第一章　解題策略

一、代入法

代入法是最為常見的解題方法之一，是將題目的選項直接代入題干判斷正誤的方法。

代入法有多種形式，包括：

1．直接代入法

直接將選項代入題干中進行驗證的方法，適用題型包括同余、不定方程、多位數(shù)、年齡、和差倍比等。

【例1】四個連續(xù)的自然數(shù)的積為1680，它們的和為（　  ）。

A．26　

B．52　

C．20　 

D．28

【答案】A

【解析】設四個自然數(shù)中最小的為x，則四個自然數(shù)分別為：x，x＋1，x＋2，x＋3，則4個自然數(shù)的和為4x＋6，即4個數(shù)的和減去6能被4整除，代入選項，只有A符合。

2．特殊值代入法

將題干中某種未知量用特殊值（通常是方便計算）代入，求出結(jié)果。

【例2】一輛汽車以60千米/時的速度從A地開往B地，它又以40千米/時的速度從B地返回A地，則汽車行駛的平均速度為（　　）千米/小時。

A．50　

B．48　 

C．30　

D．20

【答案】B

【解析】假設AB兩地距離為120千米，則A地開往B地用了2小時，從B地返回A地用了3小時，來回總路程為240千米，則汽車行駛的平均速度為240÷5＝48千米/小時。

3．代入法的其他形式

代入法經(jīng)常和粗略判斷法、排除法、猜證結(jié)合法等綜合運用。

【例3】有粗細不同的兩支蠟燭，細蠟燭的長度是粗蠟燭長度的2倍，點完細蠟燭需要1小時，點完粗蠟燭需要2小時。有一次停電，將這樣兩支蠟燭同時點燃。來電時，發(fā)現(xiàn)兩支蠟燭所剩長度一樣，則此次停電共停了（　　）。

A．10分鐘 

B．20分鐘　 

C．40分鐘 

D．60分鐘

【答案】C

【解析】因為細蠟燭的長度是粗蠟燭長度的2倍，且點完細蠟燭需1個小時，則所求的時間應在30分鐘和60分鐘之間，把各選項代入，只有當停電時間為40分鐘時符合題意。因此C項正確。

二、數(shù)字特性法

常用的數(shù)字特性包括大小特性、奇偶特性、尾數(shù)特性、余數(shù)特性、整除特性、因子特性、冪次特性等多種特性方法，其中尤以整除特性最為常用。

解決這類問題，首先能迅速從題干中判定出答案所應符合的數(shù)字特性；其次應該熟悉基本的數(shù)字規(guī)律，包括奇偶性規(guī)律與整除規(guī)律。

1．奇偶運算基本法則

（1）基礎

①奇數(shù)±奇數(shù)＝偶數(shù)；

②偶數(shù)±偶數(shù)＝偶數(shù)；

③偶數(shù)±奇數(shù)＝奇數(shù)；

④奇數(shù)±偶數(shù)＝奇數(shù)。

（2）推論

①任意兩個數(shù)的和如果是奇數(shù)，那么差也是奇數(shù)；如果和是偶數(shù)，那么差也是偶數(shù)。

②任意兩個數(shù)的和或差是奇數(shù)，則兩數(shù)奇偶相反；和或差是偶數(shù)，則兩數(shù)奇偶相同。

【例4】某次測驗有50道判斷題，每做對一題得3分，不做或做錯一題倒扣1分，某學生共得82分，問答對題數(shù)和答錯題數(shù)（包括不做）相差多少？（　　）

A．33 

B．39

C．17　 

D．16

【答案】D

【解析】答對的題目＋答錯的題目＝50，是偶數(shù)，則答對的題目與答錯的題目的差也應是偶數(shù)，D項，16為偶數(shù)，符合題意。

2．整除判定基本法則

（1）能被2、4、8、5、25、125整除的數(shù)的數(shù)字特性

①能被2（或5）整除的數(shù)，末一位數(shù)字能被2（或5）整除；

②能被4（或25）整除的數(shù)，末兩位數(shù)字能被4（或25）整除；

③能被8（或125）整除的數(shù)，末三位數(shù)字能被8（或125）整除；

④一個數(shù)被2（或5）除得的余數(shù)，就是其末一位數(shù)字被2（或5）除得的余數(shù)；

⑤一個數(shù)被4（或25）除得的余數(shù)，就是其末兩位數(shù)字被4（或25）除得的余數(shù)；

⑥一個數(shù)被8（或125）除得的余數(shù)，就是其末三位數(shù)字被8（或125）除得的余數(shù)。

（2）能被3、9整除的數(shù)的數(shù)字特性

①能被3（或9）整除的數(shù)，各位數(shù)字和能被3（或9）整除。

②一個數(shù)被3（或9）除得的余數(shù)，就是其各位相加后被3（或9）除得的余數(shù)。

【例5】下列四個數(shù)都是六位數(shù)，X是比10小的自然數(shù)，Y是零，一定能同時被2、3、5整除的數(shù)是多少？（　　）

A．XXXYXX 

B．XYXYXY　 

C．XYYXYY

D．XYYXYX

【答案】B

【解析】這個六位數(shù)能被2、5整除，則末位為0；這個六位數(shù)能被3整除，則六位數(shù)各位數(shù)字和是3的倍數(shù)，因此B項正確。

【例6】六年級有三個班，一班占全年級的10/33，三班人數(shù)比二班多1/11，如果從三班調(diào)走4人后，和二班人數(shù)一樣多，問六年級共有多少人？（　　）

A．128

B．130   

C．132　  

D．136

【答案】C

【解析】由一班占全年級的10／33，說明全年級人數(shù)可被33整除，可迅速得到答案C項。

（3）倍數(shù)關(guān)系核心判定特征

①如果a:b＝m:n（m，n互質(zhì)），則a是m的倍數(shù)；b是n的倍數(shù)。

②如果a:b＝m:n（m，n互質(zhì)），則a±b應該是m±n的倍數(shù)。

③如果x＝y（m，n互質(zhì)），則x是m的倍數(shù)；y是n的倍數(shù)。