9.3　名校考研真題詳解

一、判斷題

1．若收斂，則存在．[重慶大學2003研]

【答案】錯

【解析】舉反例：，雖然，但是發散．

1．若收斂，，則收斂．[南京師范大學研]

【答案】錯

【解析】舉反例：滿足條件，而且很容易知道

但是發散，所以發散．

二、解答題

1．求級數的和．[深圳大學2006研、浙江師范大學2006研]

解：

1．討論正項級數的斂散性．[武漢理工大學研]

解：由于，所以當a＞1時收斂，當0＜a＜1時發散；當a＝1時，由于

，故發散．

1．證明：收斂．[東南大學研]

證明：因為，所以

又因為

而收斂，故收斂．

1．討論：，p∈R的斂散性．[上海交通大學研]

證明：因為為增數列，而為減數列，所以．從而

所以．于是當p＞0時，由積分判別法知收斂，故由Weierstrass判別法知收斂：當p＝0時，因為發散，所以發散：當p＜0時，

發散．

1．設級數絕對收斂，證明：級數收斂．[上海理工大學研]

證明：因為絕對收斂，所以．從而存在N＞0，使得當n＞N時，有，則有，故由比較判別法知級數收斂．

1．求．[中山大學2007研]

解：由于，所以絕對收斂．

1．設，且有，證明：收斂．[大連理工大學研]

證明：因為，所以對任意的ε，存在N，當n＞N時，有

，

即

取ε充分小，使得，即．因為，所以單調遞減，且

現在證明．因為，即則

．

所以對任意的ε，存在N，當n＞N時，有．對任意的0＜c-ε＜r，有

所以存在N，當n＞N時，，則

因此

，

由兩邊夾法則可得．故由交錯級數的Leibniz判別法知收斂．

674．說明下面級數是條件收斂或絕對收斂[復旦大學研]

解：數列是n的單調遞減函數．且

由萊布尼茲判別法，可知收斂．

所以

故當2x＞1，即時收斂，即

絕對收斂；

當2x≤1，即時，發散，即

條件收斂．

671．證明：若絕對收斂，則亦必絕對收斂．[華東師范大學研]

證明：絕對收斂，從而收斂，記

則　

由比較判別法知斂散性相同，而收斂，所以

收斂，即

絕對收斂．

655．證明級數發散到[吉林大學研]

證明：令則

易知發散到所以

又，所以

所以原級數發散到