第3章　線性方程組[視頻講解]

3.1　本章要點詳解

本章要點

■n維向量空間

■線性相關性

■極大無關組

■矩陣的秩的計算

■線性方程組有解判別定理

■線性方程組解的結構

重難點導學

一、消元法

視頻二維碼（掃碼觀看）

1初等變換

（1）用一非零的數乘某一方程；

（2）把一個方程的倍數加到另一個方程；

（3）互換兩個方程的位置，

稱為線性方程組的初等變換．

2消元法解方程組的過程

（1）首先用初等變換化線性方程組為階梯形方程組，把最后的一些恒等式“0＝0”（如果出現）去掉；

（2）如果剩下的方程當中最后的一個等式是零等于一非零的數，則方程組無解，否則有解；

（3）在有解的情況下，如果階梯形方程組中方程的個數r等于未知量的個數，則方程組有唯一的解；如果階梯形方程組中方程的個數，小于未知量的個數，則方程組就有無窮多個解．

3定理

在齊次線性方程組

中，如果s＜n，則它必有非零解．

二、n維向量空間

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1n維向量的概念

（1）定義

由數域P中n個數組成的有序數組

（a₁，a₂，…，a_n） （3-1）

稱式（3-1）為數域P上一個n維向量，a_i稱為向量（3-1）的分量．用小寫希臘字母α，β，γ，…來代表向量．

（2）向量相等

如果n維向量α＝（a₁，a₂，…，a_n），β＝（b₁，b₂，…，b_n）的對應分量都相等，即

a_i＝b_i（i＝1，2，…，n），則稱這兩個向量是相等的．記作α＝β．

（3）特殊向量

分量全為零的向量（0，0，…，0）稱為零向量，記為0；向量（－a₁，－a₂，…，－a_n）稱為向量α＝（a₁，a₂，…，a_n）的負向量，記為－α．

2n維向量的運算

（1）定義

向量γ＝（a₁＋b₁，a₂＋b₂，…，a_n＋b_n），稱為向量α＝（a₁，a₂，…，a_n），β＝（b₁，b₂，…，b_n）的和，記為γ＝α＋β設k為數域P中的數，向量（ka₁，ka₂，…，ka_n）稱為向量α＝（a₁，a₂，…，a_n）與數k的數量乘積，記為kα．

（2）向量運算的基本性質

①（交換律）α＋β＝β＋α；

②（結合律）α＋（β＋γ）＝（α＋β）＋γ；

③α＋0＝α；

④α＋（－α）＝0；

⑤α－β＝α＋（－β）；

⑥k（α＋β）＝kα＋kβ；

⑦（k＋l）α＝kα＋lα；

⑧k（lα）＝（kl）α；

⑨1α＝α．

3n維向量空間

以數域P中的數作為分量的n維向量的全體，同時考慮到定義在它們上面的加法和數量乘法，稱為數域P上的n維向量空間．記作Pⁿ．

三、線性相關性

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1線性組合

向量α稱為向量組β₁，β₂，…，β_s的一個線性組合，如果有數域P中的數k₁，k₂，…，k_s使α＝k₁β₁＋k₂β₂＋…＋k_sβ_s，也稱α可以經向量組β₁，β₂，…，β_s線性表出．

注：零向量是任一向量組的線性組合．

2向量組等價

（1）定義

如果向量組α₁，α₂，…，α_t中每一個向量α_i（i＝1，2，…，t）都可以經向量組β₁，β₂，…，β_s線性表出，則向量組α₁，α₂，…，α_t稱為可以經向量組β₁，β₂，…，β_s線性表出．如果兩個向量組互相可以線性表出，稱為等價．

（2）性質

①反身性：每一個向量組都與它自身等價．

②對稱性：如果向量組α₁，α₂，…，α_s與β₁，β₂，…，β_t等價，則向量組β₁，β₂，…，β_t也與α₁，α₂，…，α_s等價．

③傳遞性：如果向量組α₁，α₂，…，α_s與β₁，β₂，…，β_t等價，β₁，β₂，…，β_t與γ₁，γ₂，…，γ_p等價，則向量組α₁，α₂，…，α_t與γ₁，γ₂，…，γ_p等價．

3線性相關性

（1）線性相關

如果向量組α₁，α₂，…，α_s（s≥2）中有一個向量可以由其余的向量線性表出，則稱向量組α₁，α₂，…，α_s線性相關．

定義的另一種表述為：向量組α₁，α₂，…，α_s（s≥1）稱為線性相關，如果有數域P中不全為零的數k₁，k₂，…，k_s，使

k₁α₁＋k₂α₂＋…＋k_sα_s＝0

（2）線性無關

一向量組α₁，α₂，…，α_s（s≥1）不線性相關，即沒有不全為零的數k₁，k₂，…，k_s使

k₁α₁＋k₂α₂＋…＋k_sα_s＝0

則稱為線性無關；或者稱向量組α₁，α₂，…，α_s線性無關．

（3）線性相關性的有關性質

①單獨一個向量線性相關當且僅當它是零向量．

②一個向量組中若有一向量為零向量，則該向量組一定線性相關．

③如果一向量組線性無關．則它的任何一個非空的部分組也線性無關．

④如果一向量組的一部分線性相關，則這個向量組就線性相關．

⑤設α₁，α₂，…，α_r與β₁，β₂，…，β_s是兩個向量組，如果

a．向量組α₁，α₂，…，α_r可以經β₁，β₂，…，β_s線性表出；

b．r＞s，

則向量組α₁，α₂，…，α_r必線性相關．

⑥如果向量組α₁，α₂，…，α_r可以經向量組β₁，β₂，…，β_s線性表出，且α₁，α₂，…，α_r線性無關，則rs．

⑦任意n＋1個n維向量必線性相關．

⑧兩個線性無關的等價的向量組，必含有相同個數的向量．

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4極大無關組

（1）定義

一向量組的一個部分組稱為一個極大線性無關組．如果這個部分組本身是線性無關的，并且從這向量組中任意添一個向量（如果還有的話），所得的部分向量組都線性相關．

注：①向量組的極大線性無關組不是唯一的；

②每一個極大線性無關組都與向量組本身等價；

③一向量組的任意兩個極大線性無關組都是等價的；

④一向量組的極大線性無關組都含有相同個數的向量．

（2）向量組的秩

向量組的極大線性無關組所含向量的個數稱為這個向量組的秩．

注：①一向量組線性無關的充分必要條件為它的秩與它所含向量的個數相同．

②等價的向量組必有相同的秩．

③含有非零向量的向量組一定有極大線性無關組，且任一個無關的部分向量組都能擴充成一個極大線性無關組，全部由零向量組成的向量組沒有極大線性無關組．規定這樣的向量組的秩為零．

四、矩陣的秩

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1矩陣的行秩、列秩、秩

（1）定義

矩陣的行秩就是指矩陣的行向量組的秩；矩陣的列秩就是矩陣的列向量組的秩．

（2）定理

①矩陣的行秩與列秩相等．

②n×n矩陣

的行列式為零的充分必要條件是A的秩小于n．

③齊次線性方程組

有非零解的充分必要條件是它的系數矩陣

的行列式等于零．

2矩陣的秩的有關結論

（1）定理

設，則

（2）k級子式

①定義

在一個s×n矩陣A中任意選定k行和k列，位于這些選定的行和列的交點上的k²個元素按原來的次序所組成的k級行列式，稱為A的一個k級子式．

②定理

一矩陣的秩是r的充分必要條件為矩陣中有一個r級子式不為零，同時所有r＋1級子式全為零．

3矩陣秩的計算

（1）方法一

按定義求出A的行(列)向量組的秩．

（2）方法二

利用k級子式的定理，A的秩等于A中非零子式的最大級數．

（3）方法三

用初等變換化A為階梯陣J，A的秩等于J中非零行的行數．

五、線性方程組有解判別定理

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線性方程組有解的充分必要條件為它的系數矩陣

與增廣矩陣

有相同的秩．

六、線性方程組解的結構

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1齊次線性方程組解的結構

　（3-2）

（1）解的性質

①兩個解的和還是方程組的解

設（k₁，k₂，…，k_n）與（l₁，l₂，…，l_n）是方程組（3-2）的兩個解，故把它們代入方程組，每個方程成恒等式，即

把兩個解的和

　（3-3）

代入方程組，得

（i＝1，2，…，s）

這說明式（3-3）是方程組的解．

②一個解的倍數還是方程組的解

設（k₁，k₂，…，k_n）是方程組（3-3）的一個解，則（ck₁，ck₂，…，ck_n）還是方程組的解，因為

（2）解空間

設為齊次線性方程組（3-2）的全體解向量所成集合，則

①；

②．

即關于解的線性運算封閉，所以是一個向量空間，稱之為齊次線性方程組（3-2）的解空間．

（3）基礎解系

齊次線性方程組（3-2）的一組解η₁，η₂，…，η_t稱為（3-2）的一個基礎解系，如果

①方程組（3-2）的任一個解都能表成η₁，η₂，…，η_t的線性組合；

②η₁，η₂，…，η_t線性無關．

（4）基礎解系的存在性

在齊次線性方程組有非零解的情況下，它有基礎解系，并且基礎解系所含解向量的個數

等于n－r，其中n是未知量的個數，r為A的秩．

（5）齊次線性方程組解的結構

若η₁，η₂，…，η_t為齊次線性方程組（3-2）的一個基礎解系，則方程組（3-2）的一般解（或通解）為

2一般線性方程組解的結構

設線性方程組

　（3-4）

則齊次線性方程組

　（3-5）

稱為方程組（3-4）的導出組．

（1）解的性質

①非齊次線性方程組（3-4）的兩個解的差為其導出組（3-5）的解．

②非齊次線性方程組（3-4）的一個解與其導出組（3-5）的一個解的和仍為（3-4）的解．

（2）非齊次線性方程組解的結構

如果是方程組（3-4）的一個特解，則方程組（3-4）的任一個解都可以表成，其中η是導出組（3-5）的一個解．