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第12章 傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換

12.1 復(fù)習(xí)筆記

一、函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開

1.傅里葉級(jí)數(shù)

設(shè)f(t)是一個(gè)周期為T的波,在一定條件下可以把它寫成

其中是n階諧波,,稱上式右端的級(jí)數(shù)是由f(t)

所確定的傅里葉級(jí)數(shù),它是一種三角級(jí)數(shù).

2.三角函數(shù)系的正交性

考察三角函數(shù)系

其中每一個(gè)函數(shù)在長(zhǎng)為2π的區(qū)間上定義,其中任何兩個(gè)不同的函數(shù)的乘積沿區(qū)間上的積分等于零,而每個(gè)函數(shù)自身平方的積分非零,則稱這個(gè)函數(shù)系在長(zhǎng)為2π的區(qū)間上具有正交性.

3.傅里葉系數(shù)

設(shè)函數(shù)f(x)已展開為全區(qū)間上的一致收斂的三角級(jí)數(shù)

因此歐拉-傅里葉公式為

稱三角級(jí)數(shù)

是f(x)關(guān)于三角函數(shù)系的傅里葉級(jí)數(shù),而稱為f(x)的傅里葉系數(shù),記為

4.傅里葉級(jí)數(shù)的收斂判別法

設(shè)函數(shù)f(x)在[-π,π]上可積和絕對(duì)可積,且

若f(x)在x點(diǎn)的左右極限f(x+0)和f(x-0)都存在,并且兩個(gè)廣義單側(cè)導(dǎo)數(shù)

都存在,則f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)在x點(diǎn)收斂.當(dāng)x是f(x)的連續(xù)點(diǎn)時(shí)它收斂于f(x),當(dāng)x是f(x)的間斷點(diǎn)(一定是第一類間斷點(diǎn))時(shí)它收斂于

5.傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式

傅里葉級(jí)數(shù)的n階諧波可以用復(fù)數(shù)形式表示.由歐拉公式

,則上面的傅里葉級(jí)數(shù)就化成一個(gè)簡(jiǎn)潔的形式

這就是傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式,cn為復(fù)振幅,cn與c-n是一對(duì)共軛復(fù)數(shù).其中

歸結(jié)成一個(gè)形式,就是

(其中n=0,±1,±2,…).

6.收斂判別法

(1)狄利克雷積分

設(shè)f(x)在[-π,π]上可積和絕對(duì)可積,它的傅里葉級(jí)數(shù)為

其中

傅里葉級(jí)數(shù)的部分和為

上面的幾種積分表達(dá)式都稱為狄利克雷積分.又因?yàn)?/p>

所以

,若能否取到適當(dāng)?shù)膕,使

成立,則f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)在x點(diǎn)就收斂于s.

(2)黎曼引理

設(shè)函數(shù)ψ(u)在區(qū)間[a,b]上可積和絕對(duì)可積,那么以下的極限式成立

(3)傅里葉級(jí)數(shù)收斂性的判定

迪尼(Dini)判別法(迪尼定理)

設(shè)能取到適當(dāng)?shù)膕,使由函數(shù)f(x)以及x點(diǎn)所作出的滿足條件:對(duì)某正數(shù)h,使在[0,h]上,為可積和絕對(duì)可積,那么f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)在x點(diǎn)收斂于s.

利普希茨(Lipschitz)判別法(迪尼判別法的一個(gè)推論)

如果函數(shù)f(x)在x點(diǎn)連續(xù),并且對(duì)于充分小的正數(shù)u,在x點(diǎn)的利普希茨條件

成立,其中L,α皆是正數(shù),且α≤1,那么f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)在x點(diǎn)收斂于f(x).更一般地.如果對(duì)于充分小的u,成立L,α同前,那么f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)在x點(diǎn)收斂于

7.傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)

(1)傅里葉系數(shù)與函數(shù)f(x)在整個(gè)積分區(qū)間上的值有關(guān).

(2)局部性定理

函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)在x點(diǎn)的收斂和發(fā)散情況,只和f(x)在這一點(diǎn)的充分鄰近區(qū)域的值有關(guān).

(3)可積和絕對(duì)可積函數(shù)的傅里葉系數(shù)趨于零,即

(4)一致收斂性

設(shè)周期為2π的可積和絕對(duì)可積函數(shù)f(x)在比[a,b]更寬的區(qū)間[a-δ,b+δ](其中δ>0)上有有界導(dǎo)數(shù),那么f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)在區(qū)間[a,b]上一致收斂于f(x);

設(shè)周期為2π的可積和絕對(duì)可積函數(shù)f(x)在比[a,b]更寬的區(qū)間[a-δ,b+δ](其中δ>0)上連續(xù)且為分段單調(diào)函數(shù),那么f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)在區(qū)間[a,b]上一致收斂于f(x).

(5)傅里葉級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)求積和逐項(xiàng)求導(dǎo)

設(shè)f(x)是[-π,π]上的分段連續(xù)函數(shù),它的傅里葉級(jí)數(shù)是

則右端級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)積分,設(shè)c和x是[-π,π]上任意兩點(diǎn),則有

(6)最佳平方平均逼近

設(shè)是任意一個(gè)n次三角多項(xiàng)式

其中都是常數(shù).設(shè)f(x)是[-π,π]上可積和平方可積函數(shù),稱

是用三角多項(xiàng)式在平方平均意義下逼近f(x)的偏差.

設(shè)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)是

右端級(jí)數(shù)的n次部分和

是f(x)的最佳平方平均逼近,亦即對(duì)任何n次三角多項(xiàng)式都有

二、傅里葉變換

1.傅里葉變換的概念

是f(x)的傅里葉變換,并把它記為F(f)或

由f(x)的絕對(duì)可積性以及,可以得到

(1)是ω∈(﹣∞,+∞)內(nèi)的連續(xù)函數(shù);

(2)黎曼引理:

2.傅里葉變換的性質(zhì)

(1)線性

,其中是兩個(gè)任意給定的常數(shù).

(2)平移

對(duì)任何f(x),設(shè)(即f(x)的平移),那么這個(gè)性質(zhì)表明平移后的傅里葉變換等于未作平移的傅里葉變換乘

(3)導(dǎo)數(shù)

設(shè)f(x)→0(x→±∞),則

由這一性質(zhì)知,求導(dǎo)運(yùn)算在傅里葉變換下變?yōu)槌朔e運(yùn)算.

(4)

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