2.2　課后習題詳解

思考題

2-1  何謂確知信號？

答：確知信號是指其取值在任何時間都是確定和可預知的信號，通常可以用數學公式表示它在任何時間的取值。例如，振幅、頻率和相位都是確定的一段正弦波，它就是一個確知信號。

2-2  試分別說明能量信號和功率信號的特性。

答：（1）能量信號的能量為一個有限正值，但其平均功率等于零。

（2）功率信號的能量為無窮大，其平均功率為一個有限正值。

2-3  試用語言（文字）描述單位沖激函數的定義。

答：單位沖擊函數是指寬度無窮小，高度為無窮大，積分面積為1的脈沖。其僅有理論上的意義，是不可能物理實現的一種信號。

2-4  試畫出單位階躍函數的曲線。

答：如圖2-1所示。

圖2-1

2-5  試述信號的四種頻率特性分別適用于何種信號。

答：（1）功率信號的頻譜適用于周期性的功率信號。

（2）能量信號的頻譜密度適用于能量信號。

（3）能量信號的能量譜密度適用于能量信號。

（4）功率信號的功率譜密度適用于功率信號。

2-6  頻譜密度S（f）和頻譜C（jnω₀）的量綱分別是什么？

答：頻譜密度的量綱是伏特/赫茲（V/Hz）；頻譜的量綱是伏特（V）。

2-7  自相關函數有哪些性質？

答：自相關函數的性質：

（1）自相關函數是偶函數；

（2）與信號的能譜密度函數或功率譜密度函數是傅立葉變換對的關系；

（3）當τ＝0時，能量信號的自相關函數R（0）等于信號的能量，功率信號的自相關函數R（0）等于信號的平均功率。

2-8  沖激響應的定義是什么？沖激響應的傅里葉變換等于什么？

答：（1）沖激響應的定義：輸入為單位沖激函數時系統的零狀態響應，一般記作h（t）。

（2）沖激響應的傅里葉變換等于系統的頻率響應，即H（f）。

習題

2-1  試判斷下列信號是周期信號還是非周期信號，能量信號還是功率信號：

（1）s₁（t）＝e－tu（t）

（2）s₂（t）＝sin（6πt）＋2cos（10πt）

（3）s₃（t）＝e－2t

解：若0＜E＜∞，而功率P→0，則為能量信號；若能量E→0，而0＜P＜∞，則為功率信號。

（1）s₁（t）＝e－tu（t）的能量為

而功率為

所以s₁（t）是能量信號，也是非周期信號。

（2）滿足兩個周期信號相加后仍是周期信號的條件為T＝mT₁＋nT₂，其中m、n為正整數。

該信號中sin（6πt）的周期為，2cos（10πt）的周期為，則T₁和T₂的最小公倍數為

因此，s₂（t）是周期為2的周期信號，而周期信號必然是功率信號。

（3）s₃（t）＝e－2t的能量為

而功率為

由上可知，s₃（t）既不是能量信號也不是功率信號，也是非周期信號。

2-2  試證明圖2-1中周期性信號可以展開為

圖2-1

證明：取區間-1/2≤t≤3/2作為一個周期進行計算，并令周期T₀＝2。

由教材式（2.2-1）可得

將上式代入教材式（2.2-2），得

所以，得證。

2-3  設信號s（t）可以表示成

s（t）＝2cos（2πt＋θ）  －∞＜t＜∞

試求：（1）信號的傅里葉級數的系數C_n；

（2）信號的功率譜密度。

解：（1）由題可知，信號的振幅A＝2，基頻f₀＝1，周期T₀＝1，且由教材式（2.2-1）得信號s（t）的傅里葉級數的系數為

得

由上式可知，只有n＝±1時，C_n≠0，可以得出│C_n│＝1，n＝±1。

（2）由教材式（2.2-44）可得s（t）的功率譜密度為

2-4  設有一信號如下：

試問它是功率信號還是能量信號，并求出其功率譜密度或能量譜密度。

解：（1）x（t）的能量為

因此x（t）是能量信號。

（2）對x（t）進行傅里葉變換，可得其頻譜密度為

所以

故x（t）的能量譜密度為

2-5  求圖2-2所示的單個矩形脈沖（門函數）的頻譜（密度）、能量譜密度、自相關函數及其波形、信號能量。

圖2-2

解：對s（t）進行傅里葉變換，可得其頻譜函數為

則s（t）的能量譜密度為

已知能量信號的自相關函數和其能量譜密度是一對傅里葉變換。利用時域卷積特性可得，s（t）的自相關函數R（τ）為高為A、寬為T的兩個門函數的卷積，即

其波形如圖2-3所示

圖2-3

所以s（t）的能量為

2-6  設信號s（t）的傅里葉變換為S（f）＝sinπf/πf，試求此信號的自相關函數R_s（τ）。

解：方法1：該信號的能量譜密度為

其中

顯然s（t）是一個門函數。利用時域卷積定理，可得自相關函數R_s（τ）為

方法2：由自相關函數定義式，并參照圖2-4。

圖2-4

可得

2-7  已知信號s（t）的自相關函數為

（1）試求其功率譜密度P_s（f）和功率P；

（2）試畫出R_s（τ）和P_n（f）的曲線。

解：（1）信號s（t）的功率譜密度P_s（f）為

且功率P為

（2）R_s（τ）和P_s（f）的曲線如圖2-5所示。

圖2-5

2-8  已知信號s（t）的自相關函數R（τ）是周期T＝2的周期性函數，其在區間（－1，1）上的截斷函數為

R_T（τ）＝1－│τ│　  －1≤τ＜1

試求s（t）的功率譜密度P（f）并畫出其曲線。

解：s（t）的自相關函數可表示為

R（τ）＝R_T（τ）*δ_T（τ）

　 其中

已知功率信號的自相關函數和其功率譜密度是一對傅里葉變換。利用時域卷積特性，可得s（t）的功率譜密度為

其波形如圖2-6所示。

圖2-6

2-9  （1）求正弦信號c（t）＝sinω₀t的頻譜（密度）；

（2）已知，試求x（t）＝s（t）sinω₀t的頻譜（密度）。

解：（1）由歐拉公式可知

利用和傅里葉變換的頻移特性，可得正弦信號的頻譜為

（2）方法一：由（1）的結果和頻域卷積定理，可得

方法二：因為，所以根據傅里葉變換的頻移特性可直接得出