第二部分　課后習(xí)題

第1章　技　術(shù)

1．如果是個(gè)凸集，那么相關(guān)的生產(chǎn)集一定是凸的。對(duì)或錯(cuò)？

True or false ? If  is a convex set, then the associated production set  must be convex.

答：這個(gè)說法錯(cuò)誤。理由如下：

凸生產(chǎn)集意味著凸投入要素集，但是反過來不成立。首先證明凸生產(chǎn)集意味著凸投入要素集：

證明：如果是一個(gè)凸集，那么可以得出，對(duì)任何使和都在中的和^′來說，一定會(huì)有

在中，即在中。從而可知：如果和在中，那么也在中，從而可知也是凸的。

下面舉反例說明凸的投入要素集并不意味著凸的生產(chǎn)集。考慮由生產(chǎn)函數(shù)規(guī)定的技術(shù)。生產(chǎn)集

當(dāng)然不是凸的，但投入要素集是凸集。

2．當(dāng)時(shí)，CES生產(chǎn)函數(shù)的替代彈性是什么？

What is the elasticity of substitution for the general CES technology  when ?

解：為了計(jì)算替代彈性，首先要計(jì)算技術(shù)替代率，根據(jù)技術(shù)替代率的定義：

 

上式兩邊取對(duì)數(shù)后得到：

 

根據(jù)替代彈性的定義：  

3．將要素的產(chǎn)出彈性定義成：，如果，每個(gè)要素的產(chǎn)出彈性是什么？

Define the output elasticity of a factor to be .If , what is the output elasticity of each factor?

解：，從而第一個(gè)要素的產(chǎn)出彈性為：

 

第二個(gè)要素的產(chǎn)出彈性為：

 

4．如果是規(guī)模彈性，是要素的產(chǎn)出彈性，證明：

 

If  is the elasticity of scale and  is the output elasticity of factor , show that

證明：對(duì)生產(chǎn)函數(shù)，令，其中。規(guī)模彈性的定義為：

從而：

 

再利用產(chǎn)出彈性的定義就有：

5．對(duì)CES生產(chǎn)函數(shù)而言，的規(guī)模彈性是什么？

What is the elasticity of scale of the CES technology, ?

答：

這意味著CES生產(chǎn)函數(shù)顯示出不變規(guī)模收益，因此規(guī)模彈性為1。

或者用定義也可以求得這一結(jié)果，由于

所以：  ，在時(shí)計(jì)算這個(gè)導(dǎo)數(shù)的值并除以，得到規(guī)模彈性為1。

6．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，可微函數(shù)是嚴(yán)格增函數(shù)，判斷對(duì)或錯(cuò)？

True or false? A differentiable function  is a strictly increasing function if and only if .

答：該命題不正確。這是因?yàn)椋喝绻?img alt="" class="h-pic" src="https://epubservercos.yuewen.com/DB33CA/15436380805519906/epubprivate/OEBPS/Images/image1125.png?sign=1755932298-3Y38IxxN7RMBLooughmtRjZN4XxpLK1P-0-b07f732743e5193901490ce3fda04911">，可微函數(shù)是嚴(yán)格增函數(shù)，但反過來，則不一定成立。舉例來說明，函數(shù)是可微的，并且嚴(yán)格遞增，但在處的導(dǎo)數(shù)為零。

7．如果是位似技術(shù)函數(shù)，并且和生產(chǎn)同樣水平的產(chǎn)出，那么和也一定生產(chǎn)同樣水平的產(chǎn)出。請(qǐng)證明這個(gè)結(jié)論。

In the text it was claimed that if  is a homothetic technology and  and  produce the same level of output, then  and  must also produce the same level of output. Can you prove this rigorously?

證明：首先闡述一下位似技術(shù)的定義：

位似技術(shù)是一個(gè)一次齊次函數(shù)的單調(diào)變換。換句話說，函數(shù)是位似的，當(dāng)且僅當(dāng)它可以表示成

，其中是一次齊次的，是單調(diào)函數(shù)。

由于和^′生產(chǎn)同樣水平的產(chǎn)出，從而有，又因?yàn)楹瘮?shù)是單調(diào)的，所以必有

，于是：

即和也一定生產(chǎn)同樣水平的產(chǎn)出.

8．如果是位似函數(shù)。證明它在處的技術(shù)替代率等于它在處的技術(shù)替代率。

Let  be a homothetic function. Show that its technical rate of substitution at  equals its technical rate of substitution at .

證明：位似函數(shù)可以寫成，其中是一次齊次函數(shù)，是單調(diào)函數(shù)。位似函數(shù)在處的技術(shù)替代率為：

從上式可以看出，一個(gè)位似函數(shù)的技術(shù)替代率與相應(yīng)的一次齊次函數(shù)的技術(shù)替代率相等。而一次齊次函數(shù)在

處和處的技術(shù)替代率相等，因此位似函數(shù)在處和處的技術(shù)替代率也相等。

9．考慮CES生產(chǎn)函數(shù)：。證明可以把它寫成的形式。

Consider the CES technology.Show that we can always write this in the form.

證明：改寫過程如下：

 

最后令， 

10．假設(shè)是一個(gè)生產(chǎn)集。如果在中和在中意味著在中，就可以認(rèn)為該技術(shù)是加性的。如果在中，并且對(duì)任意的，在中，就可以認(rèn)為該技術(shù)是可分性的。證明：如果一項(xiàng)技術(shù)既是加性的又是可分性的，那么 一定是凸的且表現(xiàn)出規(guī)模報(bào)酬不變。

Let  be a production set. We say that the technology is additive if  in  and  in  implies that

 is in . We say that the technology is divisible if  in  and 0≤≤1 implies that  is in . Show that if a technology is both additive and divisible, then  must be convex and exhibit constant returns to scale.

證明：由于該技術(shù)滿足可分性，這就意味著對(duì)于任意的介于0到1之間的實(shí)數(shù)，和都在中。而加性則意味著兩者之和 也在中，由此凸性即得證明。

對(duì)任意大于1的實(shí)數(shù)，它總可以寫成 ，其中表示的整數(shù)部分，由于，所以，并且 。這樣，若在中，則由可加性，也在中，再由可分性，也在中，再次利用可加性， 也在中，這就意味著該技術(shù)是規(guī)模報(bào)酬不變的。

11．對(duì)每個(gè)投入要求集，判定其是否滿足正則性、單調(diào)性和／或凸性。假定參數(shù)和以及產(chǎn)出水平嚴(yán)格為正：

（a） 

（b）

（c）

（d）

（e）

（f）

（g）

For each input requirement set determine if it is regular, monotonic, and/or convex. Assume that the parameters  and  and the output levels are strictly positive.

（a） 

（b）

（c）

（d）

（e）

（f）

（g）

答：正則性是指對(duì)所有而言，是一個(gè)非空的閉集。正則性意味著總存在某種可想到的方法來生產(chǎn)出任意給定水平的產(chǎn)出。

單調(diào)是說如果在中，并且，那么，也在中。單調(diào)性意味著增加要素肯定不會(huì)降低產(chǎn)出的水平。

凸性是指如果和都在中，那么，對(duì)所有介于0和1之間的而言， 也在中。

（a）投入要求集滿足正則性，單調(diào)性以及凸性。

（b）投入要求集滿足正則性，單調(diào)性以及凸性。

（c）投入要求集是正則性的。的導(dǎo)數(shù)都是正的，所以技術(shù)是單調(diào)性的。由于等產(chǎn)量曲線凸向原點(diǎn)，所以生產(chǎn)函數(shù)是凹的是充分的（但不是必要的）。為了驗(yàn)證這點(diǎn)，用生產(chǎn)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)形成一個(gè)矩陣，并看它是否為負(fù)半定。海賽矩陣的第一個(gè)主子陣必有一個(gè)負(fù)的行列式，第二個(gè)主子陣必有一個(gè)非負(fù)的行列式。

 

 

 

 

 

所以投入要素集是凸性的。

（d）投入要求集滿足正則性，單調(diào)性以及凸性。

（e）投入要求集不滿足正則性，因?yàn)閷?duì)任意大于1的產(chǎn)量，不存在把它生產(chǎn)出來的技術(shù)，但它滿足單調(diào)性和凸性；

（f）投入要求集是正則性的。為了檢驗(yàn)單調(diào)性，寫下生產(chǎn)函數(shù)， 生產(chǎn)函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)得到：

 

可見只有當(dāng)時(shí)，上式才為正，因而投入要素集并不總是單調(diào)的。

再來看的海賽矩陣，其行列式為零，且第一個(gè)主子式為正。因此根據(jù)海賽矩陣無法判斷的凸性，但是對(duì)于投入要求集可以判斷其不是凸的，理由如下：

，對(duì)此式改寫可得：，對(duì)這個(gè)式子兩邊平方后可知這是一個(gè)橢圓方程，并且是橢圓的外部區(qū)域在第一象限的部分，它不是凸的，即不是凸的。

（7）這一函數(shù)是一線性與一里昂惕夫函數(shù)的連續(xù)運(yùn)用，所以它具有這兩種函數(shù)所擁有的所有性質(zhì)，包括正則性、單調(diào)性和凸性。