4.3　名校考研真題詳解[視頻講解]

【例4.1】假設廠商的生產函數為。

（1）求廠商生產合理區域。

（2）已知價格和工資，求最優要素使用量。[華南師范大學2011研]

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解：（1）廠商生產合理區域就是平均產量最大值點（此時邊際產量等于平均產量）到邊際產量為0的點之間的區域。平均產量，令其一階導數為0，得平均產量最大時的勞動投入量為。邊際產量，令其為0，得邊際產量為0時的勞動投入量為（舍去0值），因此廠商生產合理區域為。

（2）利潤函數為，令其一階導數為0，得

，可得，（舍去，因為這是利潤最小化的投入量），所以最優要素投入量為。

【例4.2】分別求出下列生產函數的擴展線方程（要求列出適當的計算過程）

（1）

（2）

（3）[東北財經大學2011研]

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解：（1）對于生產函數來說，有：

，

由最優要素組合的均衡條件，可得：

整理得：，此即為該生產函數的擴展線方程。

（2）對于生產函數來說，有：

，

由最優要素組合的均衡條件，可得：

整理得：，此即為該生產函數的擴展線方程。

（3）生產函數是固定投入比例的生產函數，廠商按照的固定投入比例進行生產，且廠商的生產均衡點在直線上，即廠商的長期擴展線函數為。

【例4.3】單個生產要素的報酬遞減與規模報酬不變并不矛盾，為什么？[西安交通大學2007研；廈門大學2008研；浙江大學2008研]

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答：（1）邊際報酬遞減規律是指，在技術水平不變的條件下，在連續等量地把某一種可變生產要素增加到其他一種或幾種數量不變的生產要素上去的過程中，當這種可變要素的投入量連續增加并超過這個特定值時，增加該要素投入所帶來的邊際產量是遞減的。規模報酬不變是指在所有要素同時等量變動時，產量的變動幅度等于要素變動幅度。

（2）單個生產要素的報酬遞減與規模報酬不變并不矛盾。邊際報酬遞減是一個短期的概念，而規模報酬分析屬于長期生產理論問題，即研究的是長期。規模報酬問題討論的是一座工廠本身規模發生變化時產量的變化，而單個要素報酬問題涉及的則是廠房規模已經固定下來，增加可變要素時相應的產量變化。事實上，當廠商經營規模較大，在給定技術狀況下投入要素的效率固定不變，即規模報酬不變的同時，隨著可變要素投入增加到足以使固定要素得到最有效的利用后，繼續增加可變要素，總產量的增加同樣將會出現遞減現象。所以，規模報酬不變的廠商也將會面臨單個生產要素的報酬遞減現象。

舉例如下：對于生產函數（其中，，）而言，當時，該生產函數具有規模報酬不變的特征。但是，當時，勞動和資本都呈現邊際報酬遞減，即有，。因此，在生產過程中是有可能同時存在單個生產要素的邊際報酬遞減和規模報酬不變的情況的。