第21章　波　動

一、選擇題

1．如圖21-1所示，兩相干波源S₁和S₂相距λ／4，（λ為波長），S₁的相位比S₂的相位超前π，在S₁，S₂的連線上，S₁外側各點（例如P點）兩波引起的兩諧振動的相位差是（　　）。[華南理工大學2010研]

圖21-1

A．0　 

B．　 

C．π　 

D．

【答案】C

【解析】對于P點，波源、產生的波傳到P點的波程差為：。

則相位差為：，故答案為C。

2．如圖21-2所示，平行單色光垂直照射到薄膜上，經上下兩表面反射的兩束光發生干涉，若薄膜的厚度為e，并且n₁＜n₂＞n₃，λ₁為入射光在折射率為n₁的媒質中的波長，則兩束反射光在相遇點的相位差為（　　）。[華南理工大學2010研]

圖21-2

A．2πn₂e／（n₁λ₁）  　 

B．[4πn₁e／（n₂λ₁）]＋π

C．[4πn₂e／（n₁λ₁）]＋π　  

D．4πn₂e／（n₁λ₁）

【答案】C

【解析】本題需要考慮半波損失。介質中波長為入射到折射率為介質中時，此時波長滿足。光波在厚度為e的介質中反射后，考慮半波損失后的光程差為：，則相位差為：。聯立以上各式，可以解得：，故答案選B。

4．把一根十分長的繩子拉成水平，用手握其一端，維持拉力恒定，使繩端在垂直于繩子的方向上作簡諧振動，則（　　）。[華南理工大學2009研]

A．振動頻率越高，波長越長

B．振動頻率越低，波長越長

C．振動頻率越高，波速越大

D．振動頻率越低，波速越大

【答案】B

【解析】此簡諧波為橫波，柔軟繩索中橫波的傳播速度為（為繩索中的張力，為繩索單位長度的質量），故當維持拉力恒定時則波速恒定。又波速、波長和頻率滿足如下關系:，故振動頻率越低，波速不變時波長越長。

5．一平面簡諧波沿x軸正方向傳播，波速為u。已知x＝l處質點的振動方程，則此波的波動方程為（　　）。[電子科技大學2006研]

A．　

B．

C． 

D．

【答案】A

二、填空題

1．一列火車以20m／s的速度行駛，若機車汽笛的頻率為600Hz，一靜止觀測者在機車前和機車后所聽到的聲音頻率分別為______和______（設空氣中聲速為340m／s）。[華南理工大學2011研]

【答案】（1）637.5Hz；（2）566.7Hz

【解析】（1）多普勒公式為：

 其中，、分別為波源和觀察者的速度；

當觀察者站在機車前面時，為0，為20，帶入數值可得：

（2）同理可得，機車后面接受到的頻率為：

2．一平面簡諧波方程（波函數）為，在處有一反射壁，若平面波從空氣傳到反射壁而反射，反射時振幅不變，已知空氣為波疏介質，則反射波波動方程為______，波節點的位置為______。[南京理工大學2005研]

【答案】；（）

3．如圖21-3所示，設沿弦線傳播的一入射波的表達式為

波在x＝L處（B點）發生反射，反射點為自由端（如圖）。設波在傳播和反射過程中振幅不變，則反射波的表達式是y₂＝______。[華南理工大學2010研]

圖21-3

【答案】

【解析】簡諧波的一般方程為，其中當波沿軸正方向傳播時取負號，沿負方向傳播時取正號。為波源初始相位。對于反射波，沿負方向傳播故取正號，波源坐標為，由于反射端為自由端，故初始相位為。所以反射波方程為。

三、計算題

1．一振幅為10cm，波長為200cm的一維余弦波。沿x軸正向傳播，波速為100cm／s，在t＝0時原點處質點在平衡位置向正位移方向運動。求

（1）原點處質點的振動方程。

（2）在x＝150cm處質點的振動方程。[華南理工大學2011研]

解：（1）設波動方程為：，由已知條件可知，，和。

則對于原點O的振動方程為：   

t＝0時刻原點的位移為:　

t＝0時刻原點O的速度為：　   

由題意得：可知；故。

因而波動方程為：

原點位置處的振動方程為：

（2）當時，振動方程為：。

2．（1）有一平面簡諧波以波速u＝4m/s沿x軸正方向傳播，已知位于坐標原點處的質元的振動曲線如圖21-4（a）所示，求該平面簡諧波的波函數。

（2）有一平面簡諧波以波速u＝4m/s沿x軸正方向傳播，已知t＝0時的波形圖如圖21-4（b）所示，求該平面簡諧波的波函數。[廈門大學2011研]

圖21-4

解：（1）由圖21-4（a）可知，此簡諧波周期為4s，振幅為0.04m，原點處質元的初始位移為0.02m,且速度沿y軸正向。由此可以確定平面波的波函數為

（2）由圖21-4（b）可知，此簡諧波振幅為0.04m，波長為4m,從而振動周期為1s。原點處質元初始位移為0.02m,且初試速度沿y軸負向。由此可以確定平面波的波函數為

3．一平面簡諧波沿x軸正方向傳播。已知波的周期為T＝0．5s，波長為λ＝10m，振幅為A＝0．1m。當t＝0時，坐標原點處的質點恰好在平衡位置并向y軸負方向運動。求：

（1）此波的表達式：

處質點的位移；

處質點的振動速度。[北京郵電大學2010研]

解：（1）∵在平衡位置并向y軸負方向運動，故初相位為。

∴ 此波的表達式為： m。

（2）將代入波動方程可得：。

（3）處質點的位移為，故質點恰好在平衡位置其振動速度達最大值為。

4．如圖21-5所示，一平面簡諧波沿Ox軸的負方向傳播，波速大小為u，若P處介質質點的振動方程為y_p＝Acos（ωt＋φ），求

（1）O處質點的振動方程；

（2）該波的波動表達式；

（3）與P處質點振動狀態相同的那些點的位置。[華南理工大學2010研]

圖21-5

解：（1）經分析得到，O點的振動比P點的振動超前了，所以O點的振動方程為：

（2）波動方程為：

（3）與P點振動相同，則表示與P點的相位差相差，則這些點坐標為：

其中k為任意整數。

5．如圖21-6所示，一簡諧波向x軸正向傳播，波速u＝500m/s，x₀＝1m，P點的振動方程為

（1）按圖21-6所示坐標系，寫出相應的波的表達式；

（2）在圖上畫出t＝0時刻的波形曲線。[華南理工大學2009研]

圖21-6

解：（1）∵x₀＝1m，P點的振動方

∴相應波的表達式為:

（2）由題知，波長，令得，零時刻波形為：

其波形如圖21-7所示

圖21-7

6．某樂器為一根一端封閉，一端開放的細管，已知此樂器的基音頻率為，求（設空氣中的聲速為v）：

（1）管的長度和第二諧波的頻率。

（2）若打開封閉端，第二諧波的頻率變成多少？[北京師范大學2008研]

解：（1）當一端封閉、一端開放時，在封閉端為波節，在開放端為波腹，則管長為：

當樂器的基音頻率為時，可知，為第二諧波時，n＝2，，所以

第二諧波的頻率為：。

（2）若兩端開放，則；第二諧波的頻率為：

7．如圖21-8所示，已知一平面余弦波振幅，波速，周期，若波源0距反射面B的距離為，，波源的初相位為零，求：

（1）反射波方程。

（2）與原點O相距x的P點處的合成波方程。

（3）與原點相距處C點的振動方程。[南京航空航天大學2007研]

圖21-8

解：（1）如圖21-8所示坐標，入射波方程為：

設反射波方程為：

在反射面B處有：

解得：

反射波方程為：

（2）合成波方程為：

（3）與原點相距x＝1m處C點的壓動方程為：

8．圖21-9所示為一平面簡諧波在時刻的波形圖，求：

（1）該波的波動表達式。

（2）處質點的振動議程。[湖南大學2007研]

圖21-9

解：（1）處質點，時有：

所以有：

故波動表達式為：

（2）處質點的振動議程為：

9．已知平面簡諧波的方程為，式中A、B和C為正常量，寫出此波的波長和波速的表達式，并求出在波的傳播方向上相距為d的兩點的相位差。[浙江大學2006研]

解：由平面簡諧波方程可得：

則

　 

10．一平面簡諧波沿x軸正方向傳播，波長λ＝4m，周期T＝4s，已知x＝0處質點的振動曲線如圖21-10所示。求：（1）原點o的振動方程；（2）波動方程。[電子科技大學2005研]

圖21-10

解：（1）原點o的振動方程：　

  （2）波動方程：　 

11．如圖21-11所示，音叉與頻率為250.0Hz的標準聲源同時發音時，產生1.5Hz的拍音。當音叉粘上一小塊橡皮泥時，拍頻增加了。將該音叉放在盛水的細管口，連續調節水面的高度，當空氣柱高度相繼為0.34m和1.03m時發生共振。試求：

（1）聲波在空氣中的速度。

（2）畫出空氣柱中的駐波圖。[南京大學2005研]

圖21-11

解：（1）當音叉粘上一小塊橡皮泥后，振動變慢，則音叉的頻率為：

又空氣柱為0.34m和1.03m時發生共振，二者相差半個波長，故：

于是聲波波速為：

（2）空氣中的駐波示意圖如圖21-12所示，空氣中恰有整數個半波。

圖21-12