第2章　確知信號

2.1　復習筆記

一、確知信號的類型

1．確知信號的定義

確知信號是指其取值在任何時間都是確定的和可預知的信號，通常可以用數學公式表示它在任何時間的取值。

2．確知信號的分類

（1）周期信號和非周期信號

按照是否具有周期重復性，確知信號可以分為周期信號和非周期信號。

①周期信號

a．周期信號的定義

若信號s(t)滿足下述條件

式中T₀＞0，為一常數，稱此信號為周期信號。

b．周期信號的參量

信號的周期為滿足式（2-1-1）的最小T₀，1/T₀稱為基頻f_0。

②非周期信號

非周期信號是表達式s(t)不具備式（1）性質的信號。

（2）能量信號和功率信號

按照能量是否有限區分，信號可以分為能量信號和功率信號。

①信號的能量和平均功率的定義

a．信號的能量E計算式為

其中，E的單位是焦耳（J）。

b．信號的平均功率

信號的平均功率定義為

②能量信號和功率信號的定義

a．能量信號

若信號的能量是一個正的有限值，即

則稱此信號為能量信號，其特點是能量等于一個有限正值，平均功率為零。

b．功率信號

若信號的平均功率是一個正的有限值，即

則稱此信號為功率信號，其特點是平均功率等于一個有限正值，能量為無窮大。

二、確知信號的頻域性質

1．功率信號的頻譜

（1）周期性的功率信號頻譜

①雙邊頻譜函數的定義

設一個周期性功率信號s(t)的周期為T₀，則將其頻譜函數定義為

式中f₀＝1／T₀；n為整數，－∞＜n＜＋∞；C_n為nf₀的離散函數，只在f₀d的整數倍上取值。

②雙邊頻譜函數的參量

頻譜函數C_n是一個復數，代表在頻率nf₀上信號分量的復振幅，可以把它寫作

　　  （2-1-2）

式（2-1-2）中｜C_n｜為頻率nf₀的信號分量的振幅，θ_n為頻率nf₀的信號分量的相位。

③雙邊頻譜函數的性質

對于物理可實現的實信號，有

即負頻譜和正頻譜的模是偶對稱的，相位是奇對稱的。

（2）傅里葉級數

①傅里葉級數一般形式

周期性信號可以展開成如下的傅里葉級數

②傅里葉級數特殊形式

a．實信號形式

對于物理可實現的實信號，展開成如下的單邊傅里葉級數

式中實信號s(t)的各次諧波的振幅，相位θ_n＝－arctan(b_n／a_n)。

b．實偶信號形式

若s(t)不但是實信號，而且還是偶信號，則單邊譜為

式中，Re(C_n)為C_n的實部；Im(C_n)為C_n的虛部。

2．能量信號的頻譜密度

（1）頻譜密度的定義

一個能量信號為s(t)，則將它的傅里葉變換S(f)定義為它的頻譜密度

（2）能量信號的頻譜密度S(f)和周期信號的頻譜函數C_n的主要區別

①S(f)是連續譜，C_n是離散譜。

②S(f)的單位是伏／赫（V／Hz），而C_n的單位是伏（V）。

（3）頻譜密度的性質

①頻譜密度的正頻率部分和負頻率部分成復數共軛關系。即

②能量信號的頻譜密度，因能量信號的能量有限，所以分布在連續頻率軸上。

（4）一些常用信號的傅里葉變換

表2-1  常用信號的傅里葉變換

3．能量信號的能量譜密度

（1）能量譜密度的定義

設一個能量信號s(t)的能量為E，若此信號的傅里葉變換（頻譜密度）為S(f)，則由巴塞伐爾（Parseval）定理得知

令G(f)＝|S(f)|2（J／Hz），稱G(f)為能量譜密度。

（2）能量譜密度的物理解釋

能量譜密度表示在頻率f處寬度為df的頻帶內的信號能量，或單位頻帶內的信號能量。

（3）能量譜密度的計算

由于信號s(t)是一個實函數，所以|S(f)|是一個偶函數。則

4．功率信號的功率譜密度

（1）功率譜密度的定義

假設將功率信號s(t)截短為長度等于T的一個截短信號s_T(t)，－T/2＜t＜T/2，s_T(t)變成一能量信號，其能量譜密度為|s_T(f)|2，則信號的功率譜密度P(f)為

（2）信號功率的定義

信號s(t)的功率為

（3）周期性功率信號的頻譜

周期性功率信號的頻譜為

  （2-1-3）

若f₀是此信號的基波頻率，則C_n是此信號的第n次諧波的振幅；

（4）功率譜

①離散功率譜

式（2-1-3）中|C_n|2為第n次諧波的功率，可以稱為信號的（離散）功率譜。

②連續功率譜

用連續的功率譜密度表示此離散譜為

則此信號的功率譜密度P(f)為

三．確知信號的時域性質

1．能量信號的自相關函數

（1）能量信號的自相關函數的定義

能量信號s(t)的自相關函數的定義為

自相關函數表示一個信號與延遲τ后的同一信號間的相關程度。

（2）能量信號的自相關函數的特性

①自相關函數R(τ)和時間t無關，只和時間差τ有關。

②當τ＝0時，能量信號的自相關函數R(0)等于信號的能量，即

③R(τ)是τ的偶函數，即

R(τ)＝R(－τ)

（3）能量信號的自相關函數和能量譜密度之間的關系

①能量信號的自相關函數的傅里葉變換就是其能量譜密度，即

②能量信號的能量譜密度的逆傅里葉變換就是能量信號的自相關函數，即

R(τ)和|S(f)|2構成一對傅里葉變換。

2．功率信號的自相關函數

（1）功率信號的自相關函數的定義

（2）功率信號的自相關函數的特性

①當τ＝0時，功率信號的自相關函數R(0)等于信號的平均功率，即

②功率信號的自相關函數是偶函數。

（3）功率信號的自相關函數的特例

①周期性功率信號自相關函數的定義

②周期性功率信號的自相關函數和功率譜密度之間的關系

a．P(f)的逆傅里葉變換是R(τ)

b．R(τ)的傅里葉變換是功率譜密度

3．能量信號的互相關函數

（1）能量信號的互相關函數的定義

兩個能量信號s₁(t)和s₂(t)的互相關函數的定義為

互相關函數反映了一個信號和延遲τ后的另一個信號間相關的程度。

（2）能量信號的互相關函數的特性

①互相關函數R₁₂(τ)和時間t無關，只和時間差τ有關。

②互相關函數和兩個信號相乘的前后次序有關，即有

R₂₁(τ)＝R₁₂(－τ)

（3）互相關函數和信號能量譜密度的關系

互相關函數和互能量譜密度是一對傅里葉變換，即

4．功率信號的互相關函數

（1）功率信號的互相關函數的定義

兩個功率信號s₁(t)和s₂(t)的互相關函數的定義為

（2）功率信號的互相關函數的特性

①功率信號的互相關函數R₁₂(τ)和時間t無關，只和時間差τ有關。

②互相關函數和兩個信號相乘的前后次序有關。即

③若兩個周期性功率信號的周期相同，則有

（3）功率信號的互相關函數和其功率譜之間的關系

周期性功率信號的互功率譜C₁₂是其互相關函數R₁₂(τ)的傅里葉級數的系數