第2章　連續時間系統的時域分析[視頻講解]

2.1　本章要點詳解

本章要點

■微分方程的建立與求解

■起始點的跳變

■零輸入與零狀態響應

■沖激響應和階躍響應

■卷積

■卷積的性質

■利用卷積消除通信系統多徑失真

重難點導學

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一、引言

LTI系統分析方法包括時域分析和變換域分析。

1．時域分析方法

時域分析法不涉及任何變換，直接求解系統的微分、積分方程式，這種方法比較直觀，物理概念比較清楚，是學習各種變換域方法的基礎。

2．變換域分析方法

變換域分析法簡潔、方便，有利于研究新的信號處理技術和系統設計技術。

3．系統時域分析方法

系統時域分析方法包括經典法解微分方程、狀態變量法和卷積積分。

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二、微分方程的建立與求解

1微分方程的建立

許多實際系統可以用線性系統來模擬。若系統的參數不隨時間而改變，則該系統可以用線性常系數微分方程來描述，即

式中C，E均為常數，方程的階次由獨立的動態元件的個數決定。對于電系統，構成微分方程的基本依據是電網絡的元件特性和拓撲結構。

2．微分方程的求解

（1）微分方程時域經典法的解

微分方程時域經典法的解由兩部分組成，即齊次解和特解。一個線性系統，其激勵信號e(t)與響應信號r(t)之間的關系，可以用下列形式的微分方程來描述，即

若系統為時不變的，則C，E均為常數，此方程為常系數的n階線性常微分方程。

（2）微分方程時域經典法求解步驟

①求齊次解：由特征方程→求出特征根→寫出齊次解形式；

②求特解：特解的函數形式與系統的激勵函數形式有關，根據激勵函數設含待定系數的特解函數式，代入原方程，比較系數定出特解，如表2-1所示；

表2-1  幾種典型激勵函數相應特解

③借助初始條件求待定系數A。

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三、起始點的跳變及初始條件的確定

1起始點的跳變

利用微分方程的初始條件確定方程解中的系數A，初始條件取決于激勵接入瞬時系統的狀態，此狀態可能發生跳變稱為起始點的跳變。

（1）0_－狀態

一般在t＝0時刻加入激勵信號，激勵接入之前的狀態稱為起始狀態（0_－狀態），表示為

（2）0_＋狀態

激勵接入之后的狀態稱為初始狀態（0_＋狀態），表示為

（3）響應區間

響應區間是指激勵信號加入之后系統狀態變化區間，從0_＋時刻開始，如圖2-1所示。

圖2-1

（4）換路定則

一般情況下，換路期間電容兩端的電壓和流過電感中的電流不會發生突變。這就是在電路分析中的換路定則，即

當有沖激電流強迫作用于電容或有沖激電壓強迫作用于電感時，0_－到0_＋狀態就會發生跳變。當系統用微分方程表示時，系統從0_－到0_＋狀態有沒有跳變取決于微分方程右端自由項是否包含及其各階導數項。

2．沖激函數匹配法確定初始條件

配平的原理：t＝0時刻微分方程左右兩端的及各階導數應該平衡。

四、零輸入響應和零狀態響應

1零輸入響應和零狀態響應

（1）零輸入響應

零輸入響應是指與輸入激勵無關，由初始狀態（起始時刻系統的儲能）引起的響應。

（2）零狀態響應

零狀態響應是指初始狀態為零，只由外加激勵產生的響應。

（3）完全響應

①系統的完全響應可以看作由外加激勵源和起始狀態共同作用的結果；

②系統的完全響應＝零狀態響應＋零輸入響應。

2．系統響應的劃分

（1）各種響應定義

系統的全響應可以分解成以下三組響應：

①自由響應與強迫響應

a．自由響應：也稱固有響應，由系統本身特性決定，與外加激勵形式無關，對應于齊次解；

b．強迫響應：形式取決于外加激勵，對應于特解。

②暫態響應與穩態響應

a．暫態響應：指激勵信號接入一段時間內，完全響應中暫時出現的有關成分，隨著時間t增加，它將消失；

b．穩態響應：完全響應中減去暫態響應分量即得穩態響應分量。

③零輸入響應與零狀態響應

a．零輸入響應：無外加激勵信號，只由起始狀態（起始時刻系統儲能）所產生的響應；

b．零狀態響應：起始狀態等于零，由系統的外加激勵信號產生的響應。

（2）求解方法

①求系統的零輸入響應，實際上是求系統方程的齊次解。由非零的系統狀態值決定的初始值，求出待定系數；

②系統零狀態響應，是在激勵作用下求系統方程的非齊次解，由狀態值為零決定的初始值，求出待定系數；

③求非齊次微分方程的解比較繁瑣，所以引出卷積積分法，即。

3．對系統的線性和時不變性的進一步認識

（1）線性與時不變的進一步認識

①若{x_i(0-)}＝0，則系統是線性和時不變的；

②若{x_i(0-)}≠0，則系統是非線性和時變的，且非因果；

③常系數線性微分方程描述的系統只有在起始狀態為零的條件下，系統才是線性時不變，且是因果的。

（2）系統線性的擴展

①把激勵信號與起始狀態都視為系統的外施作用，則系統的完全響應對兩種外施作用也呈線性；

②零狀態線性：當起始狀態為零時，系統的零狀態響應對于各激勵信號呈線性；

③零輸入線性：當激勵為零時，系統的零輸入響應對于各起始狀態呈線性。

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五、沖激響應和階躍響應

1沖激響應

（1）定義

單位沖激響應是系統在單位沖激信號的激勵下所產生的零狀態響應。

（2）求解

若令e(t)＝d(t)，則r(t)＝h(t)代入沖激響應數學模型中，則

由于及其導數在t≥0_＋時都為零，因而方程式右端的自由項恒等于零，這樣原系統的沖激響應形式與齊次解的形式相同。根據m，n取值不同，h(t)的解可表示為如下：

①與特征根有關，設特征根為簡單根（無重根的單根），則

②與m，n相對大小有關

a．當n＞m時，不包含及其各階導數；

b．當n＝m是，應包含；

c．當n＜m時，應包含及其各階導數。

2．階躍響應

（1）定義

單位階躍響應是系統在單位階躍信號的激勵下所產生的零狀態響應。

（2）求解

系統的輸入e(t)＝u(t)，其響應為r(t)＝g(t)，系統方程的右端將包含階躍函數u(t)，所以除了齊次解外，還有特解。因此需根據線性時不變系統特性，利用沖激響應與階躍響應的關系求階躍響應。

3．階躍響應與沖激響應的關系

（1）和之間存在微積分關系：，；

（2）對于因果系統，當時，或。

六、卷積

1定義

設有兩個函數和，積分稱為和的卷積積分，簡稱卷積，記為

或

2．利用卷積求系統的零狀態響應

任意信號可以表示為沖激序列之和，若把它作用于沖激響應為的LTI，則系統零狀態響應為

3．卷積的計算

（1）卷積運算的圖解步驟

①變量代換，由t改為τ（積分變量改為τ）

②反褶，移位

③相乘

④乘積的積分

（2）積分上下限和卷積結果區間的確定

①積分上下限：由的范圍確定，當f₁(t)或f₂(t)為非連續函數時，卷積需分段，積分限分段確定；

②卷積結果區間：若區間為[A,B]，區間為[C,D]，則g(t)的區間為[A＋C，B＋D]。

4．對卷積積分的理解

系統響應為

（1）t為觀察響應的時刻，是積分的參變量；τ為信號作用的時刻，積分變量從因果關系看，必定有t≥τ；

（2）卷積是系統分析中的重要方法，通過沖激響應h(t)建立了響應r(t)與激勵e(t)之間的關系，一般數學表示為

信號無起因時表示為

（3）卷積是數學方法，也可運用于其他學科；

（4）積分限由f₁(t)和f₂(t)存在的區間決定，即由決定。

七、卷積的性質

1代數性質

（1）交換律

（2）分配律（系統并聯）

（3）結合律（系統級聯）

2．微分積分性質

（1）

（2）

（3）

3．沖激函數或階躍函數的卷積

由推廣得：

（1）

（2）

（3）

（4）

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八、利用卷積消除通信系統多徑失真

發射信號經過某些建筑物反射到達接收端，使得接收信號除了含有正常傳輸信號外，還含有回波分量，這種現象稱為回波現象。

單條回波路徑：；

多條回波路徑：；

沖激響應表達式為：，或對多個回聲有：。

為了從含有干擾信號的回波系統中取出正常信號，需要設計一個“逆系統”進行補償，逆系統的沖激響應以表示，則

經推導可得，再根據具體環境要求，將k值取若干有限項即可滿足消除回聲的要求。