3.3　考研真題詳解

一、名詞解釋

1消費(fèi)者均衡[華東政法大學(xué)2007研]

答：消費(fèi)者均衡是指消費(fèi)者的效用達(dá)到最大并維持不變的一種狀態(tài)，其研究單個(gè)消費(fèi)者如何把有限的貨幣收入分配在各種商品的購買中以獲得最大的效用。也可以說，它是研究單個(gè)消費(fèi)者在既定收入下實(shí)現(xiàn)效用最大化的均衡條件。這里的均衡指消費(fèi)者實(shí)現(xiàn)最大效用時(shí)既不想再增加、也不想再減少任何商品購買數(shù)量的這么一種相對(duì)靜止的狀態(tài)。

基數(shù)效用論者認(rèn)為，消費(fèi)者實(shí)現(xiàn)效用最大化的均衡條件是：如果消費(fèi)者的貨幣收入水平是固定不變的，市場上各種商品的價(jià)格是已知的，那么，消費(fèi)者應(yīng)該使自己所購買的各種商品的邊際效用與價(jià)格之比相等。或者說，消費(fèi)者應(yīng)使自己花費(fèi)在各種商品購買上的最后一元錢所帶來的邊際效用相等，即MU₁/P₁＝MU₂/P₂＝…＝λ，其中λ為貨幣的邊際效用。

序數(shù)效用論者把無差異曲線和預(yù)算線結(jié)合在一起說明消費(fèi)者的均衡。任何一個(gè)理性的消費(fèi)者在用一定的收入購買商品時(shí)，其目的是為了從中獲得盡可能大的消費(fèi)滿足。消費(fèi)者偏好決定了消費(fèi)者的無差異曲線，一個(gè)消費(fèi)者的關(guān)于任何兩種商品的無差異曲線組可以覆蓋整個(gè)坐標(biāo)平面；消費(fèi)者的收入和商品的價(jià)格決定了消費(fèi)者的預(yù)算線，在收入既定和商品價(jià)格已知的條件下，一個(gè)消費(fèi)者關(guān)于兩種商品的預(yù)算線只能有一條。那么，當(dāng)一個(gè)消費(fèi)者面臨一條既定的預(yù)算線和無數(shù)條無差異曲線時(shí)，只有既定的預(yù)算線和其中一條無差異曲線的相切點(diǎn)，才是消費(fèi)者獲得最大效用水平或滿足程度的均衡點(diǎn)，此時(shí)滿足MRS₁₂＝P₁/P₂。

2補(bǔ)償預(yù)算線[華東政法大學(xué)2007研]

答：補(bǔ)償預(yù)算線是用來表示當(dāng)商品的價(jià)格發(fā)生變化引起消費(fèi)者的實(shí)際收入水平發(fā)生變化時(shí)，用假設(shè)的貨幣收入的增減來維持消費(fèi)者的實(shí)際收入水平不變的一種分析工具。

具體來說，在商品價(jià)格下降引起消費(fèi)者的實(shí)際收入水平提高時(shí)，可以取走消費(fèi)者的一部分貨幣收入，以使消費(fèi)者的實(shí)際收入下降到只能維持原有的無差異曲線的效用水平（即原有的實(shí)際收入水平）這一情況。相反，在商品價(jià)格上升引起消費(fèi)者實(shí)際收入水平下降時(shí)，可以對(duì)消費(fèi)者的損失給予一定的貨幣收入補(bǔ)償，以使消費(fèi)者的實(shí)際收入維持原有的水平，則補(bǔ)償預(yù)算線在此就可以用來表示消費(fèi)者的貨幣收入提高到得以維持原有的無差異曲線的效用水平（即原有的實(shí)際收入水平）這一情況。

3消費(fèi)者剩余[上海理工大學(xué)2005研；南京航空航天大學(xué)2006研]

答：消費(fèi)者剩余是指消費(fèi)者在購買一定數(shù)量的某種商品時(shí)愿意支付的最高總價(jià)格和實(shí)際支付的總價(jià)格之間的差額。由于消費(fèi)者消費(fèi)不同數(shù)量的同種商品所獲得的邊際效用是不同的，所以，他們對(duì)不同數(shù)量的同種商品所愿意支付的價(jià)格也是不同的。但是，消費(fèi)者在市場上所面臨的同種商品的價(jià)格往往卻是相同的，這樣，消費(fèi)者為一定數(shù)量的某種商品所愿意支付的價(jià)格和他實(shí)際支付的價(jià)格之間就會(huì)有一定的差額，這一差額就構(gòu)成消費(fèi)者剩余。消費(fèi)者剩余可以用圖3-11來表示。

圖3-11　消費(fèi)者剩余

如圖3-11所示，反需求函數(shù)P^d＝f（Q）表示消費(fèi)者對(duì)每一單位商品所愿意支付的最高價(jià)格。消費(fèi)者剩余可以用消費(fèi)者需求曲線以下、市場價(jià)格線以上的面積來表示，即圖3-11中的陰影部分面積所示。

二、簡答題

1當(dāng)收入和價(jià)格發(fā)生變化時(shí)，無差異曲線是否會(huì)發(fā)生改變和移動(dòng)？請(qǐng)說明理由。[浙江大學(xué)2005研]

答：當(dāng)收入和價(jià)格發(fā)生變化時(shí)，無差異曲線不會(huì)發(fā)生改變和移動(dòng)。理由如下：

無差異曲線的一個(gè)重要性質(zhì)是任意兩條無差異曲線不能相交。該性質(zhì)的核心意義是任意無差異曲線表示特定效用量。無差異曲線的形狀和位置是由消費(fèi)者的偏好決定的，只要消費(fèi)者的偏好不發(fā)生變化，其無差異曲線就不會(huì)變動(dòng)。

當(dāng)收入和價(jià)格發(fā)生變動(dòng)的時(shí)候，消費(fèi)者的預(yù)算線將發(fā)生改變和移動(dòng)，與無差異曲線的切點(diǎn)改變，從而使最終選擇發(fā)生變化，但這不會(huì)引起無差異曲線變動(dòng)。

2證明：若消費(fèi)者的全部收入只購買兩種商品，那么這兩種商品不可能都是劣等品。[對(duì)外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)2007研]

證明：劣等品是指隨著消費(fèi)者收入的增加，其需求量減少的商品。如果假設(shè)x_i（p，m）是第i種商品的馬歇爾需求函數(shù)，那么商品i是劣等品就意味著?x_i（p，m）/?m＜0。對(duì)于消費(fèi)兩種商品的消費(fèi)者，如下的預(yù)算約束恒成立：

p₁x₁（p₁，p₂，m）＋p₂x₂（p₁，p₂，m）＝m①

①式兩邊關(guān)于收入m求導(dǎo)，得到：

p₁[?x₁（p₁，p₂，m）/?m]＋p₂[?x₂（p₁，p₂，m）/?m]＝1

對(duì)于消費(fèi)兩種商品的消費(fèi)者，等式②恒成立。

假設(shè)商品1和2都是劣等品，那么就有?x_i（p，m）/?m＜0，i＝1或2，從而②式左邊恒小于零，等式②不成立，這與消費(fèi)者只消費(fèi)兩種商品矛盾。所以如果一個(gè)消費(fèi)者只消費(fèi)兩種商品，那么它們不可能都是劣等品。

三、計(jì)算題

1某消費(fèi)者的偏好由以下效用函數(shù)描述：U（x₁，x₂）＝（lnx₁＋2lnx₂）/3，其中l(wèi)nx是x的自然對(duì)數(shù)。商品1和商品2的價(jià)格分別為P₁和P₂，消費(fèi)者的收入為m。

（1）寫出消費(fèi)者的最大化問題。

（2）求出需求函數(shù)x₁（P₁，P₂，m）和x₂（P₁，P₂，m）。

（3）設(shè)價(jià)格P₁＝P₂＝1，畫出每種商品與此價(jià)格相應(yīng)的恩格爾曲線，該曲線描述了商品需求和收入之間的關(guān)系（經(jīng)濟(jì)學(xué)家的習(xí)慣是把收入作為縱坐標(biāo)）。

（4）設(shè)m＝10，P₂＝5，畫出商品1的需求曲線，該曲線描述了商品需求和價(jià)格之間的關(guān)系（經(jīng)濟(jì)學(xué)家的習(xí)慣是把價(jià)格作為縱坐標(biāo)）。

（5）判斷商品1和商品2是正常品還是劣等品，是普通品還是吉芬品，是互補(bǔ)品還是替代品。[復(fù)旦大學(xué)2004研]

解：（1）消費(fèi)者的最大化問題即在收入約束下，消費(fèi)者效用最大化。用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示為：

（2）消費(fèi)者的預(yù)算線方程：P₁x₁＋P₂x₂＝m。

由消費(fèi)者的效用函數(shù)，可得出商品x₁和x₂的邊際效用，即MU₁＝1/（3x₁），MU₂＝2/（3x₂）。

根據(jù)消費(fèi)者效用最大化的一階條件MU₁/MU₂＝P₁/P₂，可得：2P₁x₁＝P₂x₂。

將上式代入預(yù)算線方程，可得：x₁＝m/（3P₁），x₂＝2m/（3P₂）。

（3）當(dāng)價(jià)格P₁＝P₂＝1時(shí)，x₁＝m/3，x₂＝2m/3。與價(jià)格相對(duì)應(yīng)的兩種商品的恩格爾曲線如圖3-12所示。

圖3-12　P₁＝P₂＝1時(shí)兩種商品的恩格爾曲線

（4）當(dāng)m＝10，P₂＝5，商品1的需求函數(shù)為：x₁＝10/（3P₁）。商品1的需求曲線如圖3-13所示。

圖3-13　商品1的需求曲線

（5）由商品1、商品2的需求函數(shù)以及商品的收入彈性可以看出，商品1和商品2都是正常品。根據(jù)需求交叉彈性可以得出，e_x1x2＝0，因此商品1和商品2是無關(guān)品，不存在相關(guān)關(guān)系。

2假設(shè)存在一個(gè)社會(huì)，這個(gè)社會(huì)由三個(gè)消費(fèi)者組成，他們分別是1，2，3。同時(shí)，該社會(huì)存在著兩種商品，分別是x和y。經(jīng)濟(jì)學(xué)家Debreu對(duì)這三個(gè)消費(fèi)者的消費(fèi)行為進(jìn)行分析，他認(rèn)為1，2，3的偏好可以分別用如下的效用函數(shù)來表示：

①u₁（x，y）＝xy；

②u₂（x，y）＝x^αy^β，其中α＞0，β＞0；

③u₃（x，y）＝γlnx＋（1－γ）lny，其中γ∈（0，1）。

（1）請(qǐng)畫出消費(fèi)者1的無差異曲線以及偏好的上等值集；

（2）假如商品x和商品y的價(jià)格分別是2單位貨幣和3單位貨幣，同時(shí)消費(fèi)者1擁有120單位貨幣，試計(jì)算他對(duì)x和y的最優(yōu)消費(fèi)量；

（3）證明：消費(fèi)者2和消費(fèi)者3的偏好是一致的；

（4）現(xiàn)在假設(shè)商品x和商品y的價(jià)格分別是P₁和P₂，消費(fèi)者2擁有I單位貨幣，請(qǐng)計(jì)算他的消費(fèi)選擇；

（5）用公式和圖像給出消費(fèi)者3對(duì)于x商品的收入-消費(fèi)路徑。[復(fù)旦大學(xué)2007研]

解：（1）根據(jù)序數(shù)效用理論，無差異曲線是維持效用不變的商品組合的軌跡，偏好的上等值集就是無差異曲線右上方部分。根據(jù)消費(fèi)者1的效用函數(shù)，其無差異曲線及上等值集如圖3-14所示。

圖3-14　消費(fèi)者1的無差異曲線及上等值集

（2）消費(fèi)者1的預(yù)算線方程：2x＋3y＝120。

由消費(fèi)者1的效用函數(shù)，可得出商品x和y的邊際效用，即MU_x＝y(tǒng)，MU_y＝x。

根據(jù)消費(fèi)者效用最大化的一階條件MU_x/MU_y＝P_x/P_y，可得：y/x＝2/3。

將上式代入預(yù)算線方程，可得：x＝30，y＝20。

即消費(fèi)者1對(duì)x和y的最優(yōu)消費(fèi)量為（30，20）。

（3）根據(jù)效用函數(shù)的性質(zhì)：效用函數(shù)的線性變換依然是同一偏好的效用函數(shù)。對(duì)消費(fèi)者2的效用函數(shù)進(jìn)行取自然對(duì)數(shù)的線性變換，可得：lnu₂＝αlnx＋βlny。

令α＝γ，β＝1－γ，因此lnu₂＝αlnx＋βln_y＝u₃。

因此，消費(fèi)者2和消費(fèi)者3的效用函數(shù)是同一偏好的效用函數(shù)，即消費(fèi)者2和消費(fèi)者3的偏好是一致的。

（4）消費(fèi)者2的預(yù)算線方程：P_xx＋P_yy＝I。

由消費(fèi)者2的效用函數(shù)，可得商品x和y的邊際效用，即：

MU_x＝αx^α－1y^β

MU_y＝βx^αy^β－1

根據(jù)消費(fèi)者效用最大化的一階條件MU_x/MU_y＝P_x/P_y，可得：（α/β）×（y/x）＝P₁/P₂。

將上式代入預(yù)算線方程，可得：x＝αI/[（α＋β）P₁]，y＝βI/[（α＋β）P₂]。

即消費(fèi)者2對(duì)x的最優(yōu)消費(fèi)量為αI/[（α＋β）P₁]，對(duì)y的最優(yōu)消費(fèi)量為βI/[（α＋β）P₂]。

（5）消費(fèi)者3的偏好和消費(fèi)者2的偏好是一致的，因此消費(fèi)者3的最優(yōu)化問題和消費(fèi)者2是相同的。

消費(fèi)者3的恩格爾曲線方程為：x＝γI/P₁，其中x的價(jià)格P₁為常數(shù)。恩格爾曲線方程就是x商品的收入-消費(fèi)途徑，如圖3-15所示。

圖3-15　消費(fèi)者3對(duì)于商品x的收入-消費(fèi)途徑

四、論述題

某消費(fèi)者消費(fèi)商品X和Y，其消費(fèi)行為達(dá)到均衡（即MU_X/P_X＝MU_Y/P_Y），現(xiàn)假設(shè)P_X下降，P_Y保持不變。請(qǐng)論證說明：

（1）該消費(fèi)者對(duì)商品X的需求價(jià)格彈性小于1，它對(duì)Y的需求量產(chǎn)生如何影響？為什么？

（2）該消費(fèi)者對(duì)商品X的需求價(jià)格彈性大于1，它對(duì)Y的需求量產(chǎn)生如何影響？為什么？

（3）該消費(fèi)者對(duì)商品X的需求價(jià)格彈性等于1，它對(duì)Y的需求量產(chǎn)生如何影響？為什么？[上海理工大學(xué)2005研]

答：（1）原來該消費(fèi)者的消費(fèi)處于均衡狀態(tài)，設(shè)預(yù)算方程為P_X·X＋P_Y·Y＝M。現(xiàn)在商品X的價(jià)格下降為P_X1，由于需求價(jià)格彈性小于1，雖然商品X的購買力會(huì)增加到X₁，但消費(fèi)者用于商品X的支出是減少的。這樣，在收入M和價(jià)格P_Y不變的情況下，Y商品的購買量就會(huì)增加。

（2）原來該消費(fèi)者的消費(fèi)處于均衡狀態(tài)，設(shè)預(yù)算方程為P_X·X＋P_Y·Y＝M。現(xiàn)在商品X的價(jià)格下降為P_X1，由于需求價(jià)格彈性大于1，商品X的購買力會(huì)增加到X₁，且消費(fèi)者用于商品X的支出是增加的。這樣，在收入M和價(jià)格P_Y不變的情況下，Y商品的購買量就會(huì)減少。

（3）原來該消費(fèi)者的消費(fèi)處于均衡狀態(tài)，設(shè)預(yù)算方程為P_X·X＋P_Y·Y＝M。現(xiàn)在商品X的價(jià)格下降為P_X1，由于需求價(jià)格彈性等于1，所以消費(fèi)者用于商品X的支出是不變的。這樣，在收入M和價(jià)格P_Y不變的情況下，Y商品的購買量也不會(huì)變化。