第二節　序數效用理論

一、消費者偏好

序數效用理論認為，效用是一種心理現象，是不可度量的，只能根據偏好的程度排列出相應的順序。效用的大小與效用絕對值的大小無關，只與偏好排列的順序有關。其中，偏好（Preference）是指愛好或喜歡的意思。

經濟學家對消費者偏好提出的幾個基本假定：

1．偏好的完備性。偏好的完備性是指消費者總是可以比較和排列所給出的不同商品組合。

2．偏好的非飽和性。如果兩個商品組合的區別僅在于其中一種商品的數量不同，則消費者總是偏好于含有這種商品數量較多的那個商品組合。即就商品（goods）而非厭惡品（bads）而言，人們希望多多益善。

3．偏好的傳遞性。如果消費者對A的偏好大于B，對B的偏好大于C，那么對A的偏好大于C。

4．偏好的單調性。如果一個消費組合所包含的每種商品的數量至少同另—個消費組合的一樣多，那么，這個消費組合至少同另一個消費組合一樣好。

5．偏好的凸性。這里的凸性是指無差異曲線是凸的。之所以要假定消費者的偏好是凸狀的，是因為在大多數情況下各種商品是一起消費的。正常情況下，消費者總是會愿意用一種商品去換取另外的商品，最終消費各種商品的一部分，而不是單獨一種。

偏好和偏好假定為借助無差異曲線分析消費者行為提供了條件。

二、無差異曲線

1．無差異曲線的含義及其特征

（1）無差異曲線的含義

無差異曲線是用來表示消費者偏好相同的兩種商品的所有組合。它是表示能給消費者帶來相同的效用水平或滿足程度的兩種商品的所有組合的曲線。如圖2-16所示，圖中X₁、X₂分別表示消費者對商品1、商品2的消費數量，在同一條無差異曲線上的點代表了消費者認為無差異的商品1和商品2所有可能的消費組合。

圖2-16  無差異曲線

在無差異曲線的基礎上，序數效用論引入了效用函數的概念。效用函數表示某一商品組合給消費者帶來的效用水平。假定消費者只消費兩種商品，則效用函數為：

上式中，X₁和X₂分別為兩種商品的數量；U為效用水平。則與無差異曲線相對應的效用函數為：

式中，U0為一個常數，也稱為等效用函數，表示一個不變的效用水平。

（2）無差異曲線的特征

無差異曲線通常具有以下幾點特征：

①由于通常假定效用函數是連續的，在同一坐標平面上的任何兩條無差異曲線之間，存在著無數條無差異曲線。

②根據效用函數的單調性特征，效用水平是所消費的商品的單調遞增函數，則離原點越遠的無差異曲線代表的效用水平越高，離原點越近的無差異曲線代表的效用水平越低。

圖2-17  效用函數的單調遞增特征

圖2-18  違反偏好假定的無差異曲線

③在同一坐標平面上的任何兩條無差異曲線不會相交，否則就違背了關于消費者偏好的假定。這一點可以通過圖2-18來說明。

在圖2-18中，交點a的效用無法判斷。原因在于：a既與b在同一條無差異曲線上，又與c在同一條無差異曲線上，若c優于b，根據傳遞性，a也優于b，但a與b又在同一條無差異曲線上，即a與b無差異。因此，一旦兩條無差異曲線相交，便違背了消費者偏好的假定。

④無差異曲線向右下方傾斜，且凸向原點。無差異曲線向右下方傾斜表示消費者若想維持效用水平不變，在增加其所消費的一種商品的同時，必須減少其所消費的另一種商品的數量。無差異曲線凸向原點表示任意兩組商品的加權平均至少比其中一組好。

2．邊際替代率及其遞減法則

（1）商品的邊際替代率的含義和計算

商品的邊際替代率是指在維持效用水平不變的前提下，消費者增加一單位某種商品的消費數量時所需要放棄的另一種商品的消費數量。根據上述定義，商品1對商品2的邊際替代率的公式為：

上式中，MRS₁₂表示商品1對商品2的邊際替代率；ΔX₁、ΔX₂分別表示商品1、商品2的數量變化量。

當商品數量的變化趨于無窮小時，則商品1對商品2的邊際替代率公式為：

（2）邊際替代率的幾何意義

無差異曲線上某一點的邊際替代率就是無差異曲線在該點的斜率的絕對值。如圖2-19所示：

圖2-19  邊際替代率

圖2-19中，a點與b點可以對消費者產生同等程度的滿足。消費者為了多得到ΔX₁單位的X₁商品，愿意放棄ΔX₂單位的X₂商品。從a點到b點，X₁的消費量增加了（ΔX₁＝2－1＞0），X₂的消費量減少了（ΔX₂＜0），ΔX₁與ΔX₂符號相反。為了使邊際替代率為正值，取ΔX₁與ΔX₂比值的負值。當a點與b點非常接近，即ΔX₁→0時：

即無差異曲線上a點的邊際替代率為該點的斜率。

（3）商品的邊際替代率遞減規律

在圖2-19中，可以看出，由于無差異曲線是凸向原點的，這就保證了隨著逐漸增加每一單位商品1的數量，即由a點經b、c、d點運動到e點的過程中，所需放棄的商品2的數量是遞減的。

由此可得出邊際替代率遞減規律：在維持效用水平不變的前提下，隨著一種商品的消費數量的連續增加，消費者為得到每一單位的這種商品所需要放棄的另一種商品的消費數量是遞減的。

3．無差異曲線的特殊形狀

無差異曲線的形狀表明在維持效用水平不變的前提下一種商品對另一種商品的替代程度。以上所討論的是通常的無差異曲線的特征，現實中可能還存在以下兩種極端情況：

（1）完全替代型偏好的無差異曲線，完全替代品指兩種商品之間的替代比例是固定不變的情況。因此，在完全替代的情況下，兩種商品之間的邊際替代率就是一個常數，相應的無差異曲線是一條斜率不變的直線。例如，圖2-20（a）中的蘋果汁和橙汁。

圖2-20  完全替代品和完全互補品

（2）完全互補型偏好的無差異曲線。完全互補品指兩種商品必須按固定不變的比例同時被使用的情況。因此，在完全互補的情況下，相應的無差異曲線為直角形狀。例如，圖2-20（b）中的左鞋與右鞋。

三、預算線

1．預算線的含義與數學公式表達

預算線又稱為預算約束線、消費可能線和價格線。預算線表示在消費者的收入和商品的價格給定的條件下，消費者的全部收入所能購買到的兩種商品的各種組合。

預算線方程：P₁X₁＋P₂X₂＝I

其中，I表示消費者既定收入；X₁和X₂分別為商品1和商品2的購買數量；P₁和P₂分別為商品1和商品2的價格；P₁X₁和P₂X₂分別為購買商品1和商品2的支出。

2．預算空間（budget space）

消費者花費其全部或部分收入后所能購買的商品量的集合就是預算空間。預算空間表示為：

進一步地，可以用圖2-21來說明：

圖2-21  預算線

圖2-21中，預算線AB把平面坐標圖劃分為三個區域：

（1）預算線AB以內的區域中的任何一點，如b點，表示消費者的全部收入在購買該點的商品組合以后還有剩余；

（2）預算線AB上的任何一點，表示消費者的全部收入剛好能購買到的商品組合點。

（3）預算線AB以外的區域中的任何一點，如a點，是消費者利用全部收入都不可能實現的商品購買的組合點。

因此，圖中的陰影部分的區域（包括直角三角形的三條邊），被稱為消費者的預算可行集或預算空間。

3．預算線的變動

（1）收入變動、價格不變

當兩種商品的價格P₁和P₂不變，而消費者的收入I發生變化時，相應的預算線的位置會發生平移。如圖2-22（a），假定原有的預算線為AB，消費者收入I增加，使預算線由AB向右平移至A＇B＇。相反，消費者收入I減少，使預算線AB向左平移至A＇＇B＇＇。前者表示消費者的全部收入用來購買任何一種商品的數量都因收入的增加而增加；相反，后者表示消費者的全部收入用來購買任何一種商品的數量都因收入的減少而減少。

（2）收入不變、兩種商品的價格均變動

當消費者的收入I不變，而兩種商品的價格P₁和P₂同比例同方向發生變化時，相應的預算線的位置也會發生平移，如圖2-22（a）所示。

（3）收入不變，一種商品的價格變動

當消費者的收入I不變，商品1的價格P₁發生變化而商品2的價格P₂保持不變時，預算線斜率發生變化，預算線截距發生變化，如圖2-22（b）；商品1的價格P₁保持不變而商品2的價格P₂發生變化時，預算線斜率和截距的變化如圖2-22（c）所示。

（4）收入與價格均變動

當消費者的收入I與兩種商品的價格P₁和P₂都同比例同方向發生變化時，預算線不發生變化。它表示消費者的全部收入用來購買任何一種商品的數量都未發生變化。

圖2-22  預算線的變動

四、消費者均衡

1．消費者的均衡條件

序數效用理論利用無差異曲線和預算線，分析消費者追求效用最大化的購買選擇行為。序數效用理論認為消費者最優購買行為必須滿足的條件為：在一定的預算約束下，為了實現最大的效用，消費者應該選擇最優的商品組合，使得兩種商品的邊際替代率等于它們商品的價格之比。也可以這樣理解：在消費者的均衡點上，消費者愿意用一單位的某種商品去交換的另一種商品的數量（即MRS₁₂），應該等于該消費者能夠在市場上用一單位的這種商品去交換得到的另一種商品的數量（即）。也即序數效用論下，消費者的均衡條件為：

2．消費者均衡條件的分析

下面用圖2-23對消費者的均衡條件進行說明：

圖2-23  消費者的均衡

（1）相關假設條件

①假定消費者的收入和兩商品的價格給定，也即給定了該消費者的一條預算線，在圖2-23中表示為預算線AB。

②假定消費者偏好給定，即給定了一個由該消費者的無數條無差異曲線所構成的無差異曲線簇。為了簡化分析，只取其中三條，在圖2-23中表示為三條無差異曲線U₁、U₂和U₃。

根據上述消費者均衡條件可知，消費者在給定的預算約束下能夠獲得最大效用的均衡點為預算線AB和無差異曲線U₂的切點E。在均衡點E處，相應的最優購買組合為（X₁*，X₂*）。

（2）具體分析過程

第一，就無差異曲線U₃而言，雖然它代表的效用水平高于無差異曲線U₂，但它與既定的預算線AB既無交點又無切點。這說明無差異曲線U₃上的任何一點都不在消費者的預算空間內。

第二，就無差異曲線U₁而言，它與既定的預算線AB相交于a、b兩點表明消費者利用現有收入可以購買a、b兩點的商品組合。但是，這兩點的效用水平均低于無差異曲線U₂，因此，理性的消費者不會用全部收入去購買無差異曲線U₁上a、b兩點的商品組合。

第三，就a點和b點而言，如果消費者改變購買組合，選擇AB線段上位于a點右邊或b點左邊的任何一點的商品組合，都可以達到比U₁更高的無差異曲線，以獲得更高的效用水平。這種沿著AB線段由a點往右和由b點往左的運動，最后必定在E點達到均衡。

因此，只有當既定的預算線AB和無差異曲線U₂相切于E點時，消費者才在既定的預算約束條件下獲得最大的滿足。由此可得，E點就是消費者實現效用最大化的均衡點。在切點E處，無差異曲線和預算線兩者的斜率是相等的。由邊際替代率的幾何意義可知，無差異曲線的斜率的絕對值為商品的邊際替代率MRS₁₂，預算線AB的斜率的絕對值可以用兩種商品的價格之比來表示。由此，在均衡點E有：

五、消費者均衡比較靜態分析

對消費者均衡進行比較靜態分析時，應先考察商品價格變化和消費者收入變化對均衡的影響，并在此基礎上分別推導出消費者的需求曲線和恩格爾曲線。

1．價格變化的影響

（1）價格-消費曲線

價格-消費曲線是在消費者的偏好、收入以及其他商品價格不變的條件下，與某一種商品的不同價格水平相聯系的消費者效用最大化的均衡點的軌跡。在圖2-24（a）中，假定商品1的初始價格為，相應的預算線為AB，它與無差異曲線U₁相切于效用最大化的均衡點E₁。

①如果商品1的價格由下降為，相應的預算線由AB移至AB＇，于是，AB＇與另一條較高的無差異曲線U₂相切與均衡點E₂；

②如果商品1的價格在由繼續下降為，相應的預算線由AB＇移至AB＇＇，于是，與另一條更高的無差異曲線U₃相切于均衡點E₃……

不難發現，隨著商品1的價格不斷變化，可以找到無數個諸如E₁、E₂和E₃那樣的點，這些點的軌跡就是價格—消費曲線。

（2）消費者的需求曲線

由消費者的價格—消費曲線可以推導出消費者的需求曲線。如圖2-24（a）所示：

①在均衡點E₁，商品1的價格為，商品1的需求量為；

②在均衡點E₂，商品1的價格由下降為，則商品1的需求量增加為；

③在均衡點E₃，商品1的價格進一步由下降為，則商品1的需求量由再增加為……

根據商品1的價格和需求量之間的這種對應關系，把每一個P₁數值和相應的均衡點上的X₁數值繪制在商品的價格-數量坐標圖上，如圖2-24（b）所示，便可以得到單個消費者的需求曲線X₁＝f（P₁）。

圖2-24  價格-消費曲線和消費者的需求曲線

2．收入變化的影響

（1）收入-消費曲線

收入-消費曲線是在消費者的偏好和商品的價格不變的條件下，與消費者的不同收入水平相聯系的消費者效用最大化的均衡量的軌跡。如圖2-25所示：

①正常品的收入-消費曲線

在圖2-25（a）中，隨著收入的不斷增加，預算線由AB移至A＇B＇再移至A＇＇B＇＇，于是，形成了三個不同收入水平下的消費者效用最大化的均衡點E₁、E₂、E₃。如果收入水平的變化是連續的，則可以得到無數個這樣的均衡點的軌跡，這便是圖2-25（a）中的收入—消費曲線。圖2-25（a）的收入-消費曲線是向右上方傾斜的，它表示：隨著收入水平的增加，消費者對商品1和2的需求量都是上升的，因此，圖（a）中的商品均為正常品。

②劣等品的收入-消費曲線

在圖2-25（b）中，采用與圖2-25（a）中類似的方法，隨著收入水平的連續增加，描繪出了另一條收入-消費曲線。但是圖2-25（b）中的收入-消費曲線是向后彎曲的，它表示：隨著收入水平的增加，消費者對商品1的需求量開始是增加的，但當收入上升到一定水平之后，消費者對1的需求量減少了，因此，圖（b）中的商品1為劣等品。

圖2-25  收入-消費曲線

（2）恩格爾曲線

恩格爾曲線表示消費者在每一收入水平下對某商品的需求量。與恩格爾曲線相對應的函數關系為：

其中，I為收入水平；X為某種商品的需求量。

由消費者的收入-消費曲線可以推導出消費者的恩格爾曲線。圖2-25中的收入-消費曲線反映了消費者的收入水平和商品的需求量之間存在著一一對應的關系：以商品1為例，當收入水平為I₁時，商品1的需求量為；當收入水平增加為I₂時，商品1的需求量增加為；當收入水平再增加為I₃時，商品1的需求量變動為……把這種一一對應的收入和需求量的組合描繪在相應的平面坐標圖中，便可以得到相應的恩格爾曲線，如圖2-26所示。

圖2-26  恩格爾曲線

收入-消費曲線和恩格爾曲線是相對應的。如果商品1是正常品，商品1的需求量隨著收入水平I的上升而增加。在一定的收入水平上，圖中的商品1由正常品轉變為劣等品。或者說，在較低的收入水平范圍，商品1的需求量與收入水平成同方向的變動；在較高的收入水平范圍，商品1的需求量與收入水平成反方向的變動。