第12章　傅里葉級數(shù)和傅里葉變換

12.1　復(fù)習(xí)筆記

一、函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開

1．傅里葉級數(shù)

設(shè)f（t）是一個周期為T的波，在一定條件下可以把它寫成

其中是n階諧波，，稱上式右端的級數(shù)是由f（t）

所確定的傅里葉級數(shù)，它是一種三角級數(shù)．

2．三角函數(shù)系的正交性

考察三角函數(shù)系

其中每一個函數(shù)在長為2π的區(qū)間上定義，其中任何兩個不同的函數(shù)的乘積沿區(qū)間上的積分等于零，而每個函數(shù)自身平方的積分非零，則稱這個函數(shù)系在長為2π的區(qū)間上具有正交性．

3．傅里葉系數(shù)

設(shè)函數(shù)f（x）已展開為全區(qū)間上的一致收斂的三角級數(shù)

則

；

；

因此歐拉-傅里葉公式為

稱三角級數(shù)

是f（x）關(guān)于三角函數(shù)系的傅里葉級數(shù)，而稱為f（x）的傅里葉系數(shù)，記為

4．傅里葉級數(shù)的收斂判別法

設(shè)函數(shù)f（x）在[－π，π]上可積和絕對可積，且

若f（x）在x點(diǎn)的左右極限f（x＋0）和f（x－0）都存在，并且兩個廣義單側(cè)導(dǎo)數(shù)

都存在，則f（x）的傅里葉級數(shù)在x點(diǎn)收斂．當(dāng)x是f（x）的連續(xù)點(diǎn)時它收斂于f（x），當(dāng)x是f（x）的間斷點(diǎn)（一定是第一類間斷點(diǎn)）時它收斂于

5．傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式

傅里葉級數(shù)的n階諧波可以用復(fù)數(shù)形式表示．由歐拉公式

得

記，則上面的傅里葉級數(shù)就化成一個簡潔的形式

這就是傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式，c_n為復(fù)振幅，c_n與c_-n是一對共軛復(fù)數(shù)．其中

歸結(jié)成一個形式，就是

（其中n＝0，±1，±2，…）．

6．收斂判別法

（1）狄利克雷積分

設(shè)f（x）在[－π，π]上可積和絕對可積，它的傅里葉級數(shù)為

其中

傅里葉級數(shù)的部分和為

上面的幾種積分表達(dá)式都稱為狄利克雷積分．又因?yàn)?/p>

所以

記，若能否取到適當(dāng)?shù)膕，使

成立，則f（x）的傅里葉級數(shù)在x點(diǎn)就收斂于s．

（2）黎曼引理

設(shè)函數(shù)ψ（u）在區(qū)間[a，b]上可積和絕對可積，那么以下的極限式成立

（3）傅里葉級數(shù)收斂性的判定

①迪尼（Dini）判別法（迪尼定理）

設(shè)能取到適當(dāng)?shù)膕，使由函數(shù)f（x）以及x點(diǎn)所作出的滿足條件：對某正數(shù)h，使在[0，h]上，為可積和絕對可積，那么f（x）的傅里葉級數(shù)在x點(diǎn)收斂于s．

②利普希茨（Lipschitz）判別法（迪尼判別法的一個推論）

如果函數(shù)f（x）在x點(diǎn)連續(xù)，并且對于充分小的正數(shù)u，在x點(diǎn)的利普希茨條件

成立，其中L，α皆是正數(shù)，且α≤1，那么f（x）的傅里葉級數(shù)在x點(diǎn)收斂于f（x）．更一般地．如果對于充分小的u，成立L，α同前，那么f（x）的傅里葉級數(shù)在x點(diǎn)收斂于

7．傅里葉級數(shù)的性質(zhì)

（1）傅里葉系數(shù)與函數(shù)f（x）在整個積分區(qū)間上的值有關(guān)．

（2）局部性定理

函數(shù)f（x）的傅里葉級數(shù)在x點(diǎn)的收斂和發(fā)散情況，只和f（x）在這一點(diǎn)的充分鄰近區(qū)域的值有關(guān)．

（3）可積和絕對可積函數(shù)的傅里葉系數(shù)趨于零，即

（4）一致收斂性

①設(shè)周期為2π的可積和絕對可積函數(shù)f（x）在比[a，b]更寬的區(qū)間[a－δ，b+δ]（其中δ>0）上有有界導(dǎo)數(shù)，那么f（x）的傅里葉級數(shù)在區(qū)間[a，b]上一致收斂于f（x）；

②設(shè)周期為2π的可積和絕對可積函數(shù)f（x）在比[a，b]更寬的區(qū)間[a－δ，b+δ]（其中δ>0）上連續(xù)且為分段單調(diào)函數(shù)，那么f（x）的傅里葉級數(shù)在區(qū)間[a，b]上一致收斂于f（x）．

（5）傅里葉級數(shù)的逐項(xiàng)求積和逐項(xiàng)求導(dǎo)

設(shè)f（x）是[－π，π]上的分段連續(xù)函數(shù)，它的傅里葉級數(shù)是

則右端級數(shù)可以逐項(xiàng)積分，設(shè)c和x是[－π，π]上任意兩點(diǎn)，則有

（6）最佳平方平均逼近

設(shè)是任意一個n次三角多項(xiàng)式

其中都是常數(shù)．設(shè)f（x）是[－π，π]上可積和平方可積函數(shù)，稱

是用三角多項(xiàng)式在平方平均意義下逼近f（x）的偏差．

設(shè)f（x）的傅里葉級數(shù)是

右端級數(shù)的n次部分和

是f（x）的最佳平方平均逼近，亦即對任何n次三角多項(xiàng)式都有

二、傅里葉變換

1．傅里葉變換的概念

稱是f（x）的傅里葉變換，并把它記為F（f）或即

由f（x）的絕對可積性以及，可以得到

（1）是ω∈（﹣∞，+∞）內(nèi)的連續(xù)函數(shù)；

（2）黎曼引理：

2．傅里葉變換的性質(zhì)

（1）線性

，其中是兩個任意給定的常數(shù)．

（2）平移

對任何f（x），設(shè)（即f（x）的平移），那么這個性質(zhì)表明平移后的傅里葉變換等于未作平移的傅里葉變換乘

（3）導(dǎo)數(shù)

設(shè)f（x）→0（x→±∞），則

由這一性質(zhì)知，求導(dǎo)運(yùn)算在傅里葉變換下變?yōu)槌朔e運(yùn)算．

（4）