1.2　典型題（含歷年真題）詳解

一、選擇題

1．圖為一做簡諧運動的質點的位移x隨時間t變化的圖像，由圖可知，從t＝0開始，經過2s后，此質點的位移x和路程s分別為（　　）。[2013年真題]

A．x＝0，s＝6cm

B．x＝6cm，s＝12cm

C．x＝0，s＝12cm

D．x＝6cm，s＝6cm

【答案】C

【解析】由圖可知，質點做簡諧運動的周期是2s，振幅是3cm。在t＝2s時刻，質點位于簡諧運動的平衡位置，所以它的位移是0。在這期間，質點經歷了一個周期的運動，它所經過的路程是振幅的4倍，即3cm×4＝12cm。

2．一彈簧振子做簡諧運動，關于振子速度和加速度的大小，下列說法正確的是（　?。?span id="mmncgcy" class="ZhenTiTag">[2012年真題]

A．振子加速的過程中，加速度越大，速度越大

B．振子減速的過程中，加速度越小，速度越小

C．振子的加速度不為零時，其速度不能為零

D．振子的速度最大時，其加速度為零

【答案】D

【解析】A項，當質點由端點向平衡位置運動時，做加速運動，在這個運動過程中加速度減小，速度增大，加速度越小，速度越大，即加速度越大，速度越小。B項，當質點由平衡位置向端點運動時，做減速運動，在這個運動過程中加速度增大，速度減小，加速度越大，速度越小，即加速度越小，速度越大。C項，當質點運動到端點時，速度為零，加速度最大，但不為零。D項，當質點在平衡位置時，速度最大，加速度為零。

3．如圖所示，用輕繩OA、OB將質量為m的物體懸掛在O點處達到平衡，已知繩OB水平，繩OA與豎直方向的夾角為θ，將A點向左移動，同時縮短OA繩的長度，保持O點在此過程中的位置不變。在這個過程中，關于繩OA、OB所受的拉力F_TA、F_TB，下列說法正確的是（　?。?。[2011年真題]

A．F_TA和F_TB都逐漸減小

B．F_TA逐漸增大，F_TB逐漸減小

c．F_TA和F_TB都逐漸增大

D．F_TA逐漸減小，F_TB逐漸增大

【答案】A

【解析】O點受到三個作用力：繩子OA的拉力F_TA，向右傾斜向上，繩子OB的拉力F_TB，水平向左，懸掛著物體的繩子的拉力F_Tm，豎直向下。因為物體靜止平衡，所以懸掛物體的繩子對物體的拉力等于物體的重力G，根據牛頓第三定律，可得物體對繩子的拉力F_Tm＝mg。對O點寫出力的平衡方程，

在水平方向有

在豎直方向有

由此解得

聯立可得

由題意可知，當A點向左移動時，θ角減小，cosθ增大，tanθ減小，因此，F_TA減小，F_TB也減小、

4．一質點在相等的時間內分別沿、、運動，如下圖所示，則（　?。?/p>

A．沿三種路徑的平均速度相等

B．沿的平均速度最小

C．沿的平均速度最大

D．沿的平均速度最大

【答案】A

【解析】平均速度等于位移除以時間。當質點沿三條不同的路徑運動時，因為運動的起點A和運動的終點B相同，所以位移相同。

5．汽車在第1s內通過1m，第2s內通過2m，第3s內通過3m，第ns內通過nm，則汽車的運動是（　　）。

A．初速度為零的勻加速直線運動

B．初速度不為零的勻加速直線運動

C．勻減速直線運動

D．變加速直線運動

【答案】B

【解析】做勻加速直線運動的物體在第ns到第（n＋1）s之間的路程是

同理，在第（n－1）s到第ns之間的路程是

因此，相鄰的兩段時間中的路程差是

即做勻加速直線運動的物體每隔1s的路程差是相等的，它在數值上等于加速度。有時可以根據這個特點來判斷物體是否做勻加速直線運動。

6．物體在光滑水平面上由靜止開始運動，它受到水平變力F的作用，F的變化情形如下圖所示。物體在做變速運動時（　?。?。

A．速度增大，加速度減小

B．速度減小，加速度也減小

C．速度增大，加速度也增大

D．速度減小，加速度增大

【答案】A

【解析】由圖可知，F隨時間減小而減小，因此物體運動的加速度也在減小。因外力的方向不變，所以物體做加速運動，速度不斷地增大。

7．如圖所示，質量為m的兩個物體緊挨著放在光滑的水平桌面上，用恒力F推m₁，則m₁對m₂的推力為（　　）。

A．F

B．

C．0

D．

【答案】D

【解析】因為m₁和m₂緊挨在一起，所以可以把它們看成一個物體。根據牛頓第二定律知，它們一起運動的加速度為

再對m₂用牛頓第二定律，得m₂受到m₁的作用力為

8．速度的大小和方向都不斷改變，但加速度的大小和方向都不變的運動是（　　）。

A．勻速圓周運動

B．自由落體運動

C．平拋運動

D．豎直上拋運動

【答案】C

【解析】A項，在勻速圓周運動中，速度方向時刻變化，但速度大小不變。B項，在自由落體運動中，速度方向不變，但速度大小不斷改變。C項，平拋運動中速度的大小和方向不斷變化，而加速度為重力加速度g，大小和方向都不變。D項，在豎直上拋運動中，速度大小不斷改變，但在上升和下落時，速度的方向不變。

9．在水平勻速飛行的飛機上，相隔1s先后投放兩個物體A和B。不計空氣阻力，在物體落地后，A將在（　　）。

A．B的前方

B．B的后方

C．B的正下方

D．B的前下方

【答案】C

【解析】A、B都做平拋運動，平拋運動可以分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動。A和B在水平方向的運動情況完全相同，都是以飛機的飛行速度做勻速直線運動，因此它們在水平方向的位移相同。

10．如下圖所示，兩塊物體與地面的摩擦因數相等，它們的質量也相等，作用在兩物體上的力與水平方向的夾角都是θ，但一個是拉力，另一個是推力?，F在使兩物體在地面上勻速地通過相同的位移，則（　?。?。

 

A．F₁做功大

B．F₂做功大

C．F₁、F₂做的功相等

D．F₁、F₂做的功的大小無法比較

【答案】B

【解析】F₁、F₂在水平方向的分力為運動的動力，摩擦力為運動的阻力。根據題意，物體做勻速直線運動，即動力與摩擦力的數值相等。在兩種不同力的作用下，產生的正壓力不等，摩擦力也就不等，F₁、F₂大小不相等，它們做的功也不相等。由于F₂在垂直方向上的分力垂直向下，而F₁在垂直方向上的分力垂直向上，由垂直方向力的平衡明顯可知（b）圖中的正壓力較大，也就是摩擦力較大。水平方向力的平衡可求得F₁小于F₂，因此在通過相同位移時F₂做功大。

11．一個做勻速圓周運動的物體，它運動的半徑不變，周期減小到原來的1／4，則它的向心力是原來的（　?。?/p>

A．2倍

B．4倍

C．8倍

D．16倍

【答案】D

【解析】將代入向心力公式中，得，因為R不變，T′＝T/4時，向心力F′＝16F。

12．一根細棒，棒端固定一個小球，在豎直平面內繞另一端O點做圓周運動。已知：棒長是1m，小球質量是0.5kg，在最高點的速度是2m／s，則細棒在此位置上受到（　　）。（取g＝10m／s2）

A．大小為3N的拉力作用

B．大小為3N的壓力作用

C．大小為7N的拉力作用

D．大小為7N的壓力作用

【答案】B

【解析】設細棒對小球的彈力為F，根據向心力公式有，由此得，代入數據得，表明F_N的方向與G相反，豎直向上。根據牛頓第三定律，小球對細棒的作用力方向豎直向下，是壓力。

13．兩個質量不同的物體A和B，分別從兩個高度相等的光滑斜面和圓弧斜坡的頂點滑向底部，如下圖所示。設它們的初速度為零，則（　?。?/p>

A．下滑過程中重力做功相等

B．它們在頂點時的機械能相等

C．它們到達底部時的動能相等

D．它們到達底部時速度的大小相等

【答案】D

【解析】選地面為重力勢能零點，則兩球在頂點的重力勢能為E_PA＝m_Agh，E_PB＝m_Bgh。因為兩球在頂點的動能為零，所以它們在頂點的機械能等于它們的重力勢能，即E_A＝E_PA＝m_Agh，E_B＝E_PB＝m_Bgh。由題意知，m_A≠m_B，因此E_A≠E_B。A項，當A、B滑到底部時，重力做功等于重力勢能的減少，即W_A＝m_Agh，W_B＝m_Bgh，可見W_A≠W_B。B項，A、B的質量不等，在相同的高度，勢能不等，無初速度，所以機械能不等。C項，A、B在下滑過程中只有重力做功，機械能守恒。因此，在底部時A、B的動能為E_kA＝E_A＝m_Agh，E_kB＝E_B＝m_Bgh，可見，E_kA≠E_kB。D項，由機械能守恒定律知，由此得，因此，A、B到底部時的速度大小相等。

14．兩個質量相同且處于靜止狀態的物體，從兩個高度相等但傾角不同的光滑斜面頂端滑到底端，兩物體（　　）。

A．落地時速度相同

B．落地時動量相同

C．落地時動能相等

D．落地時間相等

【答案】C

【解析】因為斜面光滑，所以物體下滑時只有重力做功，機械能守恒。兩物體的質量相等，且斜面的高度相同，因此重力勢能相等，由此可知它們落地時動能相等。落地時速度大小相等，但因為斜面的傾角不同，即速度的方向不同，所以，速度也不同。同理，兩物體動量的大小相等但方向不同，動量也不同。根據常識可知，落地時間t與傾角α的大小有關，具體時間可推算得出。

15．兩個物體相互作用時，如果受到的外力矢量和為零，那么（　?。?/p>

A．兩物體的總動量守恒，總動能不變

B．兩物體的總動量守恒，總動能不一定不變

C．兩物體的總動量不守恒，總動能改變

D．兩物體的總動量不守恒，總動能不變

【答案】B

【解析】CD兩項，把兩個物體作為系統，因為系統所受外力的矢量和為零，所以系統的總動量守恒，但系統的動量守恒并不表示動能一定不變。A項，不一定正確，例如做完全非彈性碰撞的物體，動量守恒，但碰撞后的總動能有損失。

16．質點做簡諧運動，它的振動圖像如下圖所示。當t＝1.5s時，質點的運動情況是（　?。?。

A．加速度向下，速度向上

B．加速度向下，速度向下

C．加速度向上，速度向上

D．加速度向上，速度向下

【答案】D

【解析】由上圖可見，當t＝1.5s時質點的位移沿x軸的負方向，因為簡諧運動的加速度方向與位移方向相反，所以質點的加速度沿x軸的正方向。從振動圖像中還可以看到，當t稍大于1.5s時，質點的向下位移繼續增大，這表明t＝1.5s時質點速度向下。

17．波動從一種介質傳播到另一種介質時，不變的物理量是（　?。?。

A．傳播方向

B．波的頻率

C．波長

D．波速

【答案】B

【解析】A項，波在介質的界面會發生折射，傳播方向會發生變化。B項，當波動從一種介質進入另一種介質時，波的頻率保持不變。C項，根據波速公式，在不同的介質中，波速不同，波長也不同。D項，因為波速決定于介質的性質，所以波在不同的介質中傳播的速度不同。

18．簡諧波某時刻的波形如圖所示，A點在此時刻是向下運動的，則（　?。?。

A．波向右傳播，B點向上運動

B．波向右傳播，B點向下運動

C．波向左傳播，B點向上運動

D．波向左傳播，B點向下運動

【答案】C

【解析】由波形圖知，質點A左面位于波峰處的質點正要向下運動，但A已經由波峰的位置向下運動了一段位移，這表明A點的振動比它左面的質點超前。由此可知波動向左傳播；在質點B左面波谷處的質點，正要向上運動，因為B的振動超前，所以質點B已通過波谷而向上運動。

19．如下圖所示，一個質量為m的小球，在外力作用下，在豎直平面內沿逆時針方向做勻速圓周運動，速率為v，在小球由最低點A運動到最高點B的過程中，外力的沖量的大小是（　　）。（取水平向右為正方向）

A．2mv

B．-2mv

C．mv

D．-mv

【答案】B

【解析】以水平向右為正，質點在A處的速度為正，V_A＝V。質點在B處的速度水平向左，為負，V_B＝－V。因此，質點由A運動到B時，動量的增量為

Δp＝p_B－p_A＝－2mv

由動量定理知，合外力的沖量為

I＝Δp＝－2mv。

二、填空題

1．如下圖所示，用力F把質量m＝0.5kg的物體壓在豎直的墻壁上。當F＝100N時，物體靜止不動，這時，墻壁所受的正壓力是____N，物體所受的摩擦力是____N；當F＝40N時，物體恰好開始勻速下落，則物體與墻壁間的摩擦因數是---____。

【答案】100；4.9；0.12

【解析】物體受到重力G、外力F、墻壁的彈力F_N和摩擦力F_f的作用。根據平衡條件，在水平方向有

F_N－F＝0

在豎直方向有

F_f－G＝0

因此，當F＝100N時，F_N＝F＝100N，物體對墻壁的正壓力也是100N。

摩擦力F_f＝mg＝0.5×9.8N＝4.9N。

根據題意，F＝40N時，物體開始勻速運動，因此滑動摩擦因數為

2．如下圖所示，小球A用細線懸于O點，并靜止在傾角為α＝30°的光滑斜面上，懸線與豎直方向的夾角也是α。已知球的質量為m，則懸線對球的拉力是____，球對斜面的壓力是____。

【答案】0.58mg；0.58mg

【解析】小球受力圖如下圖所示。

在水平方向上，根據受力平衡，有

F_Nsinα－F_Tsinα＝0 ①

在豎直方向上，根據受力平衡，有

F_Ncosα＋F_Tcosα＝G＝mg  ②

由式①、②可得

3．如下圖所示，球的質量為m，靠著墻角放置，墻與地面的夾角為60°。在P點加一水平向左的推力F，則墻對球的壓力是____，地面對球的支持力是____。

【答案】；mg＋Ftan30°

【解析】以球為研究對象，球受四個力的作用：重力G、推力F、墻的壓力和地面的支持力F_N。

根據平衡方程，在水平方向有

cos30°－F＝0   ①

在豎直方向有

F_N－G－sin30°＝0  ②

由式①得

由式②得

F_N＝G＋sin30°＝mg＋Ftan30°

4．物體做勻變速直線運動，速度在2s內由20m／s變為16m／s，則物體加速度的大小是____m/s2，加速度的方向____。物體開始運動的初速度是40m／s，物體靜止時運動的路程是____m。

【答案】2；與速度方向相反；400

【解析】由勻變速直線運動的速度公式v＝v₀＋at，得加速度為

代入數據得

a為負值表明加速度方向與速度方向相反，物體做勻減速直線運動。由速度-位移公式v2＝v₀2＋2as，得

把數據代入得

5．做自由落體運動的物體通過最后10m位移所用的時間是1s，物體落地時間是____s，開始下落的高度是____m。

【答案】1.52；11.3

【解析】設落地時刻是t_f，，則落地前1s的時刻是t_f－1。由自由落體運動的位移公式知（t_f－1）時間的位移是

由此知最后1s時間內的位移是

根據題意，s＝10m，代入上式得

解得物體下落時間為

物體下落時的高度為

6．物體無初速度從斜面上勻加速下滑后，又在平面上勻速滑行。若它在斜面和平面上運動的時間都是2s，通過的總路程是12m，則物體在斜面上運動的加速度是____m／s2，物體在平面上運動的速度是____m／s。

【答案】2；4

【解析】勻加速運動的物體經時間t后的末速度為

v＝at　 （1）

物體通過的路程為

在平面勻速滑行的物體經時間t′后的路程為

s₂＝vt′

把式（1）代入上式，得

s₂＝att′  （3）

根據題意，有t＝t′，由式（2）、（3）得物體運動的總路程為

由此解得

由式（1）得物體在平面上運動的速度為

v＝at＝2×2m/s＝4m/s

7．甲、乙兩車在同一地點沿相同方向同時開始運動，甲車以36km/h的速度勻速前進，乙車做初速度為零的勻加速直線運動，加速度為0.1m/s2。兩車出發后在____s時再相遇，此時它們的位移是____m。

【答案】200；2000

【解析】甲車做勻速直線運動，位移是

s_甲＝vt

乙車做初速度為零的勻加速直線運動，位移是

兩車相遇時位移相等，即

s_甲＝s_乙

由此得

解得相遇時間是

把

代入上式得

相遇時甲、乙的位移是

s_甲＝s_乙＝vt＝10×200m＝2000m

8．用彈簧秤拉一物體，使其在水平面上運動，勻速運動時彈簧秤的讀數是0.4N；加速度為0.85m／s2時，讀數是2.1N，則物體所受的摩擦力是____N，物體的質量是____kg。

【答案】0.4；2

【解析】物體在水平方向上受兩個力的作用：彈簧的拉力和摩擦力，彈簧的拉力就是彈簧秤的讀數。

當物體做勻速直線運動時，加速度a＝0，根據牛頓第二定律，物體所受的水平方向的拉力等于摩擦力，因此摩擦力為

F′＝0.4N

當物體以加速度a運動時，根據牛頓第二定律有

F-F′＝ma

由此解得物體的質量為

9．一個人用10m／s的速度踢質量為0.2kg的足球，球在地面上運動一段距離后，滾上斜面，在斜面上1m高處速度變為零。則人踢球時做功是_____J，球在運動中克服摩擦力的功是______J。

【答案】10；8.04

【解析】球在運動過程中受重力和摩擦力作用。由于球的位置升高，因此重力做負功，顯然摩擦力也做負功。由動能定理知，足球克服重力和摩擦力做的功等于足球動能的減少。

人在踢球時所做的功等于球的初動能，即

足球克服重力做的功為

︱W_G︱＝mgh

足球克服摩擦力做的功為

10．起重機把重物從地面以加速度a＝2m／s2勻加速升高5m，重物的質量是50kg。鋼繩的拉力是500N，拉力的功是______J。

【答案】2.95×103

【解析】物體受繩子的拉力F_T和重力G的作用。物體運動的牛頓方程為

F_T－mg＝ma

由此得

F_T＝m（g＋a）＝50×（9.8＋2）＝590N

因此，拉力做的功是

W_T＝FTh＝500×5J＝2.95×103J

11．如下圖所示，細桿的一端是轉軸O，另一端固定一個小球A，細桿可繞O自由轉動，桿長是l?，F在給小球以水平速度v₀，使它從豎直位置開始繞O轉動。為了使A能通過最高點，v₀至少是______。

【答案】

【解析】小球在轉動過程中只有重力對它做功，所以機械能守恒。對于用細桿連接的小球來說，小球通過最高點的條件是它在最高點的速度v≥0。

取圓周的最低點為重力勢能的零點，則小球運動初狀態的機械能是

它在最高點的機械能為

因為機械能守恒

E₀＝E

所以

由此得

小球能通過最高點的條件是v≥0，代入上式得

12．月球繞地球公轉的軌道近似為圓周，圓周半徑為3.84×105km，公轉周期近似27.3d。月球繞地球公轉的線速度是____m／s，角速度是____rad／s。

【答案】10.2×102；2.66×10-6

【解析】周期

角速度

線速度為v＝Rω＝3.84×105×103×2.66×10-6m／s＝10.2×102m／s

13．用4m長的鋼絲把質量為200kg的重物掛在吊車上，吊車水平移動的速度是5m／s。當吊車緊急制動時，鋼絲對重物的拉力是____N。

【答案】3210

【解析】當吊車緊急剎車時，物體做圓周運動，物體的位置在圓周的最低點，根據向心力公式有，由此得繩子的拉力為，把數據代入得

。

14．質量m＝3.0kg的物體放置在光滑的水平桌面上，在F＝12N的水平力作用下，速度由10m／s增加到22m／s，力作用的時間是______s。

【答案】3.0

【解析】根據動量定理知，F的沖量等于物體動量的增量。對物體用動量定理有Ft＝mv－mv₀，即，代入數據得。

15．下圖是簡諧波某時刻的波形圖。已知波的頻率為0.5Hz，P點的速度向下。則波速是____m／s，波的傳播方向是____。

【答案】4；從左向右

【解析】由波形圖知，波長λ＝8m，因此波速為v＝λf＝8×0.5m／s＝4m／s。由波形圖知，當P點還在向下運動時，處在它右面波谷處的質點已結束向下運動而要開始向上運動了。因此P點的振動落后于它右面的質點，這表明波動從左向右傳播。

三、計算題

1．如下圖所示，物體放在傾角為30°的斜面上，物體靜止不動，已知物體的重量是10N，水平推力F為5N，求：

（1）物體對斜面的正壓力；

（2）物體與斜面間的摩擦力。

【答案】（1）11.2N；（2）0.67N

【解析】物體受四個力作用：重力G、外力F、斜面的支持力F_N和靜摩擦力F_f。如果F_f不存在，重力沿斜面方向的分力Gsin30°大于外力F沿斜面方向向上的分力Fcos30°，因此物體相對運動趨勢的方向沿斜面向下，靜摩擦力F_f沿斜面向上。

取斜面方向和垂直于斜面方向為分解力的兩個方向。根據平衡條件，在斜面方向有

Fcos30°＋F_f－Gsin30°＝0  ①

在垂直于斜面方向有

F_N－Fsin30°－Gcos30°＝0　  　②

由式①得

F_f＝Gsin30°－Fcos30°＝（10sin30°－5×cos30°）N＝0.67N

由式②得

F_N＝Fsin30°＋Gcos30°＝（5×sin30°＋10×cos30°）N＝11.2N

2．如下圖所示，質量為m的擺球在A點從靜止開始運動，到最低點B處，線被拉斷。已知線長L＝1.6m，懸點O離地面為6.6m，空氣阻力不計，問：擺球落點距C多遠？（取g＝10m／s2）

【答案】4m

【解析】小球的運動分成兩個階段：第一個階段是小球從A點擺到B點，在這過程中只有重力做功，機械能守恒；第二階段是從B點開始以水平速度做平拋運動。解題時先根據機械能守恒定律求出小球在B點的速度，再用平拋運動的公式求小球的水平射程。

選B點為重力勢能零點，則根據機械能守恒定律有

小球從B點開始以水平速度v_B做平拋運動。從圖易見，小球落地點離C點的距離就等于平拋運動的水平射程。因此

顯然

代入上式得

把式代入得

代入數據得

3．如下圖（a）所示，繩的一端系小球，另一端固定在天花板上，繩長l＝0.5m。小球在水平面內做勻速圓周運動。由于小球與繩子保持在圓錐面上運動，因此這種裝置叫做圓錐擺。設小球轉速為60r／min，求這時繩與豎直方向之間的角度θ。（取g＝10m／s2）

【答案】60°

【解析】以小球為研究對象。小球受繩的拉力F和重力G的作用，如圖（b）所示。小球在水平面內做勻速圓周運動，拉力和重力的合力就是小球勻速圓周運動的向心力F。

（a）　  （b）　 （c）

取平面直角坐標系如圖（c）所示，繩子拉力的分量為

F_Tx＝F_Tsinθ，F_Ty＝F_Tcosθ

水平方向的牛頓方程為

F_Tx＝F_Tsinθ＝F 　 （1）

豎直方向的牛頓方程為

F_Ty－G＝0

即

F_Ty＝F_Tcosθ＝mg ?。?）

由式（1）、（2）得

  （3）

根據向心力公式知F＝mω2，把F代入式（3）得

把ω＝2πn，r＝ιsinθ代入，解得

代入數據算得

4．如下圖（a）所示，車廂中懸掛著一個質量為m的小球A，它離開車廂地板的高度h＝0.8m，當車廂沿水平方向勻加速運動時，繩子與豎直方向的夾角θ＝37°，現在把繩子剪斷，問當A落在地板上時，車廂比小球多向前運動了多少距離？（取）

（a）

（b）

【答案】0.6m

【解析】以小球為研究對象，它受重力和繩子拉力的作用，根據繩子與豎直方向的夾角可以決定車廂運動的加速度，當繩子剪斷后，小球做平拋運動，而車廂繼續做勻加速直線運動。小球的受力圖如上圖（b）所示，對它寫出牛頓方程式有

F_Tcosθ-mg＝0，F_Tsinθ＝ma

得

　  　 （1）

剪斷繩子后小球做平拋運動。它落地的時間是

　 （2）

設繩子剪斷時小球和車廂的速度為v₀，則小球落地時水平方向的位移為

s_球＝v_0t

車廂在t時間內前進的位移為

因此車廂比小球多前進了

把式（1）、（2）代入上式得

5．質量m＝24kg的氣球，以v₀＝2m／s的速度勻速上升，升到高度h₁＝200m時，從氣球上落下一個體積很小，質量m＝4kg的物體，求物體脫離氣球5s時氣球的高度。（取g＝10m／s2）

【答案】235m

【解析】氣球受到三個作用力的作用：重力G，方向豎直向下；動力F（即空氣浮力），方向豎直向上；空氣阻力為Fˊ，方向豎直向下。當氣球勻速上升時有

F－m′g－F′＝0

由此得

F＝m′g＋F′  （1）

從氣球上脫落一個物體后，氣球的質量減小，重力減小，但F′不變，因此合力向上。可見，氣球脫落物體后，做初速度為v₀的勻加速直線運動，當氣球勻加速上升時有

F－（m′－m）g－F′＝（m′－m）a

把式（1）代入得

M′g＋F′－（m′－m）g－F＝（m－m）a

由此解得加速度為

  （2）

按照勻加速直線運動的位移公式，5s時氣球上升的高度為

把式（2）代入得

把m′＝24kg、m＝4kg、t＝5s、v₀＝2m／s、g＝10m／s2代入得

因此物體脫離氣球5s時氣球的高度是

h＝h₁＋h₂＝（200＋35）m＝235m

6．如下圖所示，質量為2kg的木塊在F＝10N的力的作用下沿水平面做勻速直線運動，力F與水平方向的夾角是60°，求木塊與平面之間的滑動摩擦因數。

【答案】0.17

【解析】木塊受到四個作用力：重力G＝mg，方向豎直向下；桌面的支持力F_N，方向豎直向上；推力F，方向如圖所示；摩擦力F_f，方向水平向左。因為有滑動摩擦力，所以本題必須由水平方向和豎直方向的兩個牛頓方程式聯立，解出F_f和F_N，并由此求摩擦因數μ。

根據牛頓第二定律，在水平方向有

Fcos60°－F_f＝ma＝0  　（1）

在豎直方向有

F_N－Fsin60°－mg＝0　  　 （2）

摩擦因數為

把式（1）、（2）代入上式得

7．一個質量為m的物體原來沿斜面勻速下滑，現對該物體施加一個豎直向下的恒力F，如下圖（a）所示，求物體沿斜面運動的加速度。

（a）

（b）

【答案】0

【解析】以物體為研究對象。它原來受到三個作用力：重力G，斜面支持力F_N，摩擦力F_f，上圖（b）是物體的受力圖。當物體做勻速直線運動時，三個力平衡，合外力為零。因此沿斜面方向有

mgsinα－F_f＝0

垂直于斜面方向有

F_N－mgcosα＝0

由此得滑動摩擦因數

在對物體施加豎直向下的力F后，物體受四個力作用：G、F、F_N、F_f。因此它在豎直方向所受的力由原來的G變為G＋F，牛頓方程變為

（F＋mg）sinα－F_f＝ma ?。?）

F_N－（F＋mg）cosα＝0  （2）

由式（1）、（2）得

由此解得

因為tanα＝μ，所以

討論:當物體與斜面之間的摩擦因數μ＝tanα時，不管物體的質量是多少，物體總可以在斜面上保持平衡狀態。在對物體施以豎直向下的外力F后，物體在豎直方向的受力情況與質量為的物體情況一樣，也就是相當于把質量為的物體放在斜面上。由于μ＝tanα，因此立即可以判斷物體的加速度為零。

8．在傾角為30°的斜面上，一個物體以初速度10m／s向上滑行，它向上滑了8m后又開始向下滑行，求：（取g＝10m／s2.）

（1）物體沿斜面向上滑行的加速度；

（2）物體與斜面間的摩擦因數。

【答案】（1）6.25m/s；（2）0.144

【解析】（1）根據勻減速直線運動的速度-位移公式知，物體在斜面上向上滑行時的加速度是

 

（2）物體向上運動時，摩擦力F_f的方向沿斜面向F，受力圖如下，因此物體的牛頓方程為

mgsinα＋F_f＝mα   （1）

F_N－mgcosα＝0　  　 （2）

即

F_f＝m（a－gsinα）  　 （3）

F_N＝mgcosα  （4）

由式（3）、（4）得摩擦因數為

代入數據得

9．汽車的質量為m，行駛速度為v。求汽車在以下各情況中對橋面的壓力：

（1）通過水平橋面；

（2）通過半徑為R的凸形橋面最高點；

（3）通過半徑為R的凹形橋面最低點。

【答案】（1）mg；（2）（mg－mv2／r）；（3）（mg＋mv2／r）

【解析】如圖所示，汽車在三種情況中，都在豎直方向受到重力G和橋面支持力F_N的作用。F_N的反作用力就是所要求的汽車對橋面的壓力。

（1）汽車做勻速直線運動，豎直方向無加速度，因此

F_N－G＝0

按牛頓第三定律，得

F′_N＝F_N＝mg

（2）汽車做勻速圓周運動，最高點處向心加速度向下，因此合外力方向向下，大小等于（G－）。合外力就是向心力，因此

（3）汽車仍做勻速圓周運動，最低點處的向心加速度向上，因此合外力方向向上，大小等于（F_N－G）。由向心力公式，有

在三種情況中，凸形橋面所受的壓力最小。因此，常見的橋多是凸形橋。