第3章　矩　陣

3.1　考點歸納

一、矩陣的運算

1．加法

（1）定義

設

是兩個s×n矩陣．則矩陣

稱為A和B的和．記為C＝A＋B．相加的矩陣必須要有相同的行數和列數．

（2）運算法則

①A＋（B＋C）＝（A＋B）＋C（結合律）；

②A＋B＝B＋A（交換律）；

③A十0＝A

④A＋（－A）＝0

⑤A－B＝A＋（－B）

⑥秩（A十B）≤秩（A）＋秩（B）．

2．乘法

（1）定義

設A＝（a_ik）_sn，B＝（b_kj）_nm，那么矩陣C＝（c_ij）_sm，其中

稱為A與B的乘積，記為C＝AB．

（2）運算法則

①在乘積的定義中，要求第二個矩陣的行數與第一個矩陣的列數相等；

②（AB）C＝A（BC）（結合律）；

③不適合交換律，即ABBA；

④A（B＋C）＝AB＋AC，（B＋C）＝BA＋CA（分配律）．

（3）單位矩陣

主對角線上的元素全是1，其余元素全是0的n×n矩陣

稱為n階單位矩陣，記為E_n，或者在不致引起含混的時候簡單寫為E．

3．數量乘法

（1）定義

矩陣

稱為矩陣A＝（a_ij）_sn與數k的數量乘積，記為kA．即用數k乘矩陣就是把矩陣的每個元素都乘上k．

（2）運算法則

①（k＋l）A＝kA＋lA；

②k（A＋B）＝kA＋kB；

③k（lA）＝（kl）A；

④1 A＝A；

⑥k（AB）＝（kA）B＝A（kB）；

⑦kA＝（kE）A＝A（kE），kE＋lE＝（k＋l）E，（kE）（lE）＝（kl）E，其中kE是數量矩陣．

4．轉置

（1）定義

設

A的轉置就是指矩陣

顯然，s×n矩陣的轉置是n×s矩陣．

（2）運算法則

①（A'）'＝A，

②（A＋B）'＝A'十B'，

③（AB）'＝B'A'，

④（kB）'＝kB'

二、矩陣乘積的行列式與秩

1．矩陣乘積的行列式

（1）行列式乘積定理

設A，B是數域P上的兩個n×n矩陣，那么｜AB｜＝｜A｜｜B｜，即矩陣乘積的行列式等于它的因子的行列式的乘積．可以推廣到多個矩陣乘積的情形．

（2）退化的定義

數域P上的n×n矩陣A若是滿足｜A｜≠0，則稱A為非退化的；若｜A｜＝0則稱A為退化的．

2．矩陣乘積的秩

設A是數域P上n×m矩陣，B是數域P上m×s矩陣，于是秩（AB）≤min[秩（A），秩（B）]，即乘積的秩不超過各因子的秩，此結論也可以推廣至多個矩陣乘積的情形．

三、矩陣的逆

1．逆矩陣

對于n階方陣A，如果有n階方陣B，使得AB＝BA＝E，則稱A是可逆的．這里E是n階單位矩陣，那么B就稱為A的逆矩陣，記為A^-1．

2．矩陣的跡

n階矩陣A的跡等于A的主對角線元素的總和，記為tr（A）．

3．伴隨矩陣

設A_ij是矩陣

中元素a_ij的代數余子式，矩陣

稱為A的伴隨矩陣．

4．定理

（1）矩陣A是可逆的充分必要條件是A非退化，而

（2）如果矩陣A，B可逆，那么A'與AB也可逆，且

（3）A是一個s×n矩陣，如果P是s×s可逆矩陣，Q是n×n可逆矩陣，那么

秩（A）＝秩（PA）＝秩（AQ）

（4）AA^＊＝A^＊A＝｜A｜E，提供了求伴隨矩陣的簡單方法．

5.N階逆矩陣的初等變換求法

（1）構造一個n×2n的矩陣（A｜E）；

（2）對矩陣（A｜E）只進行初等行變換，直到左部矩陣A變成單位矩陣E；

（3）此時，右部的矩陣就是所求的逆矩陣A^-1

四、矩陣的分塊

1．定義

設A＝（a_ik）_sn，B＝（b_jk）_nm，把A，B分成一些小矩陣：

　 （1）

　  （2）

其中每個A_ij是s_i×n_j小矩陣．每個B_ij是n_i×m_j，矩陣A的列的分法與矩陣B的行的分法一致，于是有矩陣

  （3）

其中

（4）

2．對角矩陣、準對角矩陣、三角矩陣

（1）對角矩陣

形式為

的矩陣，其中a_i是數（i＝1，2，…，l）．通常稱為對角矩陣．

（2）準對角矩陣

形式為

的矩陣．其中A_i是n_i×n_i，矩陣（i＝1，2，…，l），通常稱為準對角矩陣．

（3）三角矩陣

三角矩陣分上三角矩陣和下三角矩陣兩種．上三角矩陣的對角線左下方的系數全部為零，下三角矩陣的對角線右上方的系數全部為零．

五、初等矩陣

1．定義

由單位矩陣E經過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣．

2．等價矩陣

若矩陣B可以由矩陣A經過一系列初等變換得到，則稱A與B為等價的．兩個s×n階矩陣A、B等價的充分必要條件是存在s階可逆矩陣P與可逆的n階矩陣Q使得A＝PBQ．

3．初等變換

對一個s×n矩陣A作一初等行變換就相當于在A的左邊乘上相應的s×s初等矩陣；對A作一初等列變換就相當于在A的右邊乘上相應的n×n的初等矩陣．

4．標準形

任意以個s×n階矩陣A都與一形式為

的矩陣等價，它稱為矩陣A的標準形，主對角線上1的個數等于A的秩（1的個數可以是零）．

5．可逆矩陣與初等矩陣的關系

初等矩陣都是可逆矩陣，但反之不然．可逆矩陣總可以經過一系列初等行變化成單位矩陣．

六、分塊乘法的初等變換及應用舉例

1．分塊乘法的初等變換性質

（1）用分塊初等矩陣左乘分塊矩陣A，在保證可乘的情況下，其作用相當于對分塊矩陣A進行一次相應的初等行變換，

（2）用分塊初等矩陣右乘A，其作用相當于對分塊矩陣A進行了一次相應的初等列變換．

2．應用舉例

矩陣

A，D可逆，求T^-1

解：

及

易知