第三章　生產理論

一、選擇題

1．如果規模報酬不變，單位時間里增加了20%的勞動使用量；但保持資本量不變，則產出將（　　）。[對外經濟貿易大學2015研]

A．增加20%

B．減少20%

C．增加大于20%

D．增加小于20%

【答案】D

【解析】規模報酬是指在其他條件不變的情況下，企業內部各種生產要素按相同比例變化時所帶來的產量變化。企業的規模報酬變化可以分為規模報酬遞增、規模報酬不變和規模報酬遞減三種情況。規模報酬不變是指勞動和資本同時增加或減少N倍，產出也增加或減少N倍。因此，當僅僅增加20%的勞動供給，而不增加相應的資本供給，生產是無法增加20%的。

2．在完全競爭廠商的短期均衡產量上，AR小于SAC但大于AVC，則廠商（　　）。[浙江工商大學2012研]

A．虧損，立即停產

B．虧損，但應繼續生產

C．虧損，生產或不生產都可以

D．獲得正常利潤，繼續生產

【答案】B

【解析】由完全競爭廠商的短期均衡可知，當廠商的平均收益AR小于平均成本SAC但大于平均可變成本AVC時，廠商雖然虧損，但仍繼續生產，因為只有這樣，廠商才能在用全部收益彌補全部可變成本以后還有剩余，以彌補在短期內總是存在的不變成本的一部分。所以，在這種虧損情況下，生產要比不生產強。

3．在其他條件不變時，為生產一定產量所需投入的兩種生產要素之間的各種可能組合的軌跡，被稱為（　　）。[浙江工商大學2011研]

A．生產擴展線

B．等成本曲線

C．等產量曲線

D．短期生產函數曲線

【答案】C

【解析】等產量曲線是在技術水平不變的條件下生產一種商品在一定產量下的兩種生產要素投入量的各種不同組合的軌跡，在這條曲線上的各點代表投入要素的各種組合比例，其中的每一種組合比例所能生產的產量都是相等的。

二、判斷題

1．邊際產出大于零，則總產量將隨著投入的增加而上升，平均產量則不一定上升。（　　）[華南理工大學2011研]

【答案】對

【解析】邊際產出大于零，意味著增加投入可以增加總產量，而平均產量則不一定增加。在生產的初始階段，平均產量會隨著投入的增加而增加；但當平均產量超過邊際產量之后，平均產量會下降。

2．生產函數Q＝f（K，L）＝K1/4L1/4，則該生產過程呈規模報酬遞增。（　　）[華南理工大學2011研]

【答案】錯

【解析】柯布—道格拉斯生產函數為：Q＝ALαKβ，其中Q為產量，K和L分別為資本和勞動投入量，A為衡量技術水平的參數，α勞動力產出的彈性系數，β為資本產出的彈性系數。若α＋β＜1，表示該生產過程呈規模報酬遞減。題中（1/4）＋（1/4）＝0.5＜1，因此該生產過程呈規模報酬遞減。

三、概念題

1．規模報酬不變[武漢大學2014研]

答：規模報酬不變是指在技術水平和要素價格不變的條件下，當所有要素都按同一比例變動時，產量（或收益）增加同樣的比例。如廠商的要素投入增加100%，產量的增加量也是100%。規模報酬不變原理是新古典經濟學理論的核心內容，本質上意味著生產函數具有線性性質。由于其良好的數學性質，大部分生產函數都具有規模報酬不變的性質，如常見的Cobb-Douglas和CES生產函數等。

2．生產擴展線[中央財經大學2015研]

答：生產擴展線是指等成本線與等產量線的切點所形成的曲線，表明在生產要素價格和技術水平不變的條件下，當廠商調整產量或成本時，應沿著生產擴展線選擇要素投入組合，因為生產擴展線上的每一點都會使廠商得到一定產量下的最小成本或一定成本下的最大產量。假定勞動和資本的價格不變，長期擴展線的情況如圖2-3-1所示。

圖2-3-1　生產擴展線圖示

圖2-3-1中有三條等產量曲線。當產量在I₁水平時，生產者均衡點為E₁，這是等成本線K₁L₁和I₁的切點，該點勞動對資本的邊際替代率等于成本線的斜率。當產量在I₂水平時，生產者均衡點為E₂，這是等成本線K₂L₂和I₂的切點。該點的勞動對資本的邊際替代率等于等成本線K₂L₂的斜率，和E₁點時相同，根據上述同樣的道理，當產量不斷擴大，依次類推，可以找出無數這樣的均衡點。把所有的點連接起來形成的曲線，就是長期的生產擴展線，即圖中的OE曲線。

3．柯布—道格拉斯生產函數[中央財經大學2016研；首都經濟貿易大學2014研]

答：如果生產函數的形式為f（x₁，x₂）＝Ax₁ax₂b，我們就稱這種生產函數為柯布—道格拉斯生產函數。其規模報酬的情況取決于a＋b的大小：當a＋b＞1時，規模報酬遞增；當a＋b＝1時，規模報酬不變；當a＋b＜1時，規模報酬遞減。

4．等產量曲線[中央財經大學2013研；浙江財經學院2012研；河北大學2012研]

答：（1）等產量線的定義

等產量曲線是在技術水平不變的條件下生產同一產量的兩種生產要素投入量的所有不同組合的軌跡。等產量曲線如圖2-3-2所示。

圖2-3-2　等產量曲線

圖2-3-2中，該產量既可以使用A點的要素組合（OL_a單位的勞動和OK_a單位的資本）生產出來，也可以使用B點的要素組合（OL_b單位的勞動和OK_b單位的資本）生產出來。

（2）等產量曲線的特征

①在同一坐標平面上的任何兩條等產量曲線之間，可以有無數條等產量曲線。它們按產量大小順次排列，越接近原點的等產量曲線所代表的產量越少，越遠離原點的等產量曲線所代表的產量越多。

②在同一坐標平面圖上的任何兩條等產量曲線不會相交。

③等產量曲線是凸向原點的，即等產量曲線的斜率的絕對值是遞減的。它表示隨著一種生產要素每增加一個單位，可以替代的另一種生產要素的數量將逐次減少。這一特征是由邊際技術替代率遞減規律所決定的。

（3）等產量曲線的經濟含義

等產量曲線作為分析工具，與另一分析工具等成本線結合起來，研究生產者是如何選擇最優的生產要素組合，從而實現既定成本條件下的最大產量，或者實現既定產量條件下的最小成本。

5．邊際技術替代率[山東大學2016研；浙江財經大學2016、2014研；中央財經大學2011研；河北大學2011研]

答：在維持產量水平不變的條件下，增加一單位某種生產要素投入量時所減少的另一種要素的投入數量，被稱為邊際技術替代率，其英文縮寫為MRTS。用ΔK和ΔL分別表示資本投入量的變化量和勞動投入量的變化量，則勞動對資本的邊際技術替代率的公式為：MRTS_LK＝ΔK/ΔL或MRTS_LK＝dK/dL。

如圖2-3-3所示，當要素組合沿著等產量曲線由A點按順序移動到C、D和E點的過程中，勞動投入等量的由L₁增加到L₂、L₃和L₄。即：L₂－L₁＝L₃－L₂＝L₄－L₃，相應的資本投入的減少量為K₁K₂＞K₂K₃＞K₃K₄，這恰好說明了邊際技術替代率是遞減的。

圖2-3-3　邊際技術替代率遞減

邊際技術替代率之所以會出現遞減趨勢，是由于邊際產量遞減規律發揮作用的結果。首先由于等產量線凸向原點且斜率是遞減的，這就意味著，在產量保持不變的條件下，隨著一種要素的增加，另一種要素會減少。其次，由于邊際產量是遞減的，當某種要素增加一單位時，所引起的產量增加量是逐漸減少的。在維持產量不變的條件下，該要素所替代的其他要素數量就會減少。

6．邊際報酬遞減規律[中央財經大學2015、2012研；浙江財經學院2011研]

答：短期生產過程中，在技術水平不變的條件下，連續等量地把某一種可變生產要素增加到其他一種或幾種數量不變的生產要素中去，當這種可變生產要素的投入量小于某一特定值時，增加該要素投入所帶來的邊際產量是遞增的；當這種可變要素的投入量連續增加并超過這個特定值時，增加該要素投入所帶來的邊際產量是遞減的。這就是邊際報酬遞減規律。

從理論上講，邊際報酬遞減規律成立的原因在于：對于任何產品的短期生產來說，可變要素投入和固定要素投入之間都存在著一個最佳的數量組合比例。一旦生產要素的投入量達到最佳的組合比例時，可變要素的邊際產量達到最大值。在這一點之后，隨著可變要素投入量的繼續增加，生產要素的投入量越來越偏離最佳的組合比例，相應的可變要素的邊際產量便呈現出遞減的趨勢了。

邊際報酬遞減規律強調的是：在任何一種產品的短期生產中，隨著一種可變要素投入量的增加，邊際產量最終必然會呈現出遞減的特征。

7．引致需求[廣東商學院2011研]

答：在生產要素市場上，需求不是來自消費者，而是來自廠商。廠商購買生產要素不是為了自己的直接需要，而是為了生產和銷售產品以獲得收益。從這個意義上來說，對生產要素的需求不是直接需求，而是“間接”需求。更進一步來看，廠商通過購買生產要素進行生產并從中獲得收益，部分取決于消費者對其所生產產品的需求。從這個意義上說，西方學者認為，生產要素的需求又是所謂的“派生”需求或“引致”需求。

相對而言，消費者對產品的需求稱之為直接需求。企業對生產要素的需求不同于消費者對于商品的需求，在生產要素市場上，需求來自企業，而企業購買生產要素是為了生產，從中獲得利潤。企業購買生產要素并不是一次經濟行為的終結。一個企業能否獲得利潤并不取決于其自身，而是取決于消費者對其所生產的產品的需求，要看消費者是否愿意為其產品支付足夠的價格。如果不存在消費者對產品的需求，則廠商就無法從生產和銷售中獲得收益，從而也不會去購買生產資料和生產產品。或者說，消費者對產品的直接需求，引致和派生了廠商對生產要素的需求。某一種生產要素的需求曲線的形態，是從使用這種生產要素的最終產品的需求曲線派生出來的。

當然，在要素市場上，生產要素的價格仍然取決于企業對于生產要素的需求、要素所有者對生產要素的供給以及二者的相互作用。例如，在勞動市場上，勞動者必須決定是否工作和工作多少，而每個企業則必須決定使用多少勞動。但是，不同于產品市場，企業對生產要素的需求源于要素的生產能力，源于要素生產出的產品的價值。

8．里昂惕夫生產函數[廈門大學2006研]

答：里昂惕夫生產函數又稱固定投入比例的生產函數，表示在每一個產量水平上任何一對要素投入量之間的比例都是固定的。假定生產過程中只使用勞動和資本兩種要素，則固定投入比例生產函數的通常形式為：Q＝min{L/u，K/v}，式中，Q為產量；L和K分別為勞動和資本的投入量；常數u、v＞0，分別為固定的勞動和資本的生產技術系數，它們分別表示生產一單位產品所需要的固定的勞動投入量和固定的資本投入量。里昂惕夫生產函數表示：產量Q取決于L/u和K/v這兩個比值中較小的那一個，即使其中的一個比例數值較大，那也不會提高產量Q。里昂惕夫生產函數可用圖2-3-4予以描述。

圖2-3-4中，從原點出發經過a、b和c點的射線OR表示了這一固定投入比例生產函數的所有產量水平下最小要素投入量的組合。

圖2-3-4　里昂惕夫生產函數

9．等成本線[山東大學2002研]

答：等成本線是在既定的成本和既定生產要素價格條件下生產者可以購買到的兩種生產要素的各種不同數量組合的軌跡。假定要素市場上既定的勞動的價格即工資率為w，既定的資本的價格即利息率為r，廠商既定的成本支出為C，則成本方程為：C＝wL＋rK

成本方程相對應的等成本線如圖2-3-5所示。

圖2-3-5　等成本線

圖2-3-5中，橫軸上的點C/w表示既定的全部成本都購買勞動時的數量，縱軸上的點C/r表示既定的全部成本都購買資本時的數量，連接這兩點的線段就是等成本線。它表示既定的全部成本所能購買到勞動和資本的各種組合。

等成本線以內區域中的任何一點，表示既定的全部成本都用來購買該點的勞動和資本的組合以后還有剩余；等成本線以外的區域中的任何一點，表示用既定的全部成本購買該點的勞動和資本的組合是不夠的；惟有等成本線上的任何一點，才表示用既定的全部成本能剛好購買到的勞動和資本的組合。

10．擴展線[江西財經大學2005、2007研；中南大學2003研]

答：在生產要素的價格、生產技術和其他條件不變時，如果企業改變成本，等成本線就會發生平移；如果企業改變產量，等產量曲線就會發生平移。這些不同的等產量曲線將與不同的等成本線相切，形成一系列不同的生產均衡點。這些生產均衡點的軌跡就是擴展線。如圖2-3-6所示。

圖2-3-6中的曲線ON是一條擴展線。由于生產要素的價格保持不變，兩要素的價格比例是固定的，又由于生產均衡的條件為兩要素的邊際技術替代率等于兩要素的價格比例，所以，在擴展線上的所有的生產均衡點上邊際技術替代率都是相等的。

圖2-3-6　擴展線

擴展線表示：在生產要素價格、生產技術和其他條件不變的情況下，當生產的成本或產量發生變化時，廠商必然會沿著擴展線來選擇最優的生產要素組合，從而實現既定成本條件下的最大產量，或實現既定產量條件下的最小成本。擴展線是廠商在長期擴張或收縮生產時所必須遵循的路線。

四、簡答題

1．在既定成本下，理性廠商如何選擇最大產量下的最優要素組合？[對外經濟貿易大學2016研]

答：在既定成本下，理性廠商選擇的最大產量下的最優要素組合是等成本線與等產量曲線相切的要素組合。

在圖2-3-7中，有一條等成本線AB和三條等產量曲線Q₁、Q₂和Q₃。等成本線AB的位置和斜率決定于既定的成本量C和既定的兩要素的價格比例w/r。由圖中可見，唯一的等成本線AB與其中一條等產量曲線相切于E點，該點就是生產的均衡點。它表示：在既定成本條件下，廠商應該按照E點的生產要素組合進行生產，即勞動投入量和資本投入量分別為L₁和K₁，這樣，廠商就會獲得最大的產量。

圖2-3-7　產量最大化

如圖2-3-7所示，等產量曲線Q₃代表的產量雖然高于等產量曲線Q₂，但唯一的等成本線AB與等產量曲線Q₃既無交點又無切點，表明產量Q₃是企業在既定成本下無法實現的產量，因為廠商利用既定成本只能購買到位于等成本線AB上或等成本線AB以內區域的要素組合。等產量曲線Q₁雖然與等成本線AB相交于a、b兩點，但等產量曲線Q₁所代表的產量是比較低的。因為，此時廠商在不增加成本的情況下，只需由a點出發向右或由b點出發向左沿著既定的等成本線AB改變要素組合，就可以增加產量。所以，只有在唯一的等成本線AB和等產量曲線Q₂的相切點E，才是實現既定成本條件下的最大產量的要素組合。任何更高的產量在既定成本條件下都是無法實現的，任何更低的產量都是無效率的。

2．生產要素包括哪些？[廣東財經大學2015研]

答：生產要素是指進行社會生產經營活動時所需要的各種社會資源，它是維系國民經濟運行及市場主體生產經營過程中所必須具備的基本因素。

（1）在西方經濟學中，生產要素一般被劃分為勞動、土地、資本和企業家才能這四種類型。

①勞動是指人類在生產過程中體力和智力的總和。

②土地不僅僅指一般意義上的土地，還包括地上和地下的一切自然資源，如江河湖泊森林海洋礦藏等等。

③資本可以表示為實物形態和貨幣形態，實物形態又被稱為投資品或資本品，如廠房，機器，動力燃料，原材料等等；資本的貨幣形態通常稱之為貨幣資本。

④企業家才能通常指企業家組建和經營管理企業的才能。

（2）隨著科技的發展和知識產權制度的建立，技術、信息也被視作相對獨立的要素投入生產。

①技術是人類在實踐基礎上通過經驗總結、科學研究和實驗等方式創造和發明出來的可以直接地改進生產或改善生活的知識和技能。

②信息是人們對外界事物的某種了解和認識，用以消除不確定性，它是人類認識的一種成果。而經濟信息是人類對社會生產、交換、分配和消費等活動特征和規律性的認識，其中的部分內容具有特殊的使用價值，可作為商品成為市場交易的對象。

3．生產三階段的劃分以及最優生產階段的選擇。[對外經濟貿易大學2015研；河北大學2012研]

答：根據短期生產的總產量曲線、平均產量曲線和邊際產量曲線之間的關系，可將短期生產劃分為三個階段，如圖2-3-8所示。

圖2-3-8　一種可變生產要素的生產函數的產量曲線

在第Ⅰ階段，產量曲線的特征為：勞動的平均產量始終是上升的，且達到最大值C′點；勞動的邊際產量上升達最大值B′點，然后，開始下降，且勞動的邊際產量始終大于勞動的平均產量；勞動的總產量始終是增加的。這說明：在這一階段，不變要素資本的投入量相對過多，生產者增加可變要素勞動的投入量是有利的。或者說，生產者只要增加可變要素勞動的投入量，就可以較大幅度地增加總產量。因此，任何理性的生產者都不會在這一階段停止生產，而是連續增加可變要素勞動的投入量，以增加總產量，并將生產擴大到第Ⅱ階段。

在第Ⅱ階段，勞動的平均產量開始下降，勞動的邊際產量減小至0，即L₄點，總產量緩慢上升至最高點D，此時的勞動產量達到最大值。

在第Ⅲ階段，產量曲線的特征為：勞動的平均產量繼續下降，勞動的邊際產量降為負值，勞動的總產量也呈現下降趨勢。這說明：在這一階段，可變要素勞動的投入量相對過多，生產者減少可變要素勞動的投入量是有利的。因此，這時即使勞動要素是免費供給的，理性的生產者也不會增加勞動投入量，而是通過減少勞動投入量來增加總產量，以擺脫勞動的邊際產量為負值和總產量下降的局面，并退回到第Ⅱ階段。

由此可見，任何理性的生產者既不會將生產停留在第Ⅰ階段，也不會將生產擴張到第Ⅲ階段，所以，生產只能在第Ⅱ階段進行。在生產的第Ⅱ階段，生產者可以得到由第Ⅰ階段增加可變要素投入所帶來的全部好處，又可以避免將可變要素投入增加到第Ⅲ階段而帶來的不利影響。因此，第Ⅱ階段是生產者進行短期生產的決策區間。

4．假設一個企業生產某種商品需要兩種投入品，投入品X和投入品Y，生產函數為Q＝min{X，2Y），這里Q表示商品的產量，X和Y分別表示投入品X和投入品Y的使用量。請畫出企業的等產量曲線圖。[中央財經大學2015研]

答：令Q＝min{x,2y}＝Q₀。當x＞2y時，min{x,2y}＝2y＝Q₀；當2y＞x時，min{x,2y}＝x＝Q₀。即

如圖2-3-9所示，作一條射線y＝0.5x。對于給定的任意產量Q₀，在射線左上方，有y＞0.5x，故x＝Q₀；在射線右下方，有y＜0.5x，故y＝0.5Q₀。兩部分的連線即為產量為Q₀時的等產量線。改變產量Q₀即可得到一系列等產量線。

圖2-3-9　企業的等產量曲線圖

5．請問在兩種可變生產要素條件下廠商是如何實現生產要素的最優組合（生產者均衡）的？[首都經濟貿易大學2014研]

答：如同生產者在既定成本條件下會力求實現最大的產量，生產者在既定的產量條件下也會力求實現最小的成本。這可以用圖2-3-10來說明。圖中有一條等產量曲線Q和三條等成本線AB、A′B′和A″B″。惟一的等產量曲線Q代表既定的產量。三條等成本線具有相同的斜率（即表示兩要素的價格是既定的），但代表三個不同的成本量，其中，等成本線AB代表的成本大于等成本線A′B′代表的，等成本線A′B′代表的成本大于等成本線A″B″代表的。惟一的等產量曲線Q與其中一條等成本線A′B′相切于E點，這就是生產的均衡點或最優要素組合點。它表示：在既定的產量條件下，生產者應該選擇E點的要素組合（OK_L，OL₁），才能實現最小的成本。在最小成本點E，要素的邊際技術替代率之比等于要素的價格之比。即，廠商根據“邊際產出＝邊際成本”的原則來配置資源。

圖2-3-10　兩種可變生產要素在既定產量下的最優組合

6．什么是規模收益遞減，為什么會出現規模收益遞減？[首都經濟貿易大學2014研]

答：（1）規模收益遞減

在生產理論中，通常是以全部的生產要素都以相同的比例發生變化來定義企業的生產規模的變化，因此企業的規模收益遞減分析屬于長期生產理論問題。相應地，規模收益遞減是指在其他條件不變的情況下，企業內部各種生產要素按相同比例增加時所帶來的產量增加的比例小于各種生產要素增加的比例，可以用等產量曲線圖來表示，如圖2-3-11所示。

圖2-3-11　規模收益遞減

圖2-3-11表示規模收益遞減：例如由G點到H點，兩要素增加的比例為

Q由100提高到200，產量增加的比例是100%，產量增加的比例小于兩要素增加的比例，在規模收益遞減的情況下有OG＜GH＜HI。

可以用數學公式來定義規模收益遞減，令生產函數Q＝f（L，K）。如果f（λL，λK）＜λf（L，K），其中，常數λ＞0，則生產函數Q＝f（L，K）具有規模報酬遞減的性質。

（2）規模收益遞減的原因

產生規模收益遞減的主要原因是由于企業生產規模過大，使得生產的各個方面難以得到協調，從而降低了生產效率。它可以表現為企業內部合理分工的破壞，生產有效運行的障礙，獲取生產決策所需的各種信息的不易等等。

7．簡述邊際報酬遞減規律的內容。[廣東財經大學2014研；中央財經大學2014研；對外經濟貿易2012研]

答：邊際報酬遞減規律是指對一種可變生產要素的生產函數來說，邊際產量表現出先上升而后下降的特征。在技術水平不變的條件下，在連續等量地把某一種可變生產要素增加到其他一種或幾種數量不變的生產要素上去的過程中，當這種可變生產要素的投入量小于某一特定值時，增加該要素投入所帶來的邊際產量是遞增的；當這種可變要素的投入量連續增加并超過這個特定值時，增加該要素投入所帶來的邊際產量是遞減的。這就是邊際報酬遞減規律。邊際報酬遞減規律是短期生產的一條基本規律。

邊際報酬遞減規律成立的原因在于：對于任何產品的短期生產來說，可變要素投入和固定要素投入之間都存在著一個最佳的數量組合比例。在開始時，由于不變要素投入量給定，而可變要素投入量為零，因此，生產要素的投入量遠遠沒有達到最佳的組合比例。隨著可變要素投入量的逐漸增加，生產要素的投入量逐步接近最佳的組合比例，相應的可變要素的邊際產量呈現出遞增的趨勢。一旦生產要素的投入量達到最佳的組合比例時，可變要素的邊際產量達到最大值。在這一點之后，隨著可變要素投入量的繼續增加，生產要素的投入量越來越偏離最佳的組合比例，相應的可變要素的邊際產量便呈現出遞減的趨勢。

邊際報酬遞減規律強調的是：在任何一種產品的短期生產中，隨著一種可變要素投入量的增加，邊際產量最終必然會呈現出遞減的特征。或者說，該規律提醒人們要看到在邊際產量遞增階段后必然會出現的邊際產量遞減階段。

8．已知生產函數Q＝AL1/3K2/3，其中Q表示產量，A是技術參數，L是投入的勞動量，K表示投入的資本。

（1）在長期生產中，該生產函數的規模報酬是遞增、遞減還是不變？為什么？

（2）在短期生產中，該函數是否受勞動邊際報酬遞減規律支配？為什么？[浙江財經學院2011研]

答：（1）在長期生產中，該生產函數的規模報酬是不變的。具體原因如下：

柯布－道格拉斯生產函數的一般形式為：Q＝ALαKβ

式中，Q代表產量，L和K分別代表勞動和資本，A、α和β為三個參數，且0＜α，β＜1。參數α和β的經濟含義是：α和β分別表示勞動和資本在生產過程中的相對重要性，α為勞動所得在總產量中所占的份額，β為資本所得在總產量中所占的份額。如果α＋β＝1，則生產為規模報酬不變；如果α＋β＜1，則生產為規模報酬遞減；如果α＋β＞1，則生產為規模報酬遞增。

本題中，α＋β＝1，即在長期生產中，該生產函數的規模報酬是不變的。

（2）在短期生產中，該生產函數受勞動邊際報酬遞減規律支配。原因如下：

在短期生產中，資本K是不變的。

已知生產函數Q，對L求一階導數，即：

然后，對L再次求導，得：

因此，該生產函數Q的勞動邊際報酬MP_L遞減，也即，短期生產中，該函數受勞動邊際遞減規律的支配。

五、計算題

1．假定廠商的生產函數為Q＝2L1/2K1/2，其中Q表示產量，K和L分別表示廠商的資本品存量和雇傭的勞動數量，請問：

（1）該企業的規模報酬遞增、遞減還是不變？

（2）如果資本品存量固定在9個單位上（即K＝9），勞動價格為每單位2元，資本品價格為每單位r元，那么該企業雇傭的最優勞動數量如何隨資本品價格而變化？[浙江財經大學2015研]

解：（1）設勞動力L和資本K擴大x倍，則產量變為2（xL）1/2（xK）1/2＝2xL1/2K1/2＝xQ，即產量同比例擴大了x倍，因此該企業是規模報酬不變的。

（2）由題知，成本線為C＝2L＋9r，產量線為Q＝6L1/2；

平均成本有：

最優的勞動數量應該滿足平均成本AC最小；

要滿足一階條件為零，即

解得L＝9/2r；因此企業雇傭的最優勞動力應按L＝9/2r的比例隨資本品價格發生變化。

2．已知某廠商的生產函數為Q＝L3/8K5/8，其中Q表示產量，L和K表示投入的兩種生產要素的數量；又設生產要素L和K的價格分別為P_L＝3元，P_K＝5元。

（1）求產量Q＝10時的最低成本支出和使用的L和K的數量。

（2）求在總成本不高于160元的條件下的最大產量及此時使用的L和K的數量。

（3）該生產函數規模報酬是遞增、遞減還是不變？[浙江財經大學2014研]

答：（1）廠商生產既定產量使其成本最小的要素投入組合要求滿足MP_L/P_L＝MP_K/P_K；對于生產函數Q＝L3/8K5/8，有

代入均衡條件，得

簡化得L＝K；代入產量Q＝L3/8K5/8＝10，求得L＝K＝10；

此時最低成本支出為TC＝3L＋5K＝80。

（2）廠商花費既定成本使其產量最大的要素投入組合同樣滿足MP_L/MP_K＝P_L/P_K；上小題已求得，L＝K；將其總成本為160元時的成本方程3L＋5K＝160，求得L＝K＝20；此時最大產量為Q＝L3/8K5/8＝20。

（3）設勞動力L和資本K擴大x倍；則產量變為（xL）3/8（xK）5/8＝xL3/8K5/8＝xQ，即產量同比例擴大了x倍；因此該企業是規模報酬不變的。

3．假設某企業生產函數為Q＝L3/4K1/4，勞動的價格ω＝3，γ＝1。求利潤最大化情況下最優的生產要素組合？若成本C＝4000時，企業實現最大產量時的L、K、Q的均衡值？[河北大學2013研]

答：（1）當邊際成本＝邊際收益時，企業實現利潤最大化。對于生產要素而言，要素的價格就是成本，要素的產出就是收益，因此當生產要素組合滿足條件MP_L/MP_K＝ω/γ時，利潤最大化。

即K＝L時，利潤最大化。

（2）由題可知，C＝ωL＋γK＝3L＋K＝4000，則K＝4000－3L。

由（1）可知，Q＝K＝L＝1000。因此，C＝4000時，企業實現最大產量時的L＝1000，K＝1000，Q＝1000。

4．A和B為兩個小鎮提供咖啡服務的廠商，邊際成本相同，均為常數，記為C，市場的需求曲線是P＝a－Q。

（1）如果兩個廠商在滿足古諾模型的假設下同時選擇產量，求兩個廠商的均衡產量和價格；

（2）如果兩個廠商相互勾結，其產量與價格又是什么？[北京航空航天大學2012研]

解：（1）令Q_A和Q_B分別為市場對A、B兩個寡頭廠商的產品需求量，即Q＝Q_A＋Q_B，那么市場的需求曲線為P＝a－Q＝a－（Q_A＋Q_B）。

對于A寡頭廠商來說，其利潤等式為：

π_A＝TR_A－TC_A＝P·Q_A－C·Q_A＝[a－（Q_A＋Q_B）]·Q_A－C·Q_A

A寡頭廠商利潤最大化的一階條件為：

?π_A/?Q_A＝－2Q_A＋（a－C－Q_B）＝0

解得：Q_A＝（a－C－Q_B）/2①

類似地，對于B寡頭廠商來說，有：π_B＝[a－（Q_A＋Q_B）]·Q_B－C·Q_B

B寡頭廠商利潤最大化的一階條件為：

?π_B/?Q_B＝－2Q_B＋（a－C－Q_A）＝0

解得：Q_B＝（a－C－Q_A）/2②

由①②式解得均衡產量Q_A＝Q_B＝（a－C）/3，均衡價格P＝（a＋2C）/3。

（2）若兩個廠商相互勾結，那么兩個廠商的總的利潤為：π＝P·Q－C·Q＝（a－Q）·Q－C·Q

利潤最大化的條件為：dπ/dQ＝－2Q＋a－C＝0

解得：Q＝（a－C）/2，P＝（a＋C）/2。此時兩個廠商的均衡產量為：Q_A＝Q_B＝（a－C）/4，均衡價格為P＝（a＋C）/2。

5．假設一個企業在某個時期的生產函數可以寫為Q＝L3/4K1/4，設P_L＝3，P_K＝5，求總成本為140時該企業的產量Q、L和K。[武漢大學2014研]

解：由總成本140可得到式①：3L＋5K＝140；

假設該企業達到生產均衡，即在既定成本下，產量實現最大化，則滿足MP_L/P_L＝MP_K/P_K，由于生產函數為Q＝L3/4K1/4，得到

整理得式②：L＝5K；聯立式①②，得到L＝35，K＝7，代入生產函數中得到Q≈23.4；故該企業的產量Q為23.4，投入的L為35，K為7。

6．假設廠商的生產函數為y＝10L2－L3。

（1）求廠商生產合理區域。

（2）已知價格P＝1和工資w＝12，求最優要素使用量。[華南師范大學2011研]

解：（1）廠商生產合理區域是指平均產量最大值點（此時邊際產量等于平均產量）到邊際產量為0的點之間的區域。

平均產量AP_L＝y/L＝10L－L2，令其一階導數為0，得平均產量最大時的勞動投入量為L＝5。

邊際產量MP_L＝y′＝20L－3L2，令其為0，得邊際產量為0時的勞動投入量為L＝20/3（舍去0值），因此廠商生產合理區域為5＜L＜20/3。

（2）利潤函數為π＝TR－TC＝Py－wL＝10L2－L3－12L，令其一階導數為0，得π′＝20L－3L2－12＝0，可得：L₁＝6,L₂＝2/3（舍去，因為這是利潤最小化的投入量），所以最優要素投入量為L＝6。

7．假設一家廠商用兩種生產要素生產一種產品，其生產函數為y＝（X₁－1＋X₂－1）－1/2，其中X₁和X₂代表要素1和2的投入數量。產品和要素的價格分別為p、r₁和r₂。請按下面的要求回答問題：

（1）判斷該生產技術的規模經濟狀況；

（2）計算兩種要素的邊際技術替代率MRTS₁₂；

（3）計算該廠商對要素1和2的需求；

（4）如果要素的價格上漲，討論該廠商利潤將發生怎樣變化。[中國人民大學2009研]

解：（1）根據生產函數可判斷生產技術的規模經濟狀況，即有：

f（αX₁，αX₂）＝[（αX₁）－1＋（αX₂）－1]－1/2＝α1/2（X₁－1＋X₂－1）－1/2＝α1/2f（X₁，X₂）＜αf（X₁，X₂）

所以，該生產技術為規模經濟遞減。

（2）要素1對要素2的邊際技術替代率為：

（3）根據廠商利潤最大化條件可知：

　①

再根據利潤π＝py－r₁X₁－r₂X₂，分別對X₁、X₂求偏導，則有：

　②

聯立①②可得：

所以，廠商對要素2和1的需求之比為（r₁/r₂）1/2。

（4）如果要素價格上漲，在成本不變的條件下，產量會減少，因而利潤會下降。

8．分別求出下列生產函數的擴展線方程。（要求列出適當的計算過程）[東北財經大學2011研]

（1）Q＝5L0.75K0.25

（2）Q＝KL/（K＋L）

（3）Q＝min（3L，K）

解：（1）對于生產函數Q＝5L0.75K0.25來說，有：

MP_K＝1.25L0.75K－0.75

MP_L＝3.75L－0.25K0.25

由最優要素組合的均衡條件MP_L/MP_K＝P_L/P_K，可得：

整理得：

此即為該生產函數的擴展線方程。

（2）對于生產函數Q＝KL/（K＋L）來說，有：

由最優要素組合的均衡條件MP_L/MP_K＝P_L/P_K，可得：

整理得：

此即為該生產函數的擴展線方程。

（3）生產函數Q＝min（3L，K）是固定投入比例的生產函數，廠商按照L/K＝1∶3的固定投入比例進行生產，且廠商的生產均衡點在直線K＝3L上，即廠商的長期擴展線函數為K＝3L。

六、論述題

1．柯布—道格拉斯生產函數在何種情況下是規模報酬遞減的？該函數滿足邊際報酬遞減規律嗎？解釋邊際報酬遞減與規模報酬遞減的區別。[武漢大學2015研]

答：（1）柯布—道格拉斯生產函數最初是由美國數學家柯布和經濟學家道格拉斯共同探討投入和產出的關系式而創造的生產函數，是用來預測國家和地區工業系統或大企業的生產和分析發展生產的途徑的一種經濟數學模型，該函數以其簡單的形式描述了經濟學家所關心的一些性質，在經濟理論的分析和實證研究中都具有一定意義。該生產函數的一般形式為：Q＝ALαKβ

其中，Q為產量，L和K分別為勞動和資本投入量，A為綜合技術水平，α是勞動產出的彈性系數，β是資本產出的彈性系數，0＜α，β＜1。

根據α和β的組合情況，有三種類型：①α＋β＞1，稱為遞增報酬型；②α＋β＜1，為遞減報酬型；③α＋β＝1，為不變報酬型。

因此當α＋β＜1時，是規模報酬遞減的。此時，對"l＞1，有：

F（lL，lK）＝A（lL）α（lK）β＝lα＋βALαKβ＜lALαKβ＝lF（L，K）

在其他條件不變的情況下，增加投入時，產量增加的比例小于生產要素增加的比例。

（2）柯布—道格拉斯生產函數滿足邊際報酬遞減規律

①若生產函數是規模報酬遞減的，即產量變動幅度小于要素投入的變動幅度，其總產量曲線在圖形上表現為凸向左上方。生產規模遞減的主要原因是企業生產規模擴大，生產各個方面難以得到有效協調，從而降低了生產效率，它可以表現為企業內部合理分工的破壞，生產有效運行的障礙，獲取生產決策所需的各種信息不易等等。

②邊際報酬遞減指在技術水平不變的條件下，在連續等量地把一種可變生產要素增加到一種或幾種數量不變的生產要素上去的過程中，當這種可變生產要素的投入量小于某一特定值時，增加該要素投入所帶來的邊際產量是遞增的；當這種可變要素的投入量連續增加并超過這個特定值時，增加該要素投入所帶來的邊際產量是遞減的。出現邊際報酬遞減規律的主要原因是，隨著可變投入的不斷增加，不變投入和可變投入的組合比例變得越來越不合理。

（3）規模報酬遞減與邊際報酬遞減的比較

規模報酬遞減與邊際報酬遞減都是生產理論中的概念，論述的都是企業產量如何隨生產要素的變化而變化，但是兩個概念有明顯的區別：

①規模報酬遞減是指廠商生產要素的增加比例大于產量增加比例，論及的是廠商生產規模變化對廠商效益的影響問題，論述的對象是廠商規模。邊際報酬遞減的前提是不變要素已經固定不變的情況下，可變要素變化對產量的影響。

②規模報酬遞減是長期中廠商擴大生產規模所引起的產量或收益的變化的一種情況。企業只有在長期內才可能變動全部生產要素，進而變動生產規模。因此，企業的規模報酬遞減分析屬于長期生產理論問題。邊際報酬遞減是假設其他生產要素不變的情況下，一種可變生產要素變化對產量的影響，屬于短期生產理論問題。

2．試從生產規模、生產要素投入等角度分析，完全競爭市場中理性的生產者應如何組織生產。[對外經濟貿易大學2014研]

答：完全競爭市場是指有無數個廠商生產同質產品的市場，該市場上每個廠商都是價格的接受者，而市場上理性生產者進行生產的目的是為了獲得最大的利潤。

（1）從生產規模的角度分析

生產規模的確定需要由收益情況來定。如果規模收益呈遞增趨勢，則生產規模應繼續擴大，增加使用各種要素的數量；如果規模收益呈遞減趨勢，則生產規模應縮小，直到處于規模收益不變階段。

生產者選擇最優規模時，其基本的原則是MR＝MC，即邊際收益等于邊際成本。因為如果MR＞MC，每增加一單位產品所增加的收益大于這一單位的成本，廠商有利可圖，必然擴大產量；如果MC＞MR，每增加一單位產品所增加的收益小于這一單位的成本，廠商會虧損，必然減少產量。只有MR＝MC時，廠商既不擴大，也不縮小產量，而是維持產量，表明該賺的利潤都已賺到，即實現了生產者利潤最大化的目標。

（2）從生產要素投入角度分析

①對于單一可變生產要素的情況，廠商的最優生產投入量應該在生產的第二階段，即在生產要素的平均產量下降且邊際產量大于零的階段。

因為在第一階段，平均產量遞增，如果繼續增加該要素的投入量，總產量和平均產量會相應增加，理性的生產者自然不會停留在該階段；而在第三階段，邊際產量為負，如果減少要素的投入量，總產量會相應地增加，所以理性的生產者也不會停留在這個階段。至于生產者在第二階段中何處達到收益最大值則取決于要素投入所能帶來的收益與其花費的成本的比較。如果要素的投入帶來的邊際收益等于其導致的邊際成本，則其達到最佳投入數量，否則，就需要增加或減少投入量。

②對于兩種及兩種以上的可變生產要素的情況，其投入比例取決于邊際技術替代率MRTS和各要素的價格，當MRTS＝w/r時，要素的投入比例為最佳。

在等產量線和等成本線的切點處能夠滿足邊際技術替代率MRTS與各要素的價格之比相等的條件，即二者相切之處決定最佳比例。其表現為等產量線和等成本線的無數個切點上，這些切點構成生產的擴展線。理性的生產者應選擇生產曲線上的哪一點取決于產品的價格和要素的規模收益狀況。

3．結合圖形說明廠商在既定產量條件下實現最小成本的最優要素組合原則。[浙江工商大學2012研]

答：（1）實現最小成本的最優要素組合原則

為了實現既定產量條件下的最小成本，廠商應該通過對兩要素投入量的不斷調整，使得花費在每一種要素上的最后一單位的成本支出所帶來的邊際產量相等。

（2）結合圖形說明

圖2-3-12　既定產量條件下成本最小的要素組合

如圖2-3-12所示，有一條等產量曲線Q和三條等成本線AB、A′B′和A″B″。惟一的等產量曲線Q代表既定的產量。三條等成本線具有相同的斜率（即表示兩要素的價格是既定的），但代表三個不同的成本量，其中，等成本線AB代表的成本大于等成本線A′B′代表的，等成本線A′B′代表的成本大于等成本線A″B″代表的。惟一的等產量曲線Q與其中一條等成本線A′B′相切于E點，這就是生產的均衡點或最優要素組合點。它表示：在既定的產量條件下，生產者應該選擇E點的要素組合（OK₁，OL₁），才能實現最小的成本。具體原因分析如下：

①等成本線A″B″雖然代表的成本較低，但它與既定的等產量曲線Q既無交點又無切點，它無法實現等產量曲線Q所代表的產量。等成本曲線AB雖然與既定的等產量曲線Q相交于a、b兩點，但它代表的成本過高，通過沿著等產量曲線Q由a點向E點或者由b點向E點的移動，都可以獲得相同的產量而使成本下降。所以，只有在切點E，才是在既定產量條件下實現最小成本的要素組合。

②進一步具體地分析等產量曲線Q與等成本線AB的兩個交點a點和b點。

首先，如果廠商開始時在a點進行生產。由圖2-3-12可見，在a點，等產量曲線的斜率的絕對值大于等成本線的斜率的絕對值，它表示在a點上的兩要素的邊際技術替代率大于兩要素的價格之比。譬如說，當MRTS_LK＝－dK/dL＝3/1＞2/1＝w/r時，根據不等式的左邊，在生產過程中，在維持產量水平不變的前提下，廠商可以用1單位的勞動去替代3單位的資本（因為MRTS_LK＝－dK/dL＝3/1）。而根據不等式的右邊，在生產要素市場上，3單位資本的購買成本卻可以購買到1.5單位的勞動（因為w/r＝2/1），于是，廠商因節省0.5單位勞動的購買成本而得利。

其次，如果廠商開始時在b點進行生產。由圖2-3-12可見，在b點，等產量曲線的斜率的絕對值小于等成本線的斜率的絕對值，它表示在b點上的兩要素的邊際技術替代率小于兩要素的價格之比。譬如說MRTS_LK＝－dK/dL＝2/4＜2/1＝w/r。這時，廠商可以在生產過程中用2單位的資本去替代4單位勞動，并保持相同的產量水平（因為MRTS_LK＝－dK/dL＝2/4），而在生產要素市場上4單位勞動的購買成本卻可以購買到8單位的資本（因為w/r＝2/1）。于是，廠商因節省6單位資本的購買成本而得利。

由此可見，只要MRTS_LK＞w/r，廠商就會不斷地用勞動去替代資本，即在圖中沿著等產量曲線Q由a點不斷向E點靠近；只要MRTS_LK＜w/r，廠商就會不斷地用資本去替代勞動，即在圖中沿著等產量曲線Q由b點不斷向E點靠近。在以上的調整中，廠商可以不斷以更低的成本來生產相同的產量，最后，廠商在MRTS_LK＝w/r時實現生產均衡。在圖中，既定的等產量曲線Q和等成本線A′B′的切點E便是生產的均衡點。在均衡點E有：MRTS_LK＝w/r，它表示：廠商應該選擇最優的生產要素組合，使得兩要素的邊際技術替代率等于兩要素的價格之比，從而實現既定產量條件下的最小成本。

由于邊際技術替代率可以表示為兩要素的邊際產量之比，所以，上式可以寫為：MRTS_LK＝MP_L/MP_K＝w/r

進一步，可以有：MP_L/w＝MP_K/r

它表示：為了實現既定產量條件下的最小成本，廠商應該通過對兩要素投入量的不斷調整，使得花費在每一種要素上的最后一單位的成本支出所帶來的邊際產量相等。

4．通過生產理論中的等產量曲線與等成本曲線的關系來說明生產者的均衡點（要以圖形輔助）。[浙江工商大學2011研]

答：（1）等產量曲線和等成本曲線的定義

等產量曲線是在技術水平不變的條件下。生產同一產量的兩種生產要素投入量的所有不同組合的軌跡。

等成本曲線是在既定的成本和既定生產要素價格條件下，生產者可以購買到的兩種生產要素的各種不同數量組合的軌跡。

（2）既定成本條件下的產量最大化

假定在一定的技術條件下廠商用兩種可變生產要素勞動和資本生產一種產品，且勞動L的價格w和資本K的價格r是已知的，廠商用于購買這兩種要素的全部成本C是既定的。企業要選擇最優的勞動投入量和資本投入量的組合使既定的成本獲得最大的產量。把廠商的等產量曲線和相應的等成本線畫在同一個平面坐標系中，就可以確定廠商在既定成本下實現最大產量的最優要素組合點，即生產的均衡點。

圖2-3-13　既定成本條件下的產量最大化

在圖2-3-13中，有一條等成本線AB和三條等產量曲線Q₁、Q₂和Q₃。等成本線AB的位置和斜率決定于既定的成本量C和既定的已知的兩要素的價格比例w/r。由圖2-3-13中可知，惟一的等成本線AB與其中一條等產量曲線Q₂相切于E點，該點就是生產的均衡點。它表示：在既定成本條件下，廠商應該按照E點的生產要素組合進行生產，即勞動投入量和資本投入量分別為OL₁和OK₁，這樣，廠商就會獲得最大的產量。

在生產均衡點E有：MRTS_LK＝w/r，它表示：為了實現既定成本條件下的最大產量，廠商必須選擇最優的生產要素組合，使得兩要素的邊際技術替代率等于兩要素的價格比例。這就是兩種生產要素的最優組合的原則。因為邊際技術替代率可以表示為兩要素的邊際產量之比，所以，上式可以寫為：MRTS_LK＝MP_L/MP_K＝w/r

進一步，可以有：MP_L/w＝MP_K/r。

它表示：廠商可以通過對兩要素投入量的不斷調整，使得最后一單位的成本支出無論用來購買哪一種生產要素所獲得的邊際產量都相等，從而實現既定成本條件下的最大產量。

（3）既定產量條件下的成本最小化

如同生產者在既定成本條件下會力求實現最大的產量，生產者在既定的產量條件下也會力求實現最小的成本。圖2-3-14中有一條等產量曲線Q和三條等成本線AB、A′B′和A″B″。惟一的等產量曲線Q代表既定的產量。三條等成本線具有相同的斜率（即表示兩要素的價格是既定的），但代表三個不同的成本量，其中，等成本線AB代表的成本大于等成本線A′B′代表的，等成本線A′B′代表的成本大于等成本線A″B″代表的。惟一的等產量曲線Q與其中一條等成本線A′B′相切于E點，這就是生產的均衡點或最優要素組合點。它表示：在既定的產量條件下，生產者應該選擇E點的要素組合（OK₁，OL₁），才能實現最小的成本。

這是因為，等成本線A″B″雖然代表的成本較低，但它與既定的等產量曲線Q既無交點又無切點，它無法實現等產量曲線Q所代表的產量。等成本曲線AB雖然與既定的等產量曲線Q相交于a、b兩點，但它代表的成本過高，通過沿著等產量曲線Q由a點向E點或者由b點向E點的移動，都可以獲得相同的產量而使成本下降。所以，只有在切點E，才是在既定產量條件下實現最小成本的要素組合。

同理，在均衡點E有：MP_L/w＝MP_K/r

它表示：為了實現既定產量條件下的最小成本，廠商應該通過對兩要素投入量的不斷調整，使得花費在每一種要素上的最后一單位的成本支出所帶來的邊際產量相等。

圖2-3-14　既定產量條件下成本最小的要素組合