2.2　典型題（含考研真題）詳解

1．已知行列式，其中a₁，a₂，…，a_n－1是互不相同的數，證明P(x)是一個n － 1次多項式，并求出P(x)的最高次項的系數和P(x)的根．[北京交通大學2007研]

證明1：把行列式按第一行展開可得

其中

因此P(x)是一個至多n?1次的多項式，又由行列式性質可知P(a_i)＝0， ?1≤i≤n?1，結合已知條件得P(x)有n?1個兩兩不同的根，故P(x)是n?1次多項式，其根為a₁，…， a_n－1， 首項系數為(?1)^n＋1A_n－1．

證明2：直接利用范得蒙行列式計算方法求出P(x)＝Π_{1≤j≤i≤n－1}(a_i－a_j)Π_{1≤i≤n－1}(a_i－x)， 從而得出欲證結論．

2．設，計算下面的行列式：

[湖南大學2005研]

解：利用行列式的性質，由計算可得

＝

＝

＝

3．計算下列n階行列式：

[中山大學2004研]

解：行列式按第1行展開，然后接著對其中一個階行列式再次展開，得，因此

，．

4．計算

解：由第二降階公式，得

5．證明：

＝（a＋b＋c＋d）（a＋b－c－d）（a－b＋c－d）（a－b－c＋d）．

證明：各行都加到第一行，然后從第一行中提出公因子后再將各列都減去第一列，即得

第三行加到第二行，再將第一行加到第三行，得

從第二、三行中提出公因子，再第三列減去第一列，即得所要結果．

6．計算三對角線形行列式

解：將按第一列展開，得

整理得遞推公式

于是

由中的對稱性，可得

解方程組

當a≠β時，有

當a＝β時，取t≠0時，則

上式是關于t的多項式，t＝0時也成立，故

7．設是一個n階矩陣，．又設滿足為一個數，用行列式的定義求｜B｜．

解：由行列式的定義，得