第二部分　課后習題

第1章　技　術

1．如果是個凸集，那么相關的生產集一定是凸的。對或錯？

True or false ? If  is a convex set, then the associated production set  must be convex.

答：這個說法錯誤。理由如下：

凸生產集意味著凸投入要素集，但是反過來不成立。首先證明凸生產集意味著凸投入要素集：

證明：如果是一個凸集，那么可以得出，對任何使和都在中的和^′來說，一定會有

在中，即在中。從而可知：如果和在中，那么也在中，從而可知也是凸的。

下面舉反例說明凸的投入要素集并不意味著凸的生產集?？紤]由生產函數規定的技術。生產集

當然不是凸的，但投入要素集是凸集。

2．當時，CES生產函數的替代彈性是什么？

What is the elasticity of substitution for the general CES technology  when ?

解：為了計算替代彈性，首先要計算技術替代率，根據技術替代率的定義：

 

上式兩邊取對數后得到：

 

根據替代彈性的定義：  

3．將要素的產出彈性定義成：，如果，每個要素的產出彈性是什么？

Define the output elasticity of a factor to be .If , what is the output elasticity of each factor?

解：，從而第一個要素的產出彈性為：

 

第二個要素的產出彈性為：

 

4．如果是規模彈性，是要素的產出彈性，證明：

 

If  is the elasticity of scale and  is the output elasticity of factor , show that

證明：對生產函數，令，其中。規模彈性的定義為：

從而：

 

再利用產出彈性的定義就有：

5．對CES生產函數而言，的規模彈性是什么？

What is the elasticity of scale of the CES technology, ?

答：

這意味著CES生產函數顯示出不變規模收益，因此規模彈性為1。

或者用定義也可以求得這一結果，由于

所以：  ，在時計算這個導數的值并除以，得到規模彈性為1。

6．當且僅當時，可微函數是嚴格增函數，判斷對或錯？

True or false? A differentiable function  is a strictly increasing function if and only if .

答：該命題不正確。這是因為：如果，可微函數是嚴格增函數，但反過來，則不一定成立。舉例來說明，函數是可微的，并且嚴格遞增，但在處的導數為零。

7．如果是位似技術函數，并且和生產同樣水平的產出，那么和也一定生產同樣水平的產出。請證明這個結論。

In the text it was claimed that if  is a homothetic technology and  and  produce the same level of output, then  and  must also produce the same level of output. Can you prove this rigorously?

證明：首先闡述一下位似技術的定義：

位似技術是一個一次齊次函數的單調變換。換句話說，函數是位似的，當且僅當它可以表示成

，其中是一次齊次的，是單調函數。

由于和^′生產同樣水平的產出，從而有，又因為函數是單調的，所以必有

，于是：

即和也一定生產同樣水平的產出.

8．如果是位似函數。證明它在處的技術替代率等于它在處的技術替代率。

Let  be a homothetic function. Show that its technical rate of substitution at  equals its technical rate of substitution at .

證明：位似函數可以寫成，其中是一次齊次函數，是單調函數。位似函數在處的技術替代率為：

從上式可以看出，一個位似函數的技術替代率與相應的一次齊次函數的技術替代率相等。而一次齊次函數在

處和處的技術替代率相等，因此位似函數在處和處的技術替代率也相等。

9．考慮CES生產函數：。證明可以把它寫成的形式。

Consider the CES technology.Show that we can always write this in the form.

證明：改寫過程如下：

 

最后令， 

10．假設是一個生產集。如果在中和在中意味著在中，就可以認為該技術是加性的。如果在中，并且對任意的，在中，就可以認為該技術是可分性的。證明：如果一項技術既是加性的又是可分性的，那么 一定是凸的且表現出規模報酬不變。

Let  be a production set. We say that the technology is additive if  in  and  in  implies that

 is in . We say that the technology is divisible if  in  and 0≤≤1 implies that  is in . Show that if a technology is both additive and divisible, then  must be convex and exhibit constant returns to scale.

證明：由于該技術滿足可分性，這就意味著對于任意的介于0到1之間的實數，和都在中。而加性則意味著兩者之和 也在中，由此凸性即得證明。

對任意大于1的實數，它總可以寫成 ，其中表示的整數部分，由于，所以，并且 。這樣，若在中，則由可加性，也在中，再由可分性，也在中，再次利用可加性， 也在中，這就意味著該技術是規模報酬不變的。

11．對每個投入要求集，判定其是否滿足正則性、單調性和／或凸性。假定參數和以及產出水平嚴格為正：

（a） 

（b）

（c）

（d）

（e）

（f）

（g）

For each input requirement set determine if it is regular, monotonic, and/or convex. Assume that the parameters  and  and the output levels are strictly positive.

（a） 

（b）

（c）

（d）

（e）

（f）

（g）

答：正則性是指對所有而言，是一個非空的閉集。正則性意味著總存在某種可想到的方法來生產出任意給定水平的產出。

單調是說如果在中，并且，那么，也在中。單調性意味著增加要素肯定不會降低產出的水平。

凸性是指如果和都在中，那么，對所有介于0和1之間的而言， 也在中。

（a）投入要求集滿足正則性，單調性以及凸性。

（b）投入要求集滿足正則性，單調性以及凸性。

（c）投入要求集是正則性的。的導數都是正的，所以技術是單調性的。由于等產量曲線凸向原點，所以生產函數是凹的是充分的（但不是必要的）。為了驗證這點，用生產函數的二階導數形成一個矩陣，并看它是否為負半定。海賽矩陣的第一個主子陣必有一個負的行列式，第二個主子陣必有一個非負的行列式。

 

 

 

 

 

所以投入要素集是凸性的。

（d）投入要求集滿足正則性，單調性以及凸性。

（e）投入要求集不滿足正則性，因為對任意大于1的產量，不存在把它生產出來的技術，但它滿足單調性和凸性；

（f）投入要求集是正則性的。為了檢驗單調性，寫下生產函數， 生產函數求偏導數得到：

 

可見只有當時，上式才為正，因而投入要素集并不總是單調的。

再來看的海賽矩陣，其行列式為零，且第一個主子式為正。因此根據海賽矩陣無法判斷的凸性，但是對于投入要求集可以判斷其不是凸的，理由如下：

，對此式改寫可得：，對這個式子兩邊平方后可知這是一個橢圓方程，并且是橢圓的外部區域在第一象限的部分，它不是凸的，即不是凸的。

（7）這一函數是一線性與一里昂惕夫函數的連續運用，所以它具有這兩種函數所擁有的所有性質，包括正則性、單調性和凸性。