|≤1/n²，且，故收斂；又顯然發散，根據級數的運算性質知，級數必發散。

26設

其中

則S（－5/2）等于（　　）。

A．1/2

B．－1/2

C．3/4

D．－3/4

【答案】C

【解析】由題設知，應先將f（x）從[0，1）作偶延拓，使之成為區間[－1，1]上的偶函數，然后再作周期（周期為2）延拓，進一步展開為傅里葉級數，根據收斂定理有：S（－5/2）＝S（－2－1/2）＝S（－1/2）＝S（1/2）＝[f（1/2－0）＋f（1/2＋0）]/2＝3/4。