4.2　課后習題詳解

1簡釋下列概念：

（1）生產函數(shù)

答：生產函數(shù)是表明在既定的技術水平下，生產要素投入量的組合與產品的最大產量之間技術關系的函數(shù)。它既可以用于描述某個企業(yè)或行業(yè)的生產特征，也可以作為總生產函數(shù)應用于整個經濟。在新古典經濟學的生產分析中，通常把企業(yè)視為將投入組合轉化為產出的“黑匣子”，生產函數(shù)就是對企業(yè)的這種功能的描述。生產函數(shù)所表明的是一種技術關系。在任何技術條件下，都存在一個與之對應的生產函數(shù)。為研究方便，通常假設生產函數(shù)滿足如下假定：①單值連續(xù)函數(shù)，具有連續(xù)的一階和二階偏導數(shù)；②嚴格凹函數(shù)或嚴格擬凹函數(shù)；③遞增的函數(shù)。

（2）柯布-道格拉斯生產函數(shù)

答：柯布-道格拉斯生產函數(shù)是由數(shù)學家柯布和經濟學家道格拉斯于20世紀30年代初共同提出來的一種函數(shù)。柯布-道格拉斯生產函數(shù)以其簡單的形式描述了經濟學家所關心的一些性質，它在經濟理論的分析和實證研究中都具有一定意義。該生產函數(shù)的一般形式為：

Q＝AL^αK^β

其中，Q為產量；L和K分別為勞動和資本投入量；A、α和β為三個參數(shù)，0＜α、β＜1。

柯布-道格拉斯生產函數(shù)中的參數(shù)α和β的經濟含義是：當α＋β＝1時，α和β分別表示勞動和資本在生產過程中的相對重要性，α為勞動所得在總產量中所占的份額，β為資本所得在總產量中所占的份額。

根據(jù)柯布-道格拉斯生產函數(shù)中的參數(shù)α與β之和，還可以判斷規(guī)模報酬的情況。若α＋β＞1，則為規(guī)模報酬遞增；若α＋β＝1，則為規(guī)模報酬不變；若α＋β＜1，則為規(guī)模報酬遞減。

（3）邊際產量

答：邊際產量是指在生產技術水平和其他投入要素不變的情況下，每增加一個單位可變投入要素所得到的總產量的增加量。例如，在生產中如果只有勞動L是可變投入，則勞動的邊際產量可以表示為：

MP_L＝ΔQ/ΔL

假設生產函數(shù)連續(xù)且可導，從而可以用總產量對可變投入量求導得出邊際產量，即：MP_L＝dQ/dL。這樣，在某一產量上的邊際產量，就是該產量相對于總產量曲線上一點的斜率。

（4）平均產量

答：平均產量是指平均每單位可變投入生產的產品數(shù)量。假定只有勞動是生產中的可變投入，則勞動的平均產量為AP_L＝Q/L。平均產量曲線一般是一條倒U形曲線；當平均產量低于邊際產量時，平均產量隨著勞動量的增加而增加；當平均產量高于邊際產量時，平均產量隨著勞動量的增加而降低；在平均產量曲線的最高點處，平均產量曲線恰好與邊際產量曲線相交。平均產量曲線如圖4-4中的AP_L曲線所示。

圖4-4　平均產量曲線

（5）生產要素報酬遞減

答：生產要素報酬遞減是指在技術水平不變的條件下，當把一種可變的生產要素同其他一種或幾種不變的生產要素投入到生產過程中，隨著這種可變的生產要素投入量的增加，最初每增加一單位生產要素所帶來的產量增加量是遞增的，但當這種可變要素的投入量增加到一定程度之后，增加一單位生產要素所帶來的產量增加量是遞減的。技術水平和其他生產要素的投入數(shù)量保持不變是生產要素報酬遞減規(guī)律成立的前提條件。在既定的土地上不斷增加勞動投入所引起的邊際收益遞減的例子，經常作為生產要素報酬遞減規(guī)律的例證。

從理論上講，生產要素報酬遞減規(guī)律成立的原因在于：對于任何產品的短期生產來說，可變要素投入和固定要素投入之間都存在著一個最佳的數(shù)量組合比例。在開始時，由于不變要素投入量給定，而可變要素投入量為零，因此，生產要素的投入量遠遠沒有達到最佳的組合比例。隨著可變要素投入量的逐漸增加，生產要素的投入量逐步接近最佳的組合比例，相應的可變要素的邊際產量呈現(xiàn)出遞增的趨勢。一旦生產要素的投入量達到最佳的組合比例時，可變要素的邊際產量達到最大值。在這一點之后，隨著可變要素投入量的繼續(xù)增加，生產要素的投入量越來越偏離最佳的組合比例，相應的可變要素的邊際產量便呈現(xiàn)出遞減的趨勢了。

（6）等產量曲線

答：等產量曲線指在技術水平不變的條件下生產同一產量的兩種生產要素投入量的各種不同組合的軌跡。以Q表示既定的產量水平，則與等產量曲線相對應的生產函數(shù)為：

Q＝f（L，K）

等產量曲線具有以下重要特點：①等產量曲線是一條從左上方向右下方傾斜的曲線，具有負斜率。它表示增加一種生產要素的投入量，可以減少另一種生產要素的投入量。只有具有負斜率的等產量曲線，才表示勞動和資本互相替代是有效率的。②坐標圖上可以有無數(shù)條等產量曲線。它們按產量大小順次排列，越接近原點的等產量曲線所代表的產量越少，越遠離原點的等產量曲線所代表的產量越多。③任何兩條等產量曲線不能相交。④等產量曲線凸向原點。它表示隨著一種生產要素每增加一個單位，可以替代的另一種生產要素的數(shù)量將逐次減少。這一點可由邊際技術替代率遞減規(guī)律來解釋。

（7）邊際技術替代率

答：邊際技術替代率是指在維持產量水平不變的條件下，增加一個單位的某種要素投入數(shù)量時要減少的另一種要素的投入數(shù)量。以MRTS表示邊際技術替代率，ΔK和ΔL分別表示資本投入的變化量和勞動投入的變化量，勞動對資本的邊際技術替代率的公式為：

MRTS_LK＝－ΔK/ΔL

邊際技術替代率具有遞減的趨勢，即隨著勞動投入量的繼續(xù)增加，每增加1單位勞動所能替代的資本量將越來越少。這是因為，隨著勞動替代資本的過程繼續(xù)進行，勞動數(shù)量不斷增加，勞動的邊際產量必然呈現(xiàn)遞減趨勢；而資本投入量越來越少，資本的邊際產量（表現(xiàn)為每減少一單位資本投入量所減少的產量）就越來越大。這樣，在勞動替代資本過程中，邊際技術替代率就同勞動的邊際產量成正比，同資本的邊際產量成反比。邊際技術替代率遞減規(guī)律是由技術因素所決定的普遍規(guī)律，由于邊際技術替代率遞減規(guī)律的作用，等產量曲線是一條凸向原點的曲線。

（8）等成本線

答：等成本線是在既定的成本和既定生產要素價格條件下生產者可以購買到的兩種生產要素的各種不同數(shù)量組合的軌跡。假定要素市場上既定的勞動的價格即工資率為w，既定的資本的價格即利息率為r，廠商既定的成本支出為C，則成本方程為：

C＝wL＋rK

成本方程相對應的等成本線如圖4-5所示。

圖4-5　等成本線

圖4-5中，橫軸上的點C/w表示既定的全部成本都購買勞動時的數(shù)量，縱軸上的點C/r表示既定的全部成本都購買資本時的數(shù)量，連接這兩點的線段就是等成本線。它表示既定的全部成本所能購買到勞動和資本數(shù)量的各種組合。

（9）擴展線（擴展軌道）

答：擴展線是指在生產要素價格、技術和其他條件不變的假定下，不同產量的等產量曲線與等成本線相切的切點的連線。當廠商增加成本或擴大產量時，廠商的最優(yōu)投入組合點也隨之改變，如果是改變成本就會使等成本線發(fā)生平移，如果是改變產量就會使等產量線發(fā)生平移。這樣就得到了一組等產量線與等成本線相切點的軌跡，該軌跡的連線被稱作生產擴展曲線或擴展線。它表示在生產要素價格、技術以及其他條件不變的假定下，當生產成本或產量發(fā)生變化時，利潤最大化的廠商必然會選擇擴展線上的要素投入組合，在這些組合點上，要素的邊際技術替代率等于要素的價格比。如圖4-6所示，曲線OABCE為擴展線。

圖4-6　擴展線

（10）規(guī)模報酬

答：規(guī)模報酬指企業(yè)的生產規(guī)模變化與所引起的產量變化之間的關系。企業(yè)只有在長期內才可以變動全部生產要素，進而變動生產規(guī)模，因此，企業(yè)的規(guī)模報酬分析屬于長期生產理論問題。在生產理論中，通常是以全部的生產要素都以相同的比例發(fā)生變化來定義企業(yè)的生產規(guī)模的變化。相應地，規(guī)模報酬變化是指在其他條件不變的情況下，企業(yè)內部各種生產要素按相同比例變化時所帶來的產量變化。

企業(yè)的規(guī)模報酬變化可以分為規(guī)模報酬遞增、規(guī)模報酬不變和規(guī)模報酬遞減三種情況：①規(guī)模報酬遞增是指產量增加的比例大于各種生產要素增加的比例。例如，當全部的生產要素勞動和資本都增加100%時，產量的增加大于100%。產生規(guī)模報酬遞增的主要原因是由于企業(yè)生產規(guī)模擴大所帶來的生產效率的提高。②規(guī)模報酬不變是指產量增加的比例等于各種生產要素增加的比例。例如，當生產要素勞動和資本都增加100%時，產量也增加100%。③規(guī)模報酬遞減是指產量增加的比例小于各種生產要素增加的比例。例如，當全部的生產要素勞動和資本都增加100%時，產量的增加小于100%。產生規(guī)模報酬遞減的主要原因是由于企業(yè)生產規(guī)模過大，使得生產的各個方面難以得到協(xié)調，從而降低了生產效率。

一般說來，企業(yè)規(guī)模報酬的變化呈現(xiàn)出如下的規(guī)律：當企業(yè)從最初的很小的生產規(guī)模開始逐步擴大的時候，企業(yè)面臨的是規(guī)模報酬遞增的階段。在企業(yè)得到了由生產規(guī)模擴大所帶來的產量遞增的全部好處之后，一般會繼續(xù)擴大生產規(guī)模，將生產保持在規(guī)模報酬不變的階段。這個階段有可能比較長。在這個階段之后，企業(yè)若繼續(xù)擴大生產規(guī)模，就會進入規(guī)模報酬遞減的階段。

2規(guī)模報酬遞增、不變和遞減這三種情況與可變比例生產函數(shù)的報酬遞增、不變和遞減的三種情況的區(qū)別何在？“規(guī)模報酬遞增的廠商不可能也會面臨要素報酬遞減的現(xiàn)象”這個命題是否正確？為什么？

答：規(guī)模報酬的遞增、不變和遞減與可變比例生產函數(shù)報酬遞增、不變和遞減的區(qū)別如下：規(guī)模報酬問題論及的是廠商的規(guī)模本身發(fā)生變化時（這里假定為廠房、設備等固定要素和勞動、原材料等可變要素發(fā)生了同比例變化），相應的產量是不變、遞增還是遞減，或者說是廠商根據(jù)它的經營規(guī)模大小（產銷量大小）設計不同的工廠規(guī)模；而可變比例生產函數(shù)所討論的則是在該廠的規(guī)模已經固定下來，即廠房、設備等固定要素既定不變，可變要素的變化引起的產量（報酬）遞增、遞減及不變這三種情況。

“規(guī)模報酬遞增的廠商不可能也會面臨要素報酬遞減的現(xiàn)象”這個命題是錯誤的。規(guī)模報酬和可變要素報酬是兩個不同的概念。規(guī)模報酬問題討論的是一座工廠本身規(guī)模發(fā)生變化時產量的變化，而可變要素報酬問題論及的則是廠房規(guī)模已經固定下來，增加可變要素時相應的產量變化。事實上，當廠商經營規(guī)模較大，在給定技術狀況下投入要素的效率提高，即規(guī)模報酬遞增的同時，隨著可變要素投入的增加到足以使固定要素得到最有效利用后，繼續(xù)增加可變要素，總產量的增加同樣將會出現(xiàn)遞減現(xiàn)象。所以規(guī)模報酬遞增的廠商也會同時面臨要素報酬遞減現(xiàn)象。

3說明下列說法是否正確：

（1）假定生產某產品要用兩種要素，如果這兩種要素價格相等，則該生產者最好就是要用同等數(shù)量的這兩種要素投入。

（2）兩種要素A和B的價格如果相等，則產出量一定時，最低成本支出的要素投入組合將決定于等產量曲線斜率為－1之點。

（3）假定生產X產品使用A、B兩種要素，則A的價格下降必導致B的使用量增加。

（4）在要素A和B的當前使用水平上，A的邊際產量是3，B的邊際產量是2，每單位要素A的價格是5，B的價格是4，由于B是比較便宜的要素，廠商如減少A的使用量而增加B的使用量，社會會以更低的成本生產出同樣多產量。

（5）擴大企業(yè)規(guī)模，可取得規(guī)模經濟效益，因此，企業(yè)規(guī)模越大越好。

答：（1）不對。廠商生產一定產量使總成本最小的條件是花費每1元錢購買的兩種生產要素所得的邊際產量都相等，即MP_A/P_A＝MP_B/P_B。當P_A等于P_B時，均衡的條件是MP_A＝MP_B，而不是A＝B，其中，A、B分別代表要素A、B的投入量。例如，對于生產函數(shù)Q＝f（K，L）＝KL－0.2K²－0.4L²，MP_L＝K－0.8L，MP_K＝L－0.4K，當P_L＝P_K時，由廠商均衡條件，MP_L＝MP_K，即K－0.8L＝L－0.4K，可知K＝97L，K與L的投入量并不相等。

（2）對。產出既定時使成本最小的條件可以寫成－dB/dA＝MP_A/MP_B＝P_A/P_B。如果P_A＝P_B，則－dB/dA＝1，即dB/dA＝－1，此均衡點即為等產量曲線上斜率為－1的點。

（3）不對。當A的價格下降時，由于替代效應和產量效應，A的使用量將較前增加，而B的使用量可能增加，可能減少，也可能不變。分析如圖4-7所示。

圖4-7　A價格下降時要素A與要素B使用量的變化分析

圖4-7顯示了A價格下降時，等成本線變平緩的情形下要素A和B使用量的變化情況。在圖（a）中，A使用量增加的同時B使用量也增加；在圖（b）中，A使用量增加而B使用量減少；在圖（c）中，A使用量增加而B使用量不變。所以B的使用量一定增加的說法是錯誤的。

（4）不對。由于MPP_B/MPP_A＜P_B/P_A（2/3＜4/5）。這意味著多花1元錢買進B所能增加的產量，小于少花1元錢使用A所減少的產量。也就是說，為了補償少花1元錢買進A所損失的產量，所需增加使用的B所花費的將大于1元錢，因而增加B使用量而同時減少A使用量將可使總成本增加而產量不變。

（5）不對。盡管擴大企業(yè)的規(guī)模有可能獲得規(guī)模經濟效應，但是企業(yè)的規(guī)模并不是越大越好。因為隨著企業(yè)規(guī)模的擴大，企業(yè)的管理成本會逐漸增加，從而會使規(guī)模擴大帶來的經濟效益不斷減少，最終會導致規(guī)模報酬進入遞減階段。

4規(guī)模經濟與范圍經濟有何區(qū)別？

答：規(guī)模經濟是指隨著生產規(guī)模擴大，產品平均成本下降的情況；而范圍經濟是指有的企業(yè)同時生產基本技術和設備相同或相關的多種產品時所擁有的生產和成本的優(yōu)勢。規(guī)模經濟與范圍經濟的主要區(qū)別在于：

（1）產生的原因不同。規(guī)模經濟的產生主要是由于投入擴大所導致，規(guī)模報酬遞增是產生規(guī)模經濟的原因之一。而范圍經濟主要是由于產品生產之間的相互作用導致，是指在相同的投入下，由一個單一的企業(yè)生產產品比由多個不同的企業(yè)分別生產這些產品中的每一個單一產品的產出水平更高，范圍經濟有多種源泉，可能產生于管理工作的專業(yè)化、生產的多種產品都需要相同或類似投入要素時的庫存節(jié)約，或產生于更好地利用生產設備、有利于聯(lián)合生產的技術變化。經濟學家常常列舉金融行業(yè)作為范圍經濟的一個例證，金融行業(yè)給客戶提供許多種服務，諸如支票存款、借款服務和貨幣兌換等等。

（2）側重點不同。規(guī)模經濟是側重于經濟生產規(guī)模的擴大，通過生產要素投入的增加來實現(xiàn)更好的經濟效益。而范圍經濟側重于生產產品的關聯(lián)性，是從減小成本和減小風險兩個角度出發(fā)而生產多種產品，從而獲得更好的經濟效益。

（3）范圍經濟并不像規(guī)模經濟那樣與規(guī)模報酬有關。規(guī)模經濟把規(guī)模報酬概念作為一個特例而包括在其中，但范圍經濟沒有隱含著任何一種具體形式的規(guī)模報酬。

5某廠商使用要素投入為x₁和x₂，其產量函數(shù)為Q＝10x₁x₂－2x₁²－8x₂²，求x₁和x₂的平均產量函數(shù)和邊際產量函數(shù)。

解：要素投入x₁的平均產量函數(shù)為：

AP₁＝Q/x₁＝10x₂－2x₁－（8x₂²/x₁）

要素投入x₁的邊際產量函數(shù)為：

MP₁＝?Q/?x₁＝10x₂－4x₁

要素投入x₂的平均產量函數(shù)為：

AP₂＝Q/x₂＝10x₁－2x₁²/x₂－8x₂

要素投入x₂的邊際產量函數(shù)為：

MP₂＝?Q/?x₂＝10x₁－16x₂

6已知某廠商的生產函數(shù)為Q＝L^3/8K^5/8，又設P_L＝3美元，P_K＝5美元，試求：

（1）產量Q＝10時的最低成本和使用的L與K的數(shù)值；

（2）總成本為160美元時廠商均衡的Q、L與K之值。

解：（1）對于生產函數(shù)Q＝L^3/8K^5/8，可得：

MP_L＝（3/8）×L^5/8K^－5/8

MP_K＝（5/8）×L^3/8K^－3/8

將MP_L和MP_K代入廠商均衡條件MP_L/MP_K＝P_L/P_K，得：

3K^5/8L^－5/8/（5L^3/8K^－3/8）＝3/5?K＝L

將L＝K代入當產量Q＝10時的生產函數(shù)L^3/8K^5/8＝10，得：

L＝K＝10

則TC＝3L＋5K＝30＋50＝80。

所以，當產量Q＝10時的最低成本支出為80美元，使用的L與K的數(shù)量均為10。

（2）同理，由（1）可知，當廠商均衡時，L＝K。將L＝K代入總成本為160美元時的成本函數(shù)3L＋5K＝160，得：

K＝L＝20

則Q＝L^3/8K^5/8＝20。

所以，當成本為160美元時廠商的均衡產量為20，使用的L與K的數(shù)量均為20。

7設生產函數(shù)為q＝Ax₁^αx₂^β，r₁、r₂為x₁和x₂的價格，試求該產品的擴展線。

解：對于生產函數(shù)q＝Ax₁^αx₂^β，要素投入的邊際產量分別為：

MP₁＝αAx₁^α－1x₂^β

MP₂＝βAx₁^αx₂^β－1

由MP₁/MP₂＝r₁/r₂可得：

αAx₁^α－1x₂^β/（βAx₁^αx₂^β－1）＝αx₂/（βx₁）＝r₁/r₂

即：x₂＝βr₁x₁/（αr₂）為該產品的擴展線。

8已知生產函數(shù)Q＝L^2/3K^1/3。證明：

（1）該生產規(guī)模報酬不變；

（2）受報酬遞減規(guī)律支配。

證明：（1）由Q＝f（L，K）＝L^2/3K^1/3，可得：

f（λL，λK）＝（λL）^2/3（λK）^1/3＝λL^2/3K^1/3＝λQ

所以，該生產過程規(guī)模報酬不變。

（2）假定資本K的投入量不變（用K表示），而L為可變投入量。

對于生產函數(shù)Q＝L^2/3K^1/3有：

MP_L＝（2/3）×K^1/3L^－1/3

又dMP_L/dL＝－（2/9）×K^1/3L^－4/3＜0，這表明，當資本使用量既定時，隨著使用的勞動量L的增加，勞動的邊際產量是遞減的。

同樣，MP_K＝（1/3）×L^2/3K^－2/3，dMP_K/dK＝－（2/9）×L^2/3K^－5/3＜0。

這表明，當勞動使用量既定時，隨著使用的資本量K的增加，資本的邊際產量是遞減的。

上述分析表明該生產過程受報酬遞減規(guī)律的支配。

9設生產函數(shù)為Q＝2L^0.6K^0.2，試問：

（1）該生產函數(shù)是否為齊次函數(shù)？次數(shù)多少？

（2）該生產規(guī)模報酬情況？

（3）假如L與K均按其邊際產量取得報酬，當L與K取得報酬后有多少價值剩余？

解：（1）由Q＝f（L，K）＝2L^0.6K^0.2，可得：

f（λL，λK）＝2（λL）^0.6（λK）^0.2＝2λ^0.6L^0.6λ^0.2K^0.2＝2λ^0.8L^0.6K^0.2＝λ^0.8Q

所以該生產函數(shù)為齊次函數(shù)，其次數(shù)為0.8。

（2）根據(jù)（1）題可知：f（λL，λK）＝λ^0.8Q，則該生產函數(shù)為規(guī)模報酬遞減的生產函數(shù)。

（3）對于生產函數(shù)Q＝2L^0.6K^0.2，可得：

MP_L＝2K^0.2×0.6L^－0.4＝1.2L^－0.4K^0.2

MP_K＝2L^0.6×0.2K^－0.8＝0.4L^0.6K^－0.8

這里的剩余產值是指總產量減去勞動和資本分別按邊際產量取得報酬以后的余額，故剩余產值為：

ΔQ＝Q－L×MP_L－K×MP_K＝2L^0.6K^0.2－L×1.2L^－0.4K^0.2－K×0.4L^0.6K^－0.8＝0.4L^0.6K^0.2＝0.2Q