2.2　典型題（含考研真題）詳解

1．設(shè)函數(shù)f在x＝0處連續(xù)，f（x）＝0，且

證明：．

證明：先證．由已知條件，，有

或

由上式可得

將上述不等式相加，可得

令，由于f在x＝0處連續(xù)，所以有

即

這表明．

同理可證，故．

2．證明：函數(shù)

在x＝0處存在任意階導(dǎo)數(shù)，且．

證明：當(dāng)時，

其中是關(guān)于的3n次多項(xiàng)式（這不難用數(shù)學(xué)歸納法證明）．

假設(shè)，則有

3．設(shè)f（x）在（a，＋∞）具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且

（2-2-1）

求證：（1）存在使得且；

（2）存在，使得．

證明：

則，且由上式與式（2-2-1）有

（2）用反證法．若，則在（a，十∞）恒大于0或恒小于0．

不失一般性，設(shè)，則在（a，＋∞）嚴(yán)格單調(diào)增，但由（1）知．所以，即f（x）在（a，＋∞）嚴(yán)格單調(diào)減，這與式（2-2-1）矛盾．

仿上可知亦不成立．從而，使．

4．用萊布尼茨公式計(jì)算．

；

．

解：（1）求兩階導(dǎo)數(shù)可得

對上式兩邊求n階導(dǎo)數(shù)，得

在上式中，令x＝0可得

由遞推公式，并注意到，可得

，k為自然數(shù)

（2）求導(dǎo)一次可得

對上式兩邊求n階導(dǎo)數(shù)，得

在上式中，令x＝0可得

由遞推公式，并注意到可得

，k為自然數(shù)

5．討論在什么條件下，函數(shù)

在點(diǎn)x＝0可微．

解：由定義，需要計(jì)算

當(dāng)x＞0時，；

當(dāng)x＜0時，．

所以當(dāng)且僅當(dāng)2（α＋β）＞1時，存在且為0．

當(dāng)β＞0時，對充分小的，恒有，故對任意的α，都有0，從而．

總之，當(dāng)或β＞0時，f（x）在點(diǎn)x＝0可微且．

6．設(shè)，求．

解：用泰勒公式

兩邊積分可得

由此可得f（x）的泰勒展開式

于是，有

若令2n＋11＝2l＋1，則上式可改寫為

綜上，有

其中l(wèi)為自然數(shù)．

7．確定常數(shù)a，b，使當(dāng)x→0時，為x的3階無窮?。?/p>

證明：

于是

欲使f（x）為三階無窮小量，必須有

解之得．

8．設(shè)f（x）在[0，2]上二次可微，．

證明：，有．

證明：將f（x）在x點(diǎn)作泰勒展開，得

將上兩式相減，得

即

其中在[0，2]上的最大值為4．

9．若f（x）在R上存在任意階導(dǎo)數(shù)，且，有，有，證明：．

證明：因?yàn)閒（x）在點(diǎn)0處連續(xù)，所以．

對f（x）在上應(yīng)用羅爾定理，

，使

又因?yàn)閒'（x）在0點(diǎn)連續(xù)，所以

同理可證

，將f（x）在點(diǎn)0處展開成泰勒公式，有

而

由可知，f（x）＝0．于是，都有f（x）＝0．

10．設(shè)n≥2，r＞0，f（n）（x）在[a－r，a＋r]上連續(xù)，并設(shè)f（k）（a）＝0（1≤k≤n－1），f（n）（a）≠0．證明：

（1）當(dāng)n為偶數(shù)時，a是極值點(diǎn)；

（2）當(dāng)n為奇數(shù)時，a是拐點(diǎn)．

證明：（1）因?yàn)?img alt="" height="30" src="https://epubservercos.yuewen.com/4415DF/15436521405074906/epubprivate/OEBPS/Images/image1361.jpg?sign=1755148519-Tijdj7kdaxnqpGtHREtkLZL9ep2bGLAm-0-b6a983b14d47a65b3f5d3b86e4f841c2" width="278">，所以

（2-2-2）

又因，故，使當(dāng)時，有

與f（n）（a）同號．

由式（2-2-2）知，當(dāng)n為偶數(shù)時，與f（n）（a）在上同號，因此a為極值點(diǎn)．

（2）因?yàn)?img alt="" height="30" src="https://epubservercos.yuewen.com/4415DF/15436521405074906/epubprivate/OEBPS/Images/image1377.jpg?sign=1755148519-yLgAFwjhtXHI2u4FvQDOUBPrMLpaKiOZ-0-348d28ea9133e481c9966444c68abeff" width="277">，所以

　 （2-2-3）

又因，故，使當(dāng)時，有

與f（n）（a）同號．

由式（2-2-3）知，當(dāng)n為奇數(shù)時，在上不變號，因此x＝a是拐點(diǎn)．

11．設(shè)當(dāng)x＞0時，方程有且僅有一個根，求k的取值范圍．

解：令，則

當(dāng)k≤0時，f'（x）＜0，f（x）嚴(yán)格單調(diào)遞減，又注意到

當(dāng)k≤0時，f（x）＝0在（0，＋∞）內(nèi)僅有一個根；

當(dāng)k＞0時，f（x）在（0，＋∞）上是下凸函數(shù)，且是唯一極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)．而

當(dāng)最小值為零，即

時，f（x）＝0有且僅有一個根．由上式解得．當(dāng)時，f（x）＝0或無解或有兩個解．

綜上知，當(dāng)k≤0及時，方程有且僅有一個實(shí)根．

12．（北京交通大學(xué)2003年）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義證明．

證明：

于是

13．（北京師范大學(xué)2006年）已知函數(shù)，且f（0）＝0，證明：若存在，使得，則f（x）在點(diǎn)x＝0處的右導(dǎo)數(shù)存在．

證明：令x＝αt，則，所以對任意的ε＞0，存在δ＞0，使得當(dāng)0＜x＜δ時，有

取，則有

將這些式子相加有

令n→∞，由α＞β和f（0）＝0知

即當(dāng)0＜x＜δ時，有，故f（x）在點(diǎn)x＝0處的右導(dǎo)數(shù)存在，且．

14．（中北大學(xué)2005年）設(shè)函數(shù)y＝y(tǒng)（x）由參數(shù)方程所確定，求．

解：由參數(shù)方程的求導(dǎo)法則知

由于

所以

故

15．（南京大學(xué)2002年）設(shè)f（x）在x＝0的某個鄰域內(nèi)連續(xù)，且

（1）求f＇（0）；

（2）求；

（3）證明f（x）在點(diǎn)x＝0處取得極小值．

解：（1）由于，故

（2）由于，故

（3）由（2）的結(jié)論和極限的局部保號性可知，存在δ＞0，使得對任意的|x|＜δ，有

成立，所以f（x）在點(diǎn)x＝0處取得極小值．

16．（江蘇大學(xué)2006年）設(shè)f（x）是定義在R上的函數(shù)，且對任意的，都有．若f＇（0）＝1，證明：對任意的x∈R，都有．

證明：在中令，有．

又由知，f（x）不恒為零，故有f（0）＝1．

由導(dǎo)數(shù)的定義和可得

17．（湖南大學(xué)）設(shè)函數(shù)f（y）的反函數(shù)以及都存在，且．證明：

證明：令x＝f（y），則，將x＝f（y）對x求導(dǎo)得

兩邊再對x求導(dǎo)，得

18．（中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)）設(shè)，n為自然數(shù)．

（1）證明：；

（2）求．

證明：（1）對求導(dǎo)有

再對上式求n－1次導(dǎo)數(shù)可得，即

（2）因?yàn)?/p>

19．（北京師范大學(xué)2006年），數(shù)列滿足關(guān)系式，求及．

解：由

知

得

所以

由L’Hospital法則可得

20．（北京大學(xué)，哈爾濱電工學(xué)院）（1）設(shè)f（x）在（0，＋∞）內(nèi)二次可微，分別為內(nèi)的上確界，證明

（2）設(shè)f"（x）在（0，＋∞）上有界，且，證明

證明：（1），由泰勒公式有

解得

若取則

再由x的任意性，有

　 （2-2-4）

（2）設(shè)因故對，當(dāng)時，

由上面（1）知，在上由上式與式（2-2-4）有

類似可證在上有．

21．（大連理工大學(xué)）已知在上定義的可微分函數(shù)滿足條件

　 （2-2-5）

和f（0）＝1．

（1）求

（2）證明：f（x）在x≥0滿足

解：（1）由條件知，當(dāng)x≠－1時，為可導(dǎo)函數(shù)，于是將式（2-2-5）兩邊對x求導(dǎo)數(shù)

由上式與式（2-2-5）得

解上述微分方程得　

在式（2-2-5）中，令得

由上述兩式可得．

（2-2-6）

（2）當(dāng)x≥0時，由式（2-2-6）知，即f（x）單調(diào)減少，而f（0）＝1，

  （2-2-7）

再令，則

即F（x）單調(diào)增加，但從而，此即

由上式與式（2-2-7）即證

22．（南京大學(xué)2002年）設(shè)

（1）求f（x）在（－∞，a）上的最大值；

（2）設(shè)，求．

解：（1）由于，所以當(dāng)x＜a－1時，；當(dāng)a－1＜x＜a時，．故f（x）在（－∞，a）上的最大值為．

（2）令，則可遞推關(guān)系式成立．由（1）的結(jié)論知，又由的遞推關(guān)系式知，因此收斂，記極限為y．因此成立，得y＝0，故有．

23．（中國科學(xué)院2007年）證明下列不等式

（1），（0＜x＜1，n為正整數(shù)）；

（2）（y＞0）．

證明：（1）令

因?yàn)?/p>

所以為極值點(diǎn)．

（2）只需討論0＜x、y＜1時的情形．

令y＝tx，討論0＜t≤1時的情形．

因?yàn)?img alt="" height="29" src="https://epubservercos.yuewen.com/4415DF/15436521405074906/epubprivate/OEBPS/Images/image1663.jpg?sign=1755148519-sSWmRgRLwguWXC1f9Cgv49kjD6HIs7UF-0-ac3395ebecf2ebca97d06d1ca589ffe9" width="329">在處達(dá)到最小值（記為a），則有．因?yàn)?img alt="" height="27" src="https://epubservercos.yuewen.com/4415DF/15436521405074906/epubprivate/OEBPS/Images/image1671.jpg?sign=1755148519-pVZdouRwYLeHRg23901GNnPoCh8T6rFI-0-546c3413d1cbbd868bc9120c52394340" width="111">只有一個極值點(diǎn)，所以g（t）在（0，1）上遞增，g（0）＝1，則．

對x、y＞1同樣可證明．

24．（山東海洋學(xué)院）證明：對一切和均有

證明：令，則

又

　 （2-2-8）

因，則．

則由式（2-2-8）可得

令，在中，解得，由于

∴f（x）在上最大值為f（α），最小值為0，從而即得證．

25．設(shè)函數(shù)f在[a，b]上可導(dǎo)，且，證明：存在使得

證明：欲證結(jié)論成立，只需證明方程在（a，b）內(nèi)有解．

注意到

構(gòu)造輔助函數(shù)

g（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且．

若，由羅爾定理可得結(jié)論；

若，不妨設(shè)若，則有

進(jìn)而可知，．由極限的保號性，，當(dāng)時，有．由此可知，g（x）在[a，b]上的最大值必在內(nèi)部達(dá)到，設(shè)在ξ點(diǎn)達(dá)到．由費(fèi)馬引理，，這就完成了證明．

26．若函數(shù)f（x）在內(nèi)可微，且，則

證明：由可知，，當(dāng)時，有

丨f′（x）丨＜ε

對，在上對f應(yīng)用拉格朗日中值定理

于是，有

對固定的Ｘ_o，因?yàn)?img alt="" height="40" src="https://epubservercos.yuewen.com/4415DF/15436521405074906/epubprivate/OEBPS/Images/image1760.jpg?sign=1755148519-DEPQLfUyUpTtoC6Z4n1Tw9kF5TVkrgx4-0-0f39c08ac3c18c66d9036d1fcd268277" width="104">，所以對上述，當(dāng)x＞X時，有．故

27．（數(shù)學(xué)Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且．若極限存在，證明：

（1）在（a，b）內(nèi)f（x）＞0；

（2）在（a，b）內(nèi)存在點(diǎn)，使

（3）在（a，b）內(nèi)存在與（2）中相異的點(diǎn)η，使

證明：（1）由存在知，，由f（x）在[a，b]上連續(xù)，可知f（a）＝0．而，故

（2）取．對在[a，b]上應(yīng)用柯西中值定理即可．

（3）由在上應(yīng)用拉格朗日中值定理知，，使將代入（2）的結(jié)論中，整理即可．

28．（華中師范大學(xué)，2003年）設(shè)f（x）在[a，b]上二階可導(dǎo)．過點(diǎn)A（a，f（a））與B（b，f（b））的直線與曲線y＝f（x）相交于C（c，f（c）），其中a＜c＜b．

證明：在（a，b）中至少存在一點(diǎn)，使．

證明：由假設(shè)，對f（x）在[a，c]與[c，b]上分別運(yùn)用拉格朗日中值定理，

，使得

　  （2-2-9）

由于點(diǎn)C（c，f（c））在過點(diǎn)A與B的直線上，故

由式（2-2-9）有

又上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，運(yùn)用羅爾定理，使得．

29．（西北電訊工程學(xué)院）設(shè)f（x）在區(qū)間（－∞，0）內(nèi)可微，且，證明：．

證明：由，則對，存在M＜0，當(dāng)x＜M時，有

再由中值定理

（2-2-10）

現(xiàn)固定M，則存在，使

由上式與式（2-2-10）得，對

此即

30．（華中師范大學(xué)2002年、吉林工業(yè)大學(xué)）設(shè)f（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，b＞a＞0，f（a）≠f（b）．證明：存在，使

證明：由拉格朗日中值定理有，使得

　  　 （2-2-11）

令，則由柯西中值定理，有，使得

由于，由上式與式（2-2-11）得

31．（1）設(shè)p，q是大于1的常數(shù)，且，證明

（2）設(shè)，證明

證明：（1）令，分三種情況討論．

①當(dāng)時，對F（x）在[x，1]上應(yīng)用拉格朗日中值定理有

其中，由上式解得

②當(dāng)x＝1時

③當(dāng)x＞1時，對F（x）在[1，x]上應(yīng)用拉格朗日中值定理，有

其中

綜上可知得證．

（2）不妨設(shè)，對f（x）分別在與上應(yīng)用拉格朗日中值定理，得

　  （2-2-12）

　  （2-2-13）

由于，由，所以單調(diào)增加．

從而，由式（2-2-12），（2-2-13）及，可得