第1章　極限與連續

1.1　考點精講

一、極限

1．數列的極限

（1）數列的定義

按一定順序排列的一列數稱為無窮數列，簡稱數列，記作{x_n}．

數列中的每一個數叫做數列的項，第n項叫做數列的一般項或通項．

數列{x_n}可看作自變量為正整數n的函數：x_n＝f（n），它的定義域是全體正整數，當自變量n依次取1，2，3等一切正整數時，對應的函數值就排成數列{x_n}．

（2）數列的極限

①定義

設{}為一數列，如果存在常數a，對于任意給定的正數ε（不論它多么小），總存在正整數N，使得當n＞N時，不等式都成立，那么就稱常數a是數列{}的極限，或者稱數列{}收斂于a，記為或．

如果不存在這樣的常數a，就說數列{}沒有極限，或者說數列{}是發散的，習慣上也說lim不存在．

②幾何意義

將常數a及數列x₁,x₂,x₃，…,x_n…在數軸上用它們的對應點表示出來，再在數軸上作點a的ε鄰域即開區間（a－ε，a＋ε）（圖1-1）．

圖1-1

所以當n＞N時，所有的點都落在開區間（a－ε，a＋ε）內，而只有有限個（至多只有N個）在這區間以外．

注意：在利用數列極限的定義來論證某個數a是數列{}的極限時，重要的是對于任意給定的正數ε，要能夠指出定義中所說的這種正整數N確實存在，但沒有必要去求最小的N．

③數列極限的性質

a．唯一性

如果數列{}收斂，那么它的極限唯一．

b．有界性

對于數列{}，如果存在著正數M，使得對于一切x都滿足不等式，則稱數列{}是有界的；如果這樣的正數M不存在，就說數列{}是無界的．

如果數列{}收斂，那么數列{}一定有界．

（3）四則運算法則

①設有數列{}和{}．如果，，那么

a．；

b．；

c．當（n＝1,2，…）且時，．

②如果，而，，那么．

③設函數y＝f[g（x）]是由函數u＝g（x）與函數y＝f（u）復合而成，f[g（x）]在點的某去心鄰域內有定義，若，且存在，當時，有，則．

（4）數列極限存在準則

①（夾逼準則）如果數列{}，{}及{}滿足下列條件：

a．

b．

那么數列{x_n}的極限存在，且．

②單調有界數列必有極限．

2．函數的極限

（1）函數極限的定義

設函數在點的某一去心鄰域內有定義，如果存在常數A，對于任意給定的正數（無論它多么小），總存在正數，使得當x滿足不等式時，對應的函數值都滿足不等式

那么常數A就叫做函數當時的極限，記作

（2）函數極限的性質

①唯一性

若存在，那么它的極限唯一．

②有界性

如果，那么存在常數M＞0和，使得當時，有．

③局部保號性

a．如果，且A＞0（或A＜0）那么存在常數，使得當時，有f（x）＞0（或f（x）＜0）．

b．如果，那么就存在著的某一去心領域，當時，就有．

c．如果在的某去心領域內，而且，那么．

（3）函數在一點處的極限

①當時函數f（x）的極限

如果當x無限地趨于x₀時，函數f（x）無限地趨于一個確定的常數A，則稱當時，函數f（x）的極限（值）為A，記作

或（當時）

②當時函數f（x）的極限

如果當x從x₀的左邊（或右邊）無限地趨于x₀時，函數f（x）無限地趨于一個確定的常數A，則稱當時，函數f（x）的左極限（或右極限）是A，記作

③左、右極限與函數極限的關系

當時，函數f（x）的極限等于A的充分必要條件是

④幾何意義

任意給定一正數ε，作平行于x軸的兩條直線y＝A＋ε和y＝A－ε，介于這兩條直線之間是一橫條區域．根據定義，對于給定的ε，存在著點的一個δ鄰域（－δ，＋δ），當y＝f（x）的圖形上的點的橫坐標x在鄰域（x₀－δ，x₀＋δ）內，但x≠x₀時，這些點的縱坐標f（x）滿足不等式，亦即這些點落在上面所作的橫條區域內（圖1-2）

圖1-2

（4）x趨于無窮大時函數的極限

①當x∞時函數f（x）的極限

如果當x∞時，函數f（x）無限地趨于一個確定的常數A，則稱當x∞時，函數f（x）的極限（值）是A，記作

或（當時）

②當x＋∞（或－∞）時，函數f（x）的極限

如果當x＋∞（或－∞）時，函數f（x）無限地趨于一個確定的常數A，則稱當x＋∞（或－∞）時，函數f（x）的極限（值）是A，記作

③幾何意義

從幾何上來說，的意義是：作直線y＝A－ε和y＝A＋ε，則總有一個正數X存在，使得當x＜－X或x＞X時，函數y＝f（x）的圖形位于這兩直線之間（圖1-3）．這時，直線y＝A是函數y＝f（x）的圖形的水平漸近線．

圖1-3

（5）函數極限的性質

①（唯一性）如果存在，則極限值必唯一．

②（夾逼定理）設函數f（x），g（x），在點x_o的某個鄰域內（x_o可除外）滿足條件：

a．

b．；

則

（6）四則運算法則

如果limf（x）＝A，limg（x）＝B，則：

①

②

③

上述運算法則不難推廣到有限多個函數的代數和及乘積的情況，因而有以下的推論．

推論  設都存在，k為常數，n為正整數，則有：

①

②

③

3．無窮小量與無窮大量

（1）無窮小量與無窮大量的定義

①無窮小量

如果自變量x在某個變化過程中（xx₀或x∞）函數f（x）的極限值為零，則稱在該變化過程中，f（x）為無窮小量，記作．

②無窮大量

如果當自變量xx₀（或x∞）的過程中，經過某一時刻后f（x）的絕對值可以大于事先任意給定的充分大的正數M，則稱在該變化過程中，f（x）為無窮大量，記作．

（2）無窮小量與無窮大量的關系

在同一變化過程中，如果f（x）為無窮大量，則為無窮小量；反之，如果f（x）為無窮小量，且f（x）≠0，則為無窮大量．

（3）無窮小量的性質

①有限個無窮小量之和仍為無窮小量．

②有界變量與無窮小量之積仍為無窮小量．

③有限個無窮小量之積仍為無窮小量．

（4）無窮小量的比較

設α和β是同一變化過程中的無窮小量，即．

①高階無窮小

如果，則稱α是比β高階的無窮小量，記為；

②同階無窮小

如果，則稱α是與β同階的無窮小量；

③等價無窮小

如果，則稱α與β是等價無窮小量，記為；

④低階無窮小

如果，則稱α是比β低階的無窮小量．

4．兩個重要極限

（1）

它可以用下面更直觀的結構式表示

既可以表示自變量x又可以是x的函數，而是表示當時必有即當為無窮小量時，上式的極限值才是1．

（2）或對數列有

其結構式可表示為

其中方塊的含義同前．

二、連續

1．定義

（1）函數在一點處連續的定義

設函數y＝f（x）在點的某一鄰域內有定義，如果

或

那么就稱函數y＝f（x）在點連續．

（2）左連續和右連續

如果存在且等于f（），即f（＋）＝f（），就說函數f（x）在點右連續．如果存在且等于f（），即f（-）＝f（），就說函數f（x）在點左連續．

（3）函數在一點處連續的充分必要條件

函數在點處連續函數在點處左連續且右連續

（4）函數的間斷點

①間斷點的定義

設函數f（x）在點的某去心鄰域內有定義，如果函數f（x）：

a．在x＝沒有定義；

b．雖在x＝有定義，但limf（x）不存在；

c．雖在x＝有定義，且limf（x）存在，但limf（x）≠f（x₀）．

則函數f（x）在點為不連續，而點稱為函數f（x）的不連續點或間斷點．

②間斷點的分類

a．第一類間斷點

設是函數f（x）的間斷點，若左極限和右極限都存在，則是函數f（x）的第一類間斷點．如果左極限等于右極限，則是可去間斷點；如果左極限不等于右極限，則是跳躍間斷點．

b．第二類間斷點

不屬于第一類間斷點的間斷點稱為第二類間斷點．無窮間斷點和振蕩間斷點屬于第二類間斷點．

2．函數在一點處的連續的性質

（1）連續函數的算術運算

若函數，在點處連續，則，，在點處也連續．

（2）復合函數的連續性

①若，函數在點a處連續，則有；

②設函數在點處連續，且，而函數在點處連續，則復合函數在點處也連續．

3．閉區間上函數連續的性質

（1）有界性定理

在閉區間上的連續函數一定在該區間上有界．

（2）最值定理

在閉區間上連續的函數一定有最大值和最小值．

（3）零點定理

設函數在閉區間上連續，且（與異號），那么在開區間內至少有一點

，使．

（4）介值定理

設函數在閉區間上連續，且在這區間的端點取不同的函數值及，那么對于A與B之間的任意數C，在開區間內至少有一點ξ使得f（ξ）＝C（a＜ξ＜b）．

4．初等函數的連續性

（1）基本初等函數在其定義域內是連續的．

①三角函數及反三角函數在定義域內是連續的．

②指數函數在區間內單調且連續．

③對數函數在內單調且連續．

④冪函數在內連續．

（2）一切初等函數在其定義區間內都是連續的．

（3）代入法求初等函數的極限

（定義區間）．