第10章　反常積分

10.1　復習筆記

一、無窮限的反常積分

1．無窮限反常積分的概念

（1）定義

設函數f（x）在有定義，并且對于任意的A（A＞a）在區間[a，A]上可積．當極限

存在時，稱這極限值為f（x）在區間上（或是從a到＋∞）的反常積分．記作

這時也稱積分是收斂的，它的值就是，如果不存在，稱積分是發散的．

對反常積分，當和都收斂時（a是一個任意固定的數），就說收斂，并且有

這時，有必須注意的是：和兩者之間是獨立變化的．如果上式右邊的極限不存在，就稱發散．

（2）無窮限積分的性質

①設f（x）在[a，＋∞）可積，k是常數，那么kf（x）也可積，并且

②設f（x），g（x）在[a，＋∞）可積，那么f（x）±g（x）也可積，并且

③反常積分的分部積分法

設u（x），v（x），u'（x），v'（x）在[a，＋∞）連續，又如果下面的等式中有兩項存在，那么第三項也存在，并且等式

成立．

④無窮限積分也有換元法則．

（3）無窮限積分的收斂性

①柯西收斂定理

②設對任何A＞a，若f（x）在[a，A]可積，并且收斂，就稱絕對收斂．收斂但不絕對收斂的反常積分稱為條件收斂．

③絕對收斂的反常積分必收斂．

2．無窮限反常積分和數項級數的關系

設則存在的充要條件是對任何單調增加的數列，，數列收斂，并且有同一極限值．

3．無窮限反常積分的收斂性判別法

（1）比較判別法

如果對充分大的x（亦即存在x₀，當x≥x₀時）有|f（Ｘ）|≤收斂，那么積分絕對收斂；又如果對充分大的x，有而積分發散，那么積分發散．

（2）比較判別法的極限形式．

①如果且收斂，那么積分絕對收斂；

②如果．且發散，那么積分發散．

（3）柯西判別法

在比較判別法中取，就得到柯西判別法

①如果那么絕對收斂；

②如果自某一值起保持定號，那么積分發散．

（4）柯西判別法的極限形式

①如果那么積分絕對收斂．

②如果而那么發散．

4．阿貝爾判別法和狄利克雷判別法

（1）第二中值定理

設f（x）在[a，b]上可積，而g（x）在[a，b]上單調，那么在[a，b]上存在ξ，使

特別，如果g（x）單調增加且g（a）≥0，那么有ξ，使

如果g（x）單調減少且g（b）≥0，那么有ξ，使

（2）阿貝爾判別法

如果f（x）在[a，＋∞）上可積，g（x）單調有界，那么積分收斂．

（3）狄利克雷判別法

如果對任何有界：，g（x）單調，且當x→＋∞時趨向于零，那么積分收斂．

二、無界函數的反常積分

1．無界函數的反常積分的概念，柯西判別法

（1）定義

設函數f（x）在x＝b點的任一左鄰域無界（稱b點為f（x）的奇點），但對于任意充分小的正數η，f（x）在[a，b－η]上可積，即

存在．如果存在，就稱此極限值是無界函數f（x）從a到b的反常積分，記為；并稱無界函數f（x）在[a，b]上可積，或稱反常積分收斂．如果上述的極限不存在，就說積分發散．

（2）性質

①定積分的一些性質包括分部積分法和換元法對無界函數的反常積分也成立；

②柯西收斂原理

若x＝a是f（x）的奇點，則收斂的充要條件是：對任意給定的ε＞0，存在δ＞0．當0＜η，η'＜δ時，總有；

③無界函數反常積分也有絕對收斂和條件收斂之分，并且絕對收斂必收斂，但反之不然．

④柯西判別法

設x＝a是f（x）的奇點，

a．如果那么絕對收斂；

b．如果那么發散．

⑤柯西判別法的極限形式

設

a．如果0≤k＜∞，P＜1，那么為絕對收斂；

b．如果0＜k≤∞，P≥1，f（x）在區間（a，b]內的符號不改變，那么發散．

⑥設無界函數反常積分中的f（x）有奇點a，作變換就有

后者就是無窮限反常積分．

2．阿貝爾判別法和狄利克雷判別法

（1）阿貝爾判別法

設f（x）在x＝a有奇點，收斂，g（x）單調有界，那么積分收斂．

（2）狄利克雷判別法

設f（x）在x＝a有奇點，是η的有界函數，g（x）單凋且當x→a時趨于零，那么積分收斂．

3．反常積分的主值

（1）無界函數反常積分的主值

設f（x）在[a，b]內無界，c是唯一奇點，a＜c＜b，如果

存在（注意，c－η與c＋η中的η是同一個正數），就稱此極限是反常積分的柯西主值，記為

，

（P．V．是Princeple Value的縮寫）．

（2）無窮限反常積分的柯西主值

無窮限的反常積分的柯西主值為