3.2　課后習題詳解

1．畫出如下消費者對兩種商品：啤酒與可口可樂偏好的無差異曲線。

（1）消費者甲喜歡啤酒但不喜歡可口可樂，他總是喜歡有更多的啤酒，不管他有多少可口可樂。

（2）消費者乙認為在任何情況下，三瓶可樂與兩瓶啤酒無差別。

（3）消費者丙喜歡一半啤酒與一半可樂一起喝，他從不單獨只喝啤酒或只喝可樂。

答：（1）無差異曲線如圖3-31（a）所示。對甲而言，其對可樂的消費已飽和，無論增加多少可樂的消費，他的效用都不會增加。

（2）無差異曲線如圖3-31（b）所示。對消費者乙而言，可樂和啤酒是完全替代品。

（3）無差異曲線如圖3-31（c）所示。對消費者丙而言，可樂和啤酒是完全互補品。

圖3-31　無差異曲線

2．假如某消費者認為啤酒與可樂是完全可替代的（其替代比例為1：1）：

（1）試畫出這個消費者關于這兩種商品的無差異曲線；

（2）如果每瓶啤酒3元，每瓶可樂2元，消費者每月準備用30元購買這兩種商品，那么他將怎樣作出選擇？試用圖表示。

答：（1）該消費者關于啤酒與可樂這兩種商品的無差異曲線如圖3-32所示。

圖3-32　兩種商品的無差異曲線

（2）如圖3-33所示，可作出該消費者的預算約束線和求出最優選擇點。

圖3-33

，，，消費預算線為：3b＋2c＝30。

因為

所以消費者將只消費可樂，即c＝30÷2＝15，b＝0。

3．某航空公司向它的乘客提供下列獎勵計劃：每年乘坐該航空公司飛機旅行超過30000英里者，可以獲得機票減價25%的優惠；如果飛行超過50000英里者，可以獲機票減價50%的優惠。畫出該航空公司的乘客的預算線。

答：如圖3-34所示，橫軸s表示飛行里程數，縱軸P表示機票價格。由題意可知，該預算線在s＝30000和s＝50000處發生彎折。

圖3-34

4．一個消費者愿意用1磅牛排換3磅漢堡包，目前他每月購買的牛排與漢堡包的重量相同，而牛排的價格是漢堡包的2倍，那么他是應該增加牛排的購買減少漢堡包的購買，還是相反？

解：以b和h分別代表牛排和漢堡包，由題意可知：

則有：

故應該增加牛排的購買減少漢堡包的購買。

5．小楊是個電腦游戲狂熱愛好者。他除了吃飯，將其所有的錢全花在打游戲上。他的效用函數是

其中g代表打游戲的數量，f代表食物數量。

（1）請求出小楊對食物和打游戲的需求函數，假設其價格分別為，，小楊的收入為I。

（2）當時，小楊對食物的價格需求彈性是多少？

（3）小楊的女朋友對小楊打游戲很不滿，她說，小楊將其增加的收入全部花在打游戲上。如果，她的不滿是否有根據？

（4）當時，小楊對食物及打游戲的需求又如何？

解：（1）效用最大化可表示為：

構造拉格朗日函數為：

F.O.C.：

解得：

所以，當時，

當時，，。

（2）當時，

（3）若，因為食物的消費量是固定的（），從而花在食物上的錢也是固定的（），所以增加的收入全部花在打游戲上。

（4）根據第（1）問可知，當時，，，即所有的收入都花在食物支出上，對游戲的需求為零。

6．一個消費者每月用200元購買兩類食品：肉制品平均每磅4元，豆制品平均每磅2元。

（1）請畫出他的預算線；

（2）如果他的效用函數為

為使效用最大化，與各是多少？

（3）如果商家對商品2采取買20磅送10磅的銷售辦法，試畫出新的預算線。

（4）如果商品2價格提到4元，并取消優惠政策。那么新的預算線又怎樣？效用最大的與各是多少？

解：（1）由，，得預算線為

如圖3-35所示。

圖3-35

（2）若效用函數為

則：

故他會將所有收入花在豆制品上，從而，。

（3）如果商家對商品2采取買20磅送10磅的銷售辦法，則商品2的實際價格為，從而新的預算線方程為

如圖3-36所示。

圖3-36

（4）如果商品2的價格提到4元，新的預算線為

由

故他仍會將所有收入花在豆制品上，從而，。

7．假定某消費者總喜歡1杯牛奶和2根油條一起吃。如果每根油條價格為，每杯牛奶價格為，消費者花費1元在牛奶與油條上，那么他將打算購買多少牛奶和油條？

解：令和分別表示牛奶和油條，由題意可知，和為互補品，從而該消費者的效用函數為

在最優消費點上，有：，。

解得：

8．當商品X的價格上漲，商品Y的消費不變。

（1）試繪出相應的P.C.C.曲線。

（2）請判斷X和Y分別為低檔品還是正常品？為什么？

答：（1）設商品X的初始價格為，消費者的初始均衡點為。X商品價格由上漲至和后，均衡點從移動到再到。由于商品Y的消費量不變，所以P.C.C.曲線為平行于橫軸的直線，如圖3-37所示。

圖3-37

（2）關于兩種商品類型的判斷需要通過I.C.C.曲線來分析。

I.C.C.曲線是在消費者偏好和商品價格不變的情況下，僅由收入變化引起的最優消費組合均衡點的變化軌跡。

第一種情況：在圖3-37中作兩條補償預算線，平行于原預算線并分別與、相切于、點的右側，因此，隨著收入下降，消費者對兩種商品的購買力都會下降，因此，X、Y都為正常品。

第二種情況：如圖3-38所示，價格上升后，新的均衡點為，Y的消費量不變，X的消費量減少，作補償預算線與新無差異曲線相切于A點，從圖中可以看出，商品Y的消費量減少了，但商品X的消費量增加了。此時，Y是正常品，而X是低檔品；同理，X還有可能是中性品。

因此，僅能判斷出Y是正常品，但不能判斷X是正常品、中性品還是低檔品。

圖3-38

9．若X，Y的I.C.C.曲線為垂直線，則我們可從中得出哪些推論？

答：設、、表示三個不同的收入水平，且，根據題意得圖3-39。

圖3-39

I.C.C.曲線為垂直線表示隨著收入增加，商品X的消費數量不變，增加的收入全部用于購買商品Y，從而商品X為中性品，商品Y為正常品。

（1）X為中性品。在其他條件不變的情況下，商品X的消費量不隨收入變化而變化，其需求收入彈性為零，因而它是中性品；其次，在其他條件不變的情況下，如果它的價格發生變化，將只有替代效應，沒有收入效應，總效應＝替代效應，其需求曲線的斜率一定為負。

（2）Y為正常品。在其他條件不變的情況下，商品Y的消費量隨收入的增加而增加，其需求的收入彈性大于零，因而它是正常品。

10．假設效用函數為

請證明X與Y的恩格爾曲線是一條直線。

證明：消費者效用最大化問題為：

構造拉格朗日函數為：

F.O.C：

解得：，。即和的恩格爾曲線均為直線，其斜率分別為和。

11．若電影票價上漲，則某人將花更少的錢去看電影，試繪出他的P.C.C.線。

答：如圖3-40所示，橫坐標表示電影票的數量，縱坐標表示消費者的貨幣收入或在其他商品上的支出。隨著電影票價的上漲（），預算線繞其與縱軸的交點向原點方向旋轉，并分別與無差異曲線相切于、、，那么、、分別為三種價格水平下該消費者在電影票上的花費，由于電影票價上漲，消費者將花更少的錢去看電影，所以有，P.C.C.曲線向右下方傾斜。

圖3-40

12．設某人對X，Y的效用函數為

（1）試求出此人普通的需求曲線。

（2）若P_X＝4元，P_Y＝6元，I＝120元，此人會消費多少X及Y？

（3）求此人Y商品收入補償的需求曲線？

解：（1）

構造拉格朗日函數：

F.O.C.：

解得：，，即此人對X和Y的普通需求函數。

（2）將，，代入（1）的結果中，得

（3）在消費均衡點，此人的滿足程度為

設不變，Y的收入補償曲線可由下式求得：

構造拉格朗日函數：

F.O.C.：

解得，此即Y商品的收入補償需求曲線。

13．某消費者對X、Y商品的效用函數為U＝2X＋Y。商品X、Y的價格、給定，消費者的收入亦給定。

（1）請繪出該消費者對這兩種商品的無差異曲線。

（2）當消費者收入增加時，如果X商品的價格小于Y商品的價格，請畫出該消費者對商品X的收入—消費曲線和恩格爾曲線。

（3）當消費者的收入I給定時，如果X商品的價格小于Y商品的價格，試求該消費者對商品X的需求函數。

答：（1）該消費者對兩種商品的無差異曲線如圖3-41所示。

圖3-41

由效用函數U＝2X＋Y可知，

即無差異曲線的斜率恒為－2。

（2）若，有

所以該消費者會將收入全部用于消費X商品：

此函數即代表對商品X的恩格爾曲線，如圖3-42所示。

圖3-42

（3）當時，消費者僅消費X，故消費者對X的需求函數為

14．某消費者的效用函數為U＝XY，P_X＝1元，P_Y＝2元，收入I＝40元，現在P_Y突然下降到1元。試問：

（1）Y價格下降的替代效應，使他買更多還是更少的Y？

（2）Y價格下降對Y需求的收入效應相當于他增加或減少多少收入？收入效應使他買更多還是更少的Y？

（3）Y價格下降的替代效應使他買更多還是更少的X？收入效應使他買更多還是更少的X？Y價格下降對X的需求的總效應是多少？對Y需求的總效應是多少？

解：由消費者均衡條件可得，X＝2Y，結合預算方程X＋2Y＝40，可知X＝20，Y＝10。

當時，此時消費者均衡條件變為X＝Y，結合預算方程X＋Y＝40，可得新的消費量為X＝20，Y＝20。

故Y價格下降對Y的總的效應為20－10＝10，對X的總的效應為0。

替代效應是指保持原有消費組合不變，當商品價格變動時，商品消費數量的變動。

如果保持原有的效用水平不變，即需要的收入補償為：U＝XY＝20×10＝200，而當時，

（1）Y價格下降對Y需求的替代效應為，使他買更多的Y。

（2）Y價格下降對Y需求的收入效應為

相當于使他增加了的收入，收入效應使他買更多的Y。

（3）Y價格下降對X需求的替代效應為，即替代效應使他買更少的X。

Y價格下降對X需求的收入效應為

即收入效應使他買更多的X；Y價格下降對Y的總的收入效應為20－10＝10，對X的總的收入效應為0。

15．老王喜歡喝白酒，當其他商品價格固定不變時，他對高質量的白酒的需求函數為q＝0.02M－2P。收入M＝7500元，價格P＝30元。現在價格上升到40元，問價格上漲的價格效應是多少瓶酒？其中替代效應是多少瓶？收入效應是多少瓶？

解：當，時，

當時，

故價格上漲的價格效應是70－90＝－20瓶酒。

替代效應是在新的價格下保持原有消費組合不變，此時補償收入為：

當，時，

故替代效應為88－90＝－2瓶，收入效應為－20－（－2）＝－18瓶。

16．為了刺激消費，政府擬在以下兩種方案中選擇其一：對購買的每單位某種商品均補貼r（比例補貼），或者給予消費者收入補貼R（定額補貼）。假定這兩種不同補貼的總金額相同。請用圖比較這兩種不同補貼方案會對消費者的選擇和效用有什么影響？說明政府采取哪一種方案更能提高消費者的效用水平？

答：如圖3-43所示。

圖3-43

比例補貼后，相當于每單位X商品的價格下降了，因而預算線由AB繞A點移動至的位置。設原來的消費點為C，效用為，當政府給予比例補貼后，消費者會以的收入來購買OG的X。而在補貼前，該消費者欲購買OG的X，需要花費EF的收入才能得到，其差額即為政府補貼金額。

在政府付出相同金額（）的情況下，把比例補貼改為定額補貼，即給予消費者數額的現金，則預算線會通過點而與AB線平行（因為此時X價格不會變動，如圖中所示）；此時新的預算線會與一條滿足水平更高的無差異曲線相切，故消費者的消費點會移至點，而消費者的效用會增加至，比間接補貼的效用更大。由于在定額補貼之下，消費者能有更多的選擇自由，而不會把補貼的金額全數用來購買X，故所能獲得的效用也比間接補貼要大。

17．假定效用函數為

q為消費的商品數量，M為收入。試求：

（1）商品的需求函數及其反需求函數。

（2）求p＝0.05，q＝25時的消費者剩余。

解：（1）消費者面臨的消費最大化問題為：

構造拉格朗日函數：

通過一階條件，和，即可求出該商品的需求函數為：，反需求曲線為：

（2）當，時，消費者剩余如圖3-44陰影部分所示。

圖3-44

消費者剩余為：