五、導　數

1．導數的概念及其幾何意義

（１）概念

①設函數y＝f（x）在點x₀的某一鄰域內有定義，若自變量x在點x₀處的改變量為△x（x₀+△x仍在該鄰域內），函數y＝f（x）相應地有改變量如果極限

存在，則稱此極限值為函數y＝f（x）在點x₀處的導數，記作或，即

此時稱函數y＝f（x）在點x₀處可導．如果上述極限不存在，則稱函數y＝f（x）在點x₀處不可導．

②導數定義的等價形式

，

如果x₀＝0，有等價形式

如果y＝f（x）在開區間（a，b）內的每一點都可導，則稱函數f（x）在區間（a，b）內可導，由于對于（a，b）內每一點x，都對應一個導數值f′（x），因此又稱此f′（x）為函數f（x）在（a，b）內的導函數，簡稱為導數，記作f′（x），y′或

f（x）在點x₀的導數f′（x₀）可以認作是導函數f′（x）在點x＝x₀處的函數值，即

注意

③左、右導數

如果y＝f（x）在點x₀及其左側鄰域內有定義，當存在時，則稱該極限值為f（x）在點x₀處的左導數，記為．同理定義右導數

④性質

函數y＝f（x）在點x₀處可導的充分必要條件是它在該點處的左導數與右導數都存在且相等，左導數與右導數常用于判定分段函數在其分段點處的導數，通常說y＝f（x）在[a，b]上可導，是指函數f（x）在（a，b）內可導，且在左端點a處右導數存在，在右端點b處左導數存在．

（2）幾何意義

如果函數y＝f（x）在點x₀處的導數f′（x₀）存在，則在幾何上表明曲線y＝f（x）在點（x₀，f（x₀））處存在切線，且切線的斜率為f′（x₀）．

由解析幾何知識可知，曲線y＝f（x）在點（x₀,f（x₀））處的切線方程為

如果，則此時曲線y＝f（x）在點（x₀,f（x₀））處的法線方程為

如果f′（x₀）＝0，則y＝f（x₀）即為曲線y＝f（x）在點（x₀,f（x₀））處的水平切線．

2．導數公式

（1）常數（c為常數）的導數

（2）冪函數的導數

（3）多項式函數的導數

（4）補充

①求常數與函數乘積的導數，常數因子可以提到括號外

②有限個函數的代數和的導數等于他們導數的代數和

3．單調區間、極值與最值

（1）單調區間

①若在內，則函數在內單調增加，區間稱為函數的單調增區間；

②若在內，則函數在內單調減少，區間稱為函數的單調減區間．

（2）極值

①定義

a．極大值

設函數在區間內有定義，是區間內的一個點．如果對于附近的任意點，均成立，則稱是函數的一個極大值，使函數取得極大值的點稱為極大值點．

b．極小值

設函數在區間內有定義，是區間內的一個點．如果對于附近的任意點，均成立，則稱是函數的一個極小值，使函數取得極小值的點稱為極小值點．

②極值判別法

設

a．當時，；當時，，則函數在處取得極大值．

b．當時，；當時，，則函數在處取得極小值．

c．在的兩側，具有相同的符號，則函數不在處取得極值．

③求函數的極值

a．求出函數的導數

b．令，求出函數的駐點，即使得的點

c．以駐點為分界點，將函數的定義域分成若干個子區間

d．確定各子區間的符號

（3）最值

設函數在區間內只取得有限個極大值與極小值，把這有限個極值與在區間端點的值和合在一起，其中最大的就是在區間上的最大值，最小的就是在區間上的最小值．

4．導數的應用

（1）求切線方程

①求曲線在點處的切線斜率

②運用直線的點斜式求直線方程

（2）求簡單實際問題的最大值與最小值