上篇　物　理

第1章　力　學

1.1　考點精講

一、力

1．力的概念

（1）力的三要素

力的三個要素是大小、方向和作用點。力既有大小，又有方向。

（2）力的圖示

力的圖示就是把力表示為一根帶箭頭的有向線段。線段的長度按一定的標度畫出，表示力的大小；箭頭的指向表示力的方向；箭頭或箭尾表示力的作用點。力的方向所沿的直線叫做力的作用線。

（3）矢量和標量

既有大小又有方向的量稱為矢量，只有大小而沒有方向的量稱為標量。

2．常見的力

（1）萬有引力

宇宙中任何有一定質量的物體之間都存在著相互吸引力，叫做萬有引力。萬有引力定律可以表述為：兩個物體間引力的大小，跟它們質量的乘積成正比，跟它們之間距離的平方成反比，即為

　  ?。?.1）

式中m₁和m₂分別表示兩物體的質量，單位為千克，符號為kg；r表示它們之間的距離，單位為米，符號為m；力F的單位為牛頓，簡稱牛，符號為N；G＝6.67×10－11N·m2／kg2，叫做萬有引力常量。

（2）重力

地球與地面上的物體之間也有萬有引力作用。在忽略地球自轉影響的前提下，物體由于地球的吸引而受到的力叫重力。，重力的大小是

G＝mg  　 （1.2）

式中m為物體的質量，g為重力加速度。

重力的大小也叫做物體的重量。重力的方向總是豎直向下。重力的作用點是物體的重心。對于質量分布均勻的物體，重心位置只決定于它的形狀，如果物體的形狀具有對稱中心，則重心在對稱中心上。

（3）彈力

相互接觸的兩個物體，只要發生了形變，就有彈力相互作用。

彈力方向判斷：不論接觸面是否光滑，兩個相互接觸的物體之間的彈力方向總是垂直于接觸面。

（4）靜摩擦力

兩個相互接觸的物體，雖有相對運動趨勢，但仍保持相對靜止時，接觸面上會產生一種阻礙相對運動趨勢的力，叫做靜摩擦力。

靜摩擦力具有一個最大的數值，叫做最大靜摩擦力。

靜摩擦力的方向與接觸面相切，并且與物體相對運動趨勢的方向相反，它的大小可以根據物體的平衡條件求解。

（5）滑動摩擦力和動摩擦因數

兩個相互接觸的物體，在發生相對運動時，接觸面上會產生一種阻礙相對運動的力，叫做滑動摩擦力。

滑動摩擦力的方向與接觸面的公切面相切，并且與物體相對運動的方向相反。它的大小為

F_f＝μF_N （1.3）

式中F_N是正壓力，μ是兩物體之間的滑動摩擦因數。

【例】如下圖所示，物塊在拉力的作用下在水平面上做勻速直線運動。已知F的大小為物塊重量的，F與水平方向的夾角為30°，求物塊與水平面間的滑動摩擦因數。

【答案】0.58

【解析】物塊受四個作用力：重力G，地面支持力F_N，拉力F，摩擦力F_f。受力示意圖如下圖所示。物塊做勻速直線運動，處于平衡狀態。

根據平衡條件，在豎直方向有

F_N ＋Fsin30°－G＝0　 （1）

在水平方向有Fcos30°－F_f＝0

把F_f＝μF_N，代入上式得

Fcos30°－μF_N＝0   （2）

把式（1）×μ后與式（2）相加得

μ（Fsin30°－G）＋Fcos30°＝0

解得。

按題意，代入上式得

3．力的運算法則

（1）力的合成與分解

①力的合成：如果一個力的作用效果與幾個力共同作用時產生的效果相同，就稱這個力是那幾個力的合力。

②力的分解：求一個力的分力叫做力的分解。在力學問題中，一個力與它的所有分力的效果是等價的。

（2）力的平行四邊形法則

①平行四邊形法則

共點力的合成和分解遵循平行四邊形法則。平行四邊形法則是：把兩個共點力F₁、F₂作為鄰邊構成一個平行四邊形，這兩個鄰邊之間的對角線就是F₁、F₂的合力F。力的合成結果是唯一的，如圖1-1（a）所示。

 

圖1-1

反過來，把一個力F作為對角線構成一個平行四邊形，該平行四邊形的兩個鄰邊就是F的兩個分力F₁和F₂。由于對角線相同的平行四邊形有無限多個，因此一個力的分解結果不是唯一的，如圖1-1（b）所示。

②互相垂直的力的合成和分解

力學問題中經常用到的是互相垂直的兩個力的合成和分解，對此可以用直角三角形的知識進行計算。

圖1-2

如圖1-2所示，設OA和OB是選定的兩個互相垂直的方向。把力F沿這兩個方向分解，可以得到兩個互相垂直的分力：OA方向的分力的大小為

F₁＝Fcosa  　 （1.4）

OB方向的分力的大小為

F₂＝Fsina  　 （1.5）

反過來，當兩個分力F₁和F₂互相垂直時，其合力F的大小為

?。?.6）

方向可用F與OA的夾角α表示，α由下式給出

（1.7）

一切矢量的合成或分解都按照平行四邊形法則進行，互相垂直的力的合成和分解是平行四邊形法則的特例。

【例】物體受到互相垂直的兩個力F₁、F₂的作用，若兩力大小分別為5N、５N，求這兩個力的合力。

【答案】10N，合力的方向與F₁的夾角θ為30°。

【解析】根據平行四邊法則作出平行四邊形，如下圖所示，由于F₁、F₂相互垂直，所以作出的平行四邊形為矩形，對角線分成的兩個三角形為直角三角形。

由勾股定理得

N＝10N

合力的方向與F₁的夾角θ為

，θ＝30°

4．物體的受力分析

求解力學問題時，首先要分析物體的受力情況，畫受力圖。受力情況分析的一般步驟如下：

（1）確定研究對象；

（2）找出與研究對象相互作用的一切物體，并由此確定研究對象受到的一切力；

（3）畫受力圖。把討論對象所受到的一切力，按力的圖示法畫出。在畫受力圖時，要注意正確地畫出各個已知力的方向和大小。

特別指出，在受力圖中需把物體實際受到的力畫出來，不能把合力或分力代替實際的力畫在受力圖上。

【例】物體在粗糙的斜面上向下運動，則在下圖中的四個受力圖中正確的是（　?。?。

A．（a）

B．（b）

C．（c）

D．（d）

【答案】B

【解析】物體受到重力G作用，G的方向豎直向下。因為物體與斜面接觸，所以斜面對物體有垂直于斜面向上的支持力F_N的作用。按題意，斜面是粗糙的，因此物體在沿斜面方向還受到摩擦力作用。因為物體的相對運動方向沿斜面向下，所以滑動摩擦力的方向沿斜面向上。

5．共點力平衡的條件

（1）平衡的含義

物體的平衡是指物體處于靜止狀態或做勻速直線運動狀態。

（2）平衡條件

物體的平衡條件是作用在物體上的所有外力的合力等于零，即合外力為零。

在解題時，常把物體受到的各個力，沿相互垂直的兩個方向分解。這樣，上述的平衡條件可以簡化為：作用在物體上的各個力，在兩個相互垂直方向上的分力之和分別等于零。

【例】如下圖a所示，重量為G、半徑為R的小球，用長為R的細繩掛在光滑的豎直壁面A處，則細繩的拉力F_T＝____，壁面對小球的彈力F_N＝______。

【答案】1.15G；0.58G

【解析】小球的受力情況如下圖b所示。重力G豎直向下，壁面對小球的彈力F_N，水平向右，細繩的拉力F_T的方向沿繩向上。這三個力的作用線都通過球心O。

圖a 　　　　　　  圖b

小球在共點力G、F_N和F_T作用下平衡，把拉力F_T分解為水平方向和豎直方向的兩個分力

F_T1＝F_Tsinα　  （1）

F_T2＝F_Tcosα　  （2）

由平衡條件，水平方向有

F_N－F_T1＝0 （3）

豎直方向有

F_T2－G＝0 （4）

考慮到

由式（2）、（4）解得

由式（1）、（3）解得

（3）一對平衡力的概念

如果一個物體只受兩個力的作用而處于平衡狀態，則稱這兩個力為一對平衡力。一對平衡力的大小相等、方向相反，作用在同一條直線上。

一對平衡力與一對作用力和反作用力是不同的概念，前者是作用在同一個物體上的一對力，后者是作用在兩個不同物體上的相互作用力。

二、直線運動

1．質點參照物

（1）質點

不計物體各部分運動狀況的差別而把它看成一個點，這個用來代替物體的有質量而沒有大小的點稱為質點。

（2）參照物

在判斷物體是否運動時，要選一個假定靜止的物體作為標準，這個標準物體叫參照物。選取不同的物體做參照物時，觀察到的運動情況不一定相同。這表明物體的運動或靜止具有相對性。

2．位移和路程

（1）位移

物體從一個位置A運動到另一個位置B時，會產生位移，位移就是從初位置A指向末位置B的有向線段。位移既有大小又有方向，是一個矢量。位移只與物體的初、末位置有關。在圖1-3中，物體的運動軌跡是曲線ACB，而位移是矢量。

（2）路程

物體運動軌跡ACB的長度叫做路程。路程只有大小沒有方向，是一個標量。路程不但與物體的初、末位置有關，還與物體在這兩個位置間的運動軌跡有關。

圖1-3

（3）位移與路程的區別

①位移是矢量，路程是標量

②位移的大小與路程一般不相等。在曲線運動中，位移的大小是由起點引向終點的直線段的長度，路程是始、末兩點間的曲線段之間的長度，兩者不相等。

③只有在物體做直線運動，運動方向始終保持不變時，位移的大小才與路程相等。

3．勻速直線運動

（1）勻速直線運動

在任何相等的時間里位移都相等的直線運動，叫做勻速直線運動。

（2）速度

在勻速直線運動中，時間t內的位移s與t成正比，這個比值叫做速度，即有

　 　 （1.8）

勻速直線運動的速度是恒矢量，它的大小等于質點在單位時間里通過的位移。

（3）速率

速度的大小是速率，它表示物體運動的快慢。速率只取正值。

（4）勻速直線運動的位移公式

s＝vt　 ?。?.8′）

（5）勻速直線運動的位移圖像和速度圖像

①位移-時間圖像（s-t圖）

表示位移和時間之間關系的圖像叫做位移時間圖像，簡稱位移圖像。位移圖像以時間t為橫軸，以位移s為縱軸。

②速度-時間圖像（v-t圖）

表示速度與時間之間關系的圖像叫做速度時間圖像，簡稱速度圖像。速度圖像以時間t為橫軸，以速度v為縱軸。因為勻速直線運動的速度恒定，所以它的速度圖像為一根與橫軸平行的直線段。直線所對應的縱坐標就是速率。

4．變速直線運動

（1）變速直線運動

在相等的時間里位移不相等的直線運動，叫做變速直線運動。

（2）平均速度

物體的位移s和發生這段位移所經歷的時間t的比值，叫做質點在這段時間內的平均速度，用v--表示，即

　  　（1.9）

對于變速運動，在不同的時間內，平均速度是不同的。在說平均速度時，必須指明是哪段時間內的平均速度。

（3）瞬時速度

質點在某一時刻的速度，叫做該時刻的瞬時速度，簡稱速度，用表示。顯然，變速直線運動是瞬時速度變化的運動，勻速直線運動是瞬時速度恒定的運動。

瞬時速度的大小叫做瞬時速率，它表示該時刻質點運動的快慢。

（4）變速直線運動的位移公式

s＝t　  ?。?.9′）

式中t是質點運動的一段時間，是相應時間內的平均速度，s是相應時間內的位移。

【例】物體M從A運動到B，前半程平均速度為v₁，后半程平均速度為v₂，那么全程的平均速度是（　?。?。

A．（v₁＋v₂）/2

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】全程的平均速度。

5．勻變速直線運動

（1）勻變速直線運動

在任何相等的時間內，速度變化量都相等的直線運動，叫做勻變速直線運動。勻變速直線運動是最簡單的變速直線運動。

（2）加速度

對于勻變速直線運動，在時間t內的速度改變量v_t－v₀與t成正比，它們的比值叫做加速度，用a表示，即有

勻加速直線運動的加速度是恒矢量，它等于單位時間內質點速度的變化量。

（3）勻變速直線運動的公式

速度公式

v_t＝v₀＋at　 ?。?.10）

位移公式

s＝v₀t＋ ?。?.11）

速度-位移公式

v_t2＝v₀2＋2as　 （1.12）

在以上各式中，t是時間，v₀是初始時刻的速度（簡稱初速度），v_t是時刻t的瞬時速度，s是時間t內的位移，a是加速度。

對于初速度為零的勻變速直線運動，只要在上列各式中代入v₀＝0，即可得到一組相應的公式：

速度公式

v_t＝at   （1.10＇）

位移公式

s＝  （1.11＇）

速度-位移公式

v_t2＝2as  （1.12＇）

當物體做勻變速直線運動時，由位移公式得到它的平均速度是

　  （1.13）

對于初速度為零的勻加速直線運動，則有

這個公式只適用于勻變速直線運動，對一般的變速直線運動是不成立的。

在使用以上各公式時，還要注意加速度a的符號。加速度a的正負是這樣規定的：以物體的運動方向為正方向，速度在增大的勻變速直線運動，加速度沿正方向，a＞0，這種運動稱為勻加速直線運動；速度在減小的勻變速直線運動，加速度沿負方向，a＜0，這種運動稱為勻減速直線運動。

（4）勻變速直線運動的速度-時間圖像

勻變速直線運動的速度圖像是一條傾斜的直線段，它起點的縱坐標表示了運動的初速度v₀，直線的斜率在數值上等于勻變速直線運動的加速度。

根據速度圖像可以求出質點在任何時刻的速度，反過來也可以由速度圖像求出質點速度達到某一值所需的時間。根據速度圖像還可以求出任何時間間隔內的位移。

6．自由落體運動和重力加速度

（1）自由落體運動

物體在重力作用下，從靜止開始下落的運動叫做自由落體運動。

（2）重力加速度

自由落體運動是初速度為零的勻加速直線運動。由于加速度是物體受重力作用而產生的，因此叫重力加速度，用g表示。

重力加速度的方向豎直向下。地球上不同的地點，g的值不同。在一般計算中常取g＝9.8m／s2，粗略計算時可取g＝10m／s2。

（3）自由落體運動的公式

自由落體運動的方向豎直向下。在勻變速直線運動的公式中代入v₀＝0，a＝g，就可得自由落體運動的公式。

速度公式

v_t＝gt （1.14）

位移公式

　  　（1.15）

速度-位移公式

v_t2＝2gh　  （1.16）

自由落體運動在t時間內的平均速度為

此外，自由落體運動的落地速度是

　  （1.17）

落地所需時間是

　 ?。?.18）

以上公式中h是下落的距離，h_E是物體開始下落時離地面的高度。

【例】小球做自由落體運動，落地時間是4s，小球下落過程中后2s內通過的位移是（　?。?。（取g＝10m／s2）

A．40m

B．60m

C．20m

D．30m

【答案】B

【解析】小球下落的高度

因為位移與時間的平方成正比，所以前2s內的位移是

由此得后2s內小球的位移是

三、牛頓運動定律

1．牛頓第一定律

（1）牛頓第一定律

【定律】一切物體，如果沒有受到外力作用，則總是保持靜止狀態或勻速直線運動狀態，直到有外力迫使它改變這種運動狀態為止。

（2）慣性

物體保持其原有運動狀態的性質叫慣性。慣性是物體的固有屬性，一切物體，不論是否受力，不論運動情況如何，都具有慣性。慣性的大小由質量來量度。

【例】如下圖所示，車廂中懸掛著一個質量為m的小球A，它離車廂地板的高度h＝0.8m，當車廂沿水平方向勻加速運動時，繩子與豎直方向的夾角θ＝37°?，F在把繩子剪斷，問當A落在地板上時，車廂比小球多前進了多少距離。（取）

【答案】0.6m

【解析】以小球為研究對象，它受重力和繩子拉力的作用，根據繩子與豎直方向的夾角θ可以決定車廂運動的加速度，當繩子剪斷后，根據慣性定理，小球做平拋運動，而車廂繼續做勻加速直線運動。

小球的受力圖如上圖所示，列力的平衡方程，有

F₁cosθ－mg＝0，F₁sinθ＝ma

得

  （1）

剪斷繩子后小球做平拋運動，它落地的時間是

　  （2）

設繩子剪斷時小球和車廂的速度為v₀，則小球落地時水平方向的位移為

S_球＝v₀t

車廂在t時間內前進的位移為

因此車廂比小球多前進了

把式（1）、（2）代入上式得

2．牛頓第二定律

（1）牛頓第二定律

【定律】當物體所受的合外力不等于零時，物體就要產生加速度，加速度的大小與合外力的大小成正比，與物體的質量成反比，加速度的方向與合外力的方向相同，即

  　（1.19）

式中的F指物體所受的合外力。

牛頓第二定律指出，力是改變物體運動狀態、使物體產生加速度的原因。做變速直線運動或曲線運動的物體，其速度大小或方向不斷地變化，它所受到的合外力必不為零。

（2）質量

質量是物體所含物質多少的量度。根據牛頓第二定律，在相同的外力作用下，質量越大的物體加速度越小，運動狀態越難改變，即慣性越大。

（3）質量和重量的聯系與區別

質量和重量的關系可由牛頓第二定律得到。重量是使物體產生重力加速度的原因，因此

G＝mg  （1.20）

質量和重量的區別首先在于前者是標量而后者是矢量；此外，在地點改變時，質量不變，而重量則是改變的。

【例】電梯里放置一個彈簧秤，秤上掛著一個質量為1kg的物體。電梯以2m／s2的加速度上升，彈簧秤的讀數是（　　）。

A．9.8N

B．7.8N

C．11.8N

D．0

【答案】C

【解析】根據題意，物體的加速度向上，由牛頓第二定律知，物體所受的合外力向上。因此，彈簧秤對物體的拉力F大于物體的重力G，即F＞mg＝9.8N。

3．牛頓第三定律

【定律】物體間的作用是相互的，作用力和反作用力大小相等、方向相反，作用在同一直線上。

一對作用力和反作用力必定是性質相同的力，它們同時出現、同時消失，并且分別作用在兩個物體上。

4．牛頓定律的應用

（1）常見的動力學問題基本上可以分成兩類：

①已知物體的受力情況，求解運動情況；

②已知物體的運動情況，求解受力情況。

還有一些動力學問題是上面兩類問題的混合，即已知物體的一些受力情況和運動情況，求解另一些物體的受力情況和運動情況。

（2）解動力學問題的一般步驟：

①確定研究對象；

②分析研究對象的受力情況，并畫出它的受力圖；

③根據物體的受力圖，應用力的分解方法把物體所受的各個力沿兩個相互垂直的方向分解。通常，選取物體的運動方向和與運動方向垂直的方向作為分解力的兩個方向。同樣，把物體的加速度矢量也在這兩個方向上分解。如果選x軸沿運動方向，y軸沿垂直于運動的方向，則有

　  （1.21）

這樣就得到了解題所需的兩個方程式，稱為牛頓運動方程式。

④根據題意，分析方程式中哪些量是已知的，哪些量是待求的。

四、機械能、動量

1．功

（1）功的定義

當物體在力的作用下，沿著力的方向移動了一段位移，則力對物體做了功。

（2）功的計算

①恒力的功

當物體在恒力F作用下沿力的方向發生了一段位移s時，恒力對物體做功為

W＝Fs 　 （1.22）

當力與物體的運動方向不一致時，設力F與位移s的夾角為α，則力沿位移方向的分力對物體做功為

W＝Fscosα　   （1.23）

式（1.23）是恒力做功的普遍表達式。當，cosα＞0，W＞0，這時，作用力F起著推動物體運動的作用，稱為動力。當時，cosα＜0，W＜0，這時作用力F起著阻礙物體運動的作用，叫做阻力。當，cosα＝0，W＝0時，力F與位移s垂直，力對物體不做功。由此可見，與運動方向垂直的力對物體不做功。

②合力的功

如果幾個力F₁、F₂…F_n同時作用在物體上，在這些力的作用下，物體運動的位移是s，可以用兩種方法求這些力的總功。

第一種方法是先按照力的合成法則，求出這些力的合力F，然后計算合力的功，即

W＝Fscosα

式中，α是合力F與位移s的夾角。

第二種方法是先分別計算每個分力的功，然后再求出這些功的代數和，即

W＝W₁＋W₂＋…＋W_n＝F₁scosα₁＋F₂scosα₂＋…＋F_nscosα_n

應當注意，在討論做功問題時，必須弄清楚哪個力對哪個物體做功，或哪個物體克服什么力做功，不要混淆。

【例】用長為l的細繩系住一個質量為m的小球，使它在豎直平面內做變速圓周運動。運動一周后小球的動能增加了E，重力對小球做功為A_G，繩子拉力對小球做功為A_T，則（　?。?。

A．A_G＝2mgl，A_T＝E－2mgl

B．A_G＝mgl，A_T＝E－mgl

C．A_G＝2mgl，A_T＝－2mgl

D．A_G＝0，A_T＝0

【答案】D

【解析】小球做圓周運動，繩子拉力始終沿圓周的半徑方向，與運動方向垂直，因此拉力始終不做功，A_T＝0。小球運動一周后回到原來的位置，高度不變，因此在小球運動一周的全過程中重力的總功為零，A_G＝0。

2．功率

（1）功率

功率用來描述物體做功的快慢。功率的大小等于物體所做的功與完成這些功所用時間的比值。

（2）功率的計算

在時間t中力所做的功為W，則平均功率為

　  （1.24）

平均功率可以用力和平均速度表示，由式（1.23）得

瞬時功率表示某個時刻做功的快慢，它的表達式為

P＝Fvcosα  （1.25）

式中，v是該時刻的瞬時速度。

把式（1.25）看成是物體在恒力作用下做方向不變的直線運動時，計算功率的普遍表達式。在式（1.25）中，當v為平均速度時，求得的是平均功率；當v為瞬時速度時，則求出的是瞬時功率。

當α＝0時，即力與位移方向相同時，功率為P＝Fv。

3．動能定理

（1）動能

物體由于運動而具有的能叫做動能。物體的動能用E_k表示，即

  ?。?.26）

動能只有大小，沒有方向，是個標量。

（2）動能定理

一個物體，當動力對它做功或者它克服阻力做功時，動能都會發生變化。動力對物體做功，物體的動能就增加，增加的動能等于動力對物體所做的功。運動物體克服阻力做功，它的動能就減少，減少的動能等于物體克服阻力所做的功。

如果物體同時受到幾個力的作用，其中既有動力，又有阻力，經過一段位移s后，它的速度由v₁變為v₂，則合外力的功等于物體動能的變化量，即

   （1.27）

動能定理表明，可以通過對物體做功的方式來改變物體的動能，反過來，當物體的動能改變時，則一定有外力對物體做功。

4．重力勢能和彈性勢能

（1）重力勢能

地球上的物體處于一定高度時所具有的能量，叫做重力勢能，這種能量與物體的重力和高度有關。用E_P表示物體的重力勢能，選取地面為重力勢能的零點，則其大小是

E_P＝mgh　   （1.28）

式中h是物體所處的高度。物體的重力勢能等于物體所受的重力和它的高度的乘積。

（2）重力做功與物體重力勢能改變的關系

當重力對物體做功時，物體由高處運動到低處，重力勢能減少，重力對物體做功的大小等于重力勢能的減小。這是一個普遍的規律。

從重力做功與重力勢能變化的普遍關系中可以看出，重力做功的特點是，重力做功只決定于物體運動的始末位置，而與運動的具體路徑無關。

（3）彈性勢能

任何發生彈性形變的物體，都具有勢能，這種勢能叫做彈性勢能。例如，壓縮或伸長的彈簧，具有彈性勢能。彈簧的彈性勢能決定于它的形變量（伸長量或壓縮量）。

（4）彈力做功與彈性勢能改變的關系

彈力做功與重力做功具有相同的特點。彈簧的彈力做功的大小等于彈簧彈性勢能的改變量。當彈力做正功時，彈性勢能減?。粡椓ψ鲐摴r，彈性勢能增大。

5．機械能守恒定律

（1）機械能

在力學中所研究的能量是機械能，機械能是動能和勢能之和。

（2）機械能守恒定律

動能和勢能統稱機械能。通過重力或彈力做功，動能和勢能可以相互轉化。因此，機械能是可以相互轉化的。

一個物體，如果只有重力和彈力對它做功，在發生動能和勢能的相互轉化時，機械能的總量保持不變，這就是機械能守恒定律，即

E_P＋E_k＝恒量　 　 （1.29）

或E_P1＋E_k1＝E_P2＋E_k2　  ?。?.29′）

式中E_k1、E_k2和E_P1、E_P2分別為能量轉化過程始、末狀態物體的動能和勢能。

由于機械能守恒定律只涉及物體始、末狀態，不涉及物體運動的具體過程，因此對于符合機械能守恒條件的力學問題來說，用機械能守恒定律解題肯定比用牛頓運動定律或動能定理解題方便。

但是，在應用機械能守恒定律解題時，一定要注意機械能守恒定律的適用條件：只有重力和彈力對物體做功。由于在我們所討論的范圍內，只考慮重力勢能，不考慮彈性勢能，因此機械能守恒定律的條件可簡化為：只有重力對物體做功。

【例】如下圖所示，把小球拉到水平位置后自由釋放，設小球質量為m，懸線長是l，則小球經過最低點時懸線的拉力是（　　）。

A．3mg

B．2mg

C．mg

D．0

【答案】A

【解析】小球在運動過程中，受重力G和繩子拉力F_T的作用。繩子拉力不做功，只有重力做功。因此機械能守恒。

選最低點為重力勢能的零點。小球在開始運動時只有重力勢能，動能為零，機械能為

E₀＝E_P＝mgl

小球在最低點時，只有動能，重力勢能為零，它的機械能為

因為機械能守恒，所以E＝E₀，由此得

（1）

小球在最低點時，根據向心力公式有

因此，繩子的拉力為

  　 （2）

由式（1）、（2）得

F_T＝mg＋2mg＝3mg

五、曲線運動

1．曲線運動

（1）曲線運動

軌跡為曲線的運動叫做曲線運動。對于曲線運動，物體在某一點的速度方向，就是曲線在該點的切線方向，速度的方向是時刻變化的。因此，不論速度的大小是否改變，曲線運動都是變速運動。

（2）物體做曲線運動的條件

在直線運動中，物體所受合外力的方向與運動速度的方向在同一條直線上。物體所受合外力的方向與運動速度的方向不在同一條直線上時，物體將做曲線運動，這就是物體做曲線運動的條件。

2．平拋運動

（1）平拋運動

把物體用一定的初速度沿水平方向拋出，忽略空氣阻力，物體所做的運動叫做平拋運動。物體做平拋運動的條件是初速度v₀沿水平方向，運動過程中只受重力的作用。

（2）平拋運動的分解

平拋運動的分解是指把平拋運動沿水平方向和豎直方向進行分解。因為物體沿水平方向有初速度而不受外力的作用，所以平拋運動的水平方向分運動為勻速直線運動。又因物體在豎直方向無初速度而受重力作用，所以豎直方向分運動是自由落體運動。

（3）平拋運動的公式

根據勻速直線運動和自由落體運動的公式，可以得到平拋運動的公式是：

水平方向

v_x＝v₀　 （1.30）

豎直方向

　   （1.31）

速度的大小為

　  ?。?.32）

以上公式中的各量如圖1-4所示。

圖1-4

平拋運動物體落地的時間為

　 （1.33）

其中h_E是拋出點的高度。從同一高度以不同初速度拋出的物體，它們的落地時間相同，等于同一高度做自由落體運動的落地時間。平拋運動物體在落地時間t_f內，在水平方向上做勻速直線運動的距離叫做平拋運動的水平射程，為

　 （1.34）

水平射程由初速度v₀和高度h_E決定。

【例】飛機在h_E＝500m高空中以v₁＝60m／s的速度水平飛行。海面上有一艘敵艦以v₂＝15m／s的速度與飛機同向航行。該飛機要轟炸敵艦，應在何處投彈？如果敵艦與飛機反向航行，其他條件不變，應在何處投彈？（取g＝10m／s2）

【答案】450m；750m

【解析】炸彈脫離飛機后做平拋運動，初速度就是飛機的速度。炸彈的飛行時間是

在這段時間里，炸彈飛行的水平距離是

s₁＝v₁t_f

敵艦航行的距離是

s₂＝v₂t_f

設飛機投彈時離開敵艦的水平距離是s。為了使炸彈擊中敵艦，炸彈與敵艦必須在t時相遇，因此

s₁＝s＋s₂

由此得

s＝s₁－s₂＝v₁t_f－v₂t_f＝（v₁－v₂）t_f

代入題給數據后得到

s＝（60－15）×10m＝450m

如果敵艦與飛機反向航行，為使炸彈擊中敵艦，應有

s＝s₁＋s₂＝（v₁＋v₂）t_f

由此得

s＝（60＋15）×10m＝750m

3．勻速圓周運動

（1）勻速圓周運動

物體沿圓周運動，如果在任意相同時間內通過的圓弧長度都相等，這種運動就叫做勻速圓周運動。物體做勻速圓周運動時，合外力的大小不變而方向始終跟速度方向垂直，即合外力方向始終沿半徑指向圓心。因此，勻速圓周運動是一種變速運動，加速度不為零。

（2）線速度、角速度、周期頻率

①線速度

在勻速圓周運動中，物體通過的圓弧長度s與所用時間t的比值s/t是一個常量，叫做勻速圓周運動的線速度，用v表示，即

　 　（1.35）

②角速度

在勻速圓周運動中，連接物體與圓心的半徑，半徑轉動的角度φ與所用時間t的比值也是一個常量，叫做勻速圓周運動的角速度，用ω表示，單位是弧度每秒，符號為rad／s，即

　 　（1.36）

圓弧長度s與所對應的圓心角滿足公式s＝Rφ，兩邊除以t后得到

v＝Rω  （1.37）

這就是線速度和角速度之問的關系式，R是圓周的半徑。

③周期頻率

每秒鐘物體沿圓周運動的周數叫做頻率，用f表示，單位是赫茲，符號為Hz。有時也用頻率f和周期T來描述勻速圓周運動。

角速度與頻率和周期的關系是

因此線速度與周期的關系是

（3）向心加速度

勻速圓周運動中加速度的方向始終與速度方向垂直，沿半徑指向圓心，大小是

   （1.38）

這個加速度由于始終指向圓心，稱作向心加速度。由于R和v（或ω）的大小不變，向心加速度的大小也不變。

4．向心力

根據牛頓第二定律，做勻速圓周運動的物體所受的合外力的方向和向心加速度的方向相同，始終沿半徑指向圓心，它的大小等于

   （1.39）

這個力叫做向心力。

對于勻速圓周運動，向心力的大小不變，方向始終與物體的運動方向垂直，指向圓心。向心力是產生向心加速度的原因，它只改變運動的方向，不改變速度的大小。

做勻速圓周運動的物體的加速度沿半徑指向圓心，所以加速度沿運動方向上的分量為零。根據牛頓第二定律可知，做勻速圓周運動的物體所受的諸外力沿運動方向的分力之和為零。

5．人造地球衛星、第一宇宙速度

（1）人造地球衛星

在地球引力的作用下繞地球運動的人造航天器稱為人造地球衛星。

（2）第一宇宙速度

在地面上發射人造地球衛星的最小速度為第一宇宙速度。按照力學理論可以推得第一宇宙速度為

式中g為重力加速度，R_e為地球的半徑。把g＝9.80rn／s2、R_e＝6.37×106m代入上式得

v₁＝7.9km／s

６．沖量和動量

（1）沖量

力與力的作用時間的乘積叫做力的沖量，簡稱沖量。設恒力F作用在物體上，則它在t₁到t₂這一時間段內對物體作用的沖量是

I＝F（t₂-t₁）

沖量是矢量。恒力的沖量方向就是力F的方向。沖量的單位是牛頓秒，符號為N·s。

（2）動量

運動物體的質量與速度的乘積叫做物體的動量，用P表示，單位是千克米每秒，符號為kg·m／s，大小為

p＝mv

動量是矢量。動量的方向就是物體運動速度的方向。

一個物體處于確定的運動狀態下就具有確定的動量。當物體的運動狀態變化時，它的動量也會隨之改變。

【例】兩個物體的質量分別為m₁和m₂，m₂：m₁＝3：1。當它們的動量相等時，它們的動能之比E_k1：E_k2＝_____；當它們的動能相等時，它們的動量之比p₁：p₂＝_____。

【答案】；

【解析】對于同一個物體來說，動能與動量的大小之間有確定的關系

因此

，

它們的動能之比為

上式中，當p₁＝p₂時，有

當E_k2＝E_k2時，則

（3）動量定理

①動量定理

物體所受合外力的沖量等于物體動量的變化，其表達式是

F（t₂－t₁）＝p₂－p₁＝mv₂－mv₁

由于沖量和動量都是矢量，因此動量定理既反映了沖量與動量變化的數量關系，又反映了它們之間的方向關系。

②動量定理中的平均力

在研究打擊、碰撞之類的問題中，力的作用時間很短，力的大小變化卻很大，很難測量。但是這類過程中的動量變化比較容易測得，這樣就可利用動量定理先求出外力的沖量，再測出力的作用時間，就可方便地求出這一過程中平均力的大小。

設物體動量的變化量為mv₂－mv₁，力的作用時間為Δt，則平均力是

這里所引進的平均力是對時間的平均。

應用動量定理求解物體做直線運動的問題時，可沿著直線選取一個方向為正方向，凡與此方向相同的動量、沖量都取正值，相反的則取負值。

（4）動量守恒定律及其應用

①動量守恒定律

相互作用的物體，如果不受外力作用，或所受外力的矢量和為零，它們的總動量保持不變。用代數式表示為

m₁v₁＋m₂v₂＝m₁v₁′＋m₂v₂′

式中v₁、v₂和v₁′、v₂′分別是m₁、m₂在始、末狀態的速度。應注意，上式中的v₁、v₂、v₁′、v₂′都是代數值，對于已知量，其正、負按題意確定，對于未知量可先設沿正方向，然后由解題的結果來確定。

必須指出，動量守恒定律是對兩個或兩個以上的具有內力相互作用的物體（常稱系統）而言的。動量守恒定律的適用條件是系統不受外力作用或作用在該系統的外力的矢量和為零。

②用動量守恒定律解題

下面兩種情況可用動量守恒定律來處理：

a．如果相互作用的物體所受外力的矢量和不為零，而這些外力沿某個方向上的分力之和為零，那么各物體的動量在該方向上的分量之和保持不變。

b．如果相互作用的物體所受外力的矢量和不為零，但物體之間相互作用的內力非常大，遠大于外力，在這種情形下可以忽略外力，近似地認為系統的動量守恒。

（5）碰撞

①碰撞的概念

兩物體在相遇的很短時間內，產生了很大的相互作用力，使它們的運動狀態發生變化，這種過程叫做碰撞。如子彈打入木塊。在碰撞過程中，雖然作用時間很短，但相互作用力很大，其他外力在一般情況下可以忽略，因此相互作用的物體的總動量守恒。

②彈性碰撞

如果在碰撞前后，兩物體的總動能保持不變，我們稱這種碰撞為彈性碰撞。對于速度在同一直線上的兩個物體的彈性碰撞，由于動量守恒，有

　   （1.40）

由于總動能相等，有

　 （1.41）

由式（1.40）、（1.41）聯立解得

③完全非彈性碰撞

如果兩個物體碰撞后，合在一起，以共同的速度運動，這種碰撞叫做完全非彈性碰撞。在完全非彈性碰撞過程中，動量守恒，但總動能在碰撞前后發生了改變。碰撞后兩物體的速度相同，即

六、機械振動和機械波

1．振動

（1）振動

物體在平衡位置附近來回往復地運動，叫做機械振動，簡稱振動。

振動是一種基本的運動形式，它在自然界中普遍存在。例如，鐘擺的來回擺動。

（2）描述振動的物理量——周期、頻率、振幅

①周期和頻率

物體完成一次全振動（即來回運行一周）所需的時間稱為振動的周期，常用T表示，它的單位是秒，符號為s。

物體在1s內完成全振動的次數叫做振動的頻率，常用f表示，它的單位是赫茲，符號為Hz。

②振幅

振動物體離開平衡位置的最大距離，叫做振幅。它是表示振動幅度或振動強弱的物理量。當給定振幅A時，表示物體限制在平衡位置兩側±A的范圍內運動，整個運動的范圍就是2A。

2．簡諧運動

（1）彈簧振子的簡諧運動

如圖1-5所示，在光滑的水平桌面上，把輕彈簧的一端固定，另一端系一個質量為m的物體，形成一個彈簧振子。設振子在位置O處時，彈簧沒有發生形變，彈簧作用于振子上的彈力為零，O點稱為彈簧振子的平衡位置。

彈簧振子在彈力和物體慣性的支配下，在平衡位置附近重復地往返運動，形成了機械振動。彈簧振子的振動叫做簡諧運動，它是最簡單、最基本的機械振動。

圖1-5

（2）簡諧運動的特征

①受力特征

彈簧的彈力和物體的慣性是彈簧振子做簡諧運動的原因，由于彈力的方向總是指向平衡位置，所以它能使振子在往返過程中保持在平衡位置，故又稱為回復力。根據胡克定律，在彈簧的彈性限度內，彈簧的彈力F與彈簧的形變量（伸長量或壓縮量）即物體離開平衡位置的位移x成正比，它的方向與位移方向相反。因此，F可表示為

F＝－kx　  （1.42）

式中k是彈簧的勁度系數，負號表示彈力F的方向始終與物體位移方向相反，指向平衡位置。

②運動特征

根據牛頓第二定律，可得到彈簧振子做簡諧運動時的加速度為

　  （1.43）

因此，物體做簡諧運動時，運動的加速度大小與離開平衡位置位移的大小成正比，加速度的方向與位移方向相反，始終指向平衡位置。

③物體做簡諧運動的判斷

判斷物體是否做簡諧運動，就要看它所受的合外力是否是線性回復力，即是否滿足式（1.42），或者看它運動的加速度是否滿足式（1.43）。

（3）簡諧運動的運動過程

簡諧運動的運動過程應注意物體在平衡位置和振動端點的特點。

①當物體在平衡位置時，位移為零，合外力為零，加速度為零，速度最大，動能最大，勢能為零。

②當物體在振動的兩個端點時，位移最大（等于振幅），合外力最大，加速度最大，速度為零，動能為零，勢能最大。

（4）單擺的簡諧運動

①單擺做簡諧運動的條件

在細線的一端系上一個小球，另一端固定在懸點上形成的裝置叫做單擺。單擺是一種理想的物理模型，這種模型中擺線的伸縮和質量可以忽略，球的直徑也比擺線的長小得多。細線在豎直位置時，小球處于平衡位置O。拉開擺球，使它偏離平衡位置，然后把它放開，擺球就沿著以平衡位置O為中點的一段圓弧BC進行往復振動，如圖1-6所示。

圖1-6

可以證明，當單擺的擺角很?。ㄐ∮?°）時，在重力G與繩子拉力F_T作用下，單擺做簡諧運動。因此單擺做簡諧運動的條件是擺角小于5°。

②單擺的周期公式

　  （1.44）

　 

單擺的擺動在水平方向的分運動也是簡諧運動，它的周期與單擺擺動的周期相等。

（5）簡諧運動的圖像

做簡諧運動的物體的位移隨時間而變化的關系曲線，叫做簡諧運動的圖像。它是一條余弦（或正弦）曲線，如圖1-7所示。

圖1-7

圖中相鄰兩個（正的或負的）最大值出現的時間間隔表示振動的周期T，曲線在縱坐標上的最大值表示振動的振幅A。

從振動圖像中不但可以直接確定振幅A和周期T，還可以確定任意時刻物體的位移，判斷速度和加速度的方向。

3．波動

（1）機械波

機械振動在介質中的傳播過程，叫做機械波。例如聲波、水波等。

①產生機械波的條件：首先要有波源（即發生振動的物體），其次要有能夠傳播振動的介質，兩者不可缺一。

②在機械波形成的過程中，介質中各個質點都在各自的平衡位置附近振動，傳播的只是振動這種運動形式，介質本身并不隨波發生遷移。沿波的傳播方向，各質點的振動步調是不一致的，靠近波源的質點先振動，遠離波源的質點后振動。

③波在傳播過程中，通過介質中質點之間彈性力的聯系，帶動介質中原來靜止的質點先后振動起來，這表明它們相繼獲得了能量。所以，在波傳播的同時，波源的振動能量也被傳遞出去，所以波是能量傳遞的一種形式。

（2）機械波的分類——橫波和縱波

按照質點的振動方向與波的傳播方向的關系，可將機械波分成橫波和縱波。

①橫波

如果質點的振動方向和波的傳播方向垂直，這種波稱為橫波，例如在繩子上傳播的波。如圖1-8所示。

圖1-8

②縱波

如果質點的振動方向與波的傳播方向平行，這種波稱為縱波。例如在彈簧中傳播的波。如圖1-9所示?？諝庵袀鞑サ穆暡ㄒ彩强v波。

圖1-9

（3）描寫波動的物理量——波長、頻率、波速

①波長

波長用λ表示。兩個相鄰的波峰（或波谷）之間的距離等于一個波長。在一個波長的距離內，包含了一個完整波。

②波的周期

波的周期是指波在介質中傳播時，前進一個波長的距離所需要的時間，用T表示。由于一個波長內包含了一個完整波，因此周期也等于介質中前進一個完整波所需要的時間。

③頻率

頻率等于單位時間內通過傳播方向上某點的完整波的數目，是周期的倒數，即

④波速

波速v是波在介質中傳播的速度，它等于波在介質中單位時間內傳播的距離。波速的大小決定于介質的性質。同一列波，在不同的介質中傳播時，波速不相等。

波速、頻率（或周期）與波長三者之間的關系是

 （1.45）

（4）波的圖像

波動的傳播過程可以用圖像直觀地表示出來，就是波形圖。波形圖是余弦（或正弦）曲線，如圖1-10所示，圖中畫出了某時刻的波形圖。

圖1-10

在波形圖中不但可以直接確定振幅和波長，而且還可以確定介質中各質點在該時刻的位移，并判斷各點速度和加速度的方向。

一個或一個以上完整周期的波形圖才能對波進行完整的描述。

（5）振動與波動的區別和聯系

①區別

振動是指一個質點的運動形式，而波動是指介質中一群質點的集體運動形式。

②聯系

a．當機械波在介質中傳播時，介質中各質點都先后做機械振動，這些質點的振動是以波動的形式相互聯系。應該說，介質中質點的振動是形成波動的基礎，而波動是介質中相互關聯的質點的集體運動。

b．介質中各點的振幅就是波的振幅，各質點振動的周期就是波的周期。

4．波的干涉和衍射現象

（1）波的干涉

兩列波在空間相遇后出現這種情形：有些地方質點的振動始終加強，有些地方質點的振動始終減弱，并且加強的地方和減弱的地方有規律地間隔分布，這種現象叫做波的干涉現象。

并不是所有的波在空間相遇都能出現干涉現象，只有兩列頻率相同、振動方向相同、振動步調一致的波在空間相遇才能出現干涉現象。

（2）波的衍射

當波在傳播途中遇到障礙物時，有時會改變傳播方向，并繞過障礙物而繼續傳播，這種現象稱為波的衍射。

除了障礙物外，在波的傳播方向上放置一個有狹縫或小孔的屏時，有時也會觀察到波的衍射現象。

必須指出，只有當障礙物、狹縫或小孔的線度接近或小于波的波長時才能觀察到明顯的衍射現象。

波的干涉、衍射現象是波動的基本性質。