2.2　配套考研真題解析

一、填空題

1設

則|2A－B|＝______．[武漢大學2000研]

【答案】1

【解析】因為

2設A^*是3階方陣A的伴隨陣，，則|A^－1－2A^*|＝______．[華東師范大學研]

【答案】－16

【解析】因為

所以

二、證明題

1設A是n階矩陣，是一個n維列向量．證明：如果，則有．[南京大學研]

證：由題設知

所以

從而

2設A，Ｂ，C，D為ｎ階方陣．若的秩是n，證明：

而且，若A是可逆的，則D＝CA^-1B．[華南理工大學研]

證：如果|A|≠0，則有

由于的秩為n，所以D－CA^－1B＝0．

從而

|D|＝|C||A^－1||B|

因此

|A||D|－|C||B|＝0

如果|A|＝0，則只要證明|B||C|＝0即可．

事實上，如果|B|≠0，則有

所以

從而C＝DB^－1A，可得

|C|＝|D||B^－1||A|＝0

同理可得，如果|C|≠0，則|B|＝0．證完．

三、計算題

1計算n階行列式

[浙江大學2004研]

解：各行都加到第一行，提取公因子得

2計算n階行列式

這里a_i≠0，i＝1，2，…，n．[武漢大學2004研]

解：用降階公式