1.2　典型題（含考研真題）詳解

一、選擇題

1．根據亥姆霍茲定理，一個矢量位由它的（　  ）唯一確定。

A．旋度和梯度　

B．旋度和散度　

C．梯度和散度

【答案】B

2．導電媒質中的功率損耗反映了電路中的（　　）。

A．歐姆定律

B．基爾霍夫電壓定律

C．焦耳定律

【答案】C

二、填空題

1．矢量場函數的旋度在閉合的S上的面積分______。[華中科技大學2002研]

【答案】0

【解析】根據公式，因，所以0。

2．一個矢量場的散度在空間構成一個______場，一個矢量場的旋度構成一個新的______場。[北京航空航天大學2011研]

【答案】標量；矢量

3．靜電場中引入標量位的條件是______；時變場中引入矢量位的條件是______。[電子科技大學2011研]

【答案】；

4．標量場u=xyz在點x=1，y=1，z=1處方向導數最大值______，則此方向的單位矢量a為______。

【答案】；

5．旋度矢量的______恒等與零，梯度矢量的______恒等與零。

【答案】散度；旋度

6．在分析電磁場時，通常引入矢量位函數并令，其依據是______。

【答案】

三、判斷題

1．在電介質中，電場強度的散度為零處，也可能存在自由電荷。（　　）[電子科技大學2009研]

【答案】對

2．電磁場是具有確定物理意義的矢量場，這些矢量場在一定的區域內具有一定的分布規律，除有限個點或面以外，它們都是空間坐標的連續函數。（　　）

【答案】對

四、簡答題

1．論述矢位的物理意義。其中為光速。[國防科技大學2002研]

答：矢位的表達式說明，t時刻r處的場不是r'處的源產生的，而是時刻r'處的源產生的。這也說明，在觀察點r'處，場的變化滯后于源的變化，滯后的時間等于電磁波從r'點傳到r處所需的時間，因此常常被稱為滯后位。

2．簡述亥姆霍茲定理。[南京理工大學2008研]

答：矢量場的散度和旋度分別代表著形成矢量場的兩種資源，場的散度和旋度不能同時為0，當場的散度和旋度在空間的分布已確定時，矢量場本身也就唯一地確定了。

假如一矢量場（矢量點函數）的散度和旋度處處都已給定，則這個矢量場（矢量點函數）就確定了，最多只差一個附加常矢量。

空間區域V上的任意矢量場，如果它的散度、旋度和邊界條件為已知，則該矢量場唯一確定，并且可以表示為一無旋矢量場和一無散矢量場的疊加。

3．變壓器中鐵芯和線圈結構如圖1-1所示，試解釋為什么要采用薄鐵板組成疊片式鐵芯結構。[東南大學2003研]

圖1-1

解：大塊的導體在磁場中運動或處在變化的磁場中，都要產生感應電動勢，形成渦流，引起較大的渦流損耗。為減少渦流損耗，變壓器中廣泛采用薄鋼片疊壓制成的鐵心，利用鐵的高磁導率，產生強的磁場分布，該磁場的方向是沿著環形鐵片構成回路，這樣渦流被限制在狹窄的薄片之內，磁通穿過薄片的狹窄截面時，這些回路中的凈電動勢較小，回路的長度較大，無法形成很強的渦流，因此降低了鐵芯的發熱。

4．矢量能否表示某靜電場的電場強度？如能表示，相應的位函數是什么？如不能，說明為什么？[華中科技大學2003研]

解：因為，故該矢量能表示某靜電場的電場強度，相應的電位函數為

。

五、綜合分析題

1．在交變場中，在理想導體和理想介質的交界面上，電場強度和磁場強度滿足什么條件？[清華大學2003研]

解：設交界面法線方向由導體指向介質。在介質一側內邊界面上，電場強度和磁場強度滿足如下條件：，且導體一側內部電場、磁場均為零。

2．空氣中半徑為a的球形區域均勻充滿著體密度為的電荷。求球內和球外的電場強度矢量和電位移矢量，并求電位移矢量的散度和電場強度矢量的旋度。[南京理工大學2009研]

解：電場明顯具有球對稱性，沿半徑方向且大小只是r的函數。

對于球外的點（），以球心到場點的距離為半徑作一球面（高斯面），應用高斯定律的積分形勢，求得：

可得，寫成矢量形式：

對于球內的點（），用同樣的方法求得：

可得，即，寫成矢量形式：

由高斯定律的微分形式可知，電位移矢量的散度大小為該點電荷體密度，可得時，電位移矢量的散度；時，為0。

易知該電場為靜電場，靜電場是無旋場，即，則電場強度矢量的旋度為0。

3．利用散度定理及斯托克斯定理證明：對任一矢量函數有：。[華中科技大學2003研]

證明：在直角坐標系中，有

4．在直角坐標系中，推出標量場函數f與矢量場函數的乘積的散度公式。［華中科技大學2002研］

解：在直角坐標系中，由散度的公式可得：

整理可得：　

5．若，其中，，寫出f(r)的函數形式。［華中科技大學2002研］

解：已知有散度公式，所以：

已知 代入上式，可得：（K為常數）

6．已知電場為，問：該電場是均勻電場嗎？為什么？電場的大小為多少？方向余弦為多少？如果另有一場量，問：這兩個矢量是否垂直，為什么？［南京航空航天大學2008研］

解：（1）電場是勻強電場。因為電場與時間、空間坐標無關。

電場的大小為：　 

方向余弦為：　 

（2）兩個矢量相互垂直，因為。

7．已知：

求點P(1，－1，1)處的。

解：

8．已知，，求在點（1，0，2）的：

（1）；

（2）。

解：（1），

，

（2）

9．如圖1-2所示，xy平面上的一個邊長為2的正方形回路，此正方形的兩個邊分別與x軸和y軸相重合。求：（1）矢量沿此正方形回路的線積分；（2）驗證斯托克斯定理成立。

圖1-2

解：（1）矢量沿圓周的線積分：

（2）要驗證驗證斯托克斯定理成立，只需要證明即可。

因為：　  

而且： 

所以：　 

可見，斯托克斯定理成立。

10．已知，求在點（0，0，0）和點（1，1，1）處的梯度。

解：由于，所以：

，

11．運用散度定理計算下列積分：。其中S是z=0和z=(a²－x²－y²)^1/2所圍成的半球區域的外表面。

解：設，由散度定理，得：

12．已知矢量函數，試求：（1）；（2）對中心在原點的單位立方體的積分；（3）對該立方體表面的面積分，并驗證高斯定理。

解：（1）根據題意，可得：

（2）積分為：

（3）面積分為：

又因為：　 

所以有：　

則可得：　

即為高斯定理。

13．求函數在點（1，1，2）處沿方向角，，的方向的方向導數。

解：由題意，可得：

，==0，==3

，，

所以有：

14．利用直角坐標，證明 。其中f為標量函數，A為任意矢量函數。

證明：在直角坐標系中：，

所以 　

15．電荷Q均勻分布于半徑為a的球體內，求空間各點的電場強度，并由此計算電場強度的散度。（計算中所用公式：，）

解：做半徑為r的球（與電荷球體同心），由對稱性可知，在球面上各點的電場強度E相同，并沿徑向。

當r>a時，球面所圍的總電荷為Q。

由高斯定理得：，

當r<a時，球面所圍的電荷為：

由高斯定理得：，

計算電場強度E的散度

當r>a時：

當r>a時：