第23章　光的衍射

一、選擇題

1．某元素的特征光譜中含有波長分別為λ₁＝450nm和λ₂＝750nm（1nm＝10^－9m）的光譜線。在光柵光譜中，這兩種波長的譜線有重疊現象，重疊處λ₂的譜線的級數將是（　　）。[華南理工大學2011研]

A．2，3，4，5．．．．．．　 

B．2，5，8，11．．．．．．

C．2，4，6，8．．．．．．　 

D．3，6，9，12．．．．．．

【答案】D

【解析】設、的衍射明條紋級次分別為、。光柵方程為：，要使兩不同波長的光譜重合，就是要求衍射角相同，即需要滿足：，帶入數值得：，所以當取5的倍數，取3的倍數時兩波長的光譜重合。

2．一單色平行光束垂直照射在寬度為1.0mm的單縫上，在縫后放一焦距為2.0m的會聚透鏡。已知位于透鏡后焦平面處屏幕上中央明紋的寬度為2.0mm則入射光波長約為（　  ）。[北京郵電大學2010研]

A．100nm 

B．400nm 

C．500nm 

D．600nm

【答案】C

【解析】中央明紋的寬度是指的兩個暗紋間的距離，產生暗紋的條件為：

所以中央明文的寬度為，求得：

3．一束平行單色光垂直入射在光柵上，當光柵常數（a＋b）為下列哪種情況時（a代表每條縫的寬度），k＝3、6、9等級次的主極大均不出現?（　　）。[華南理工大學2009研]

A．a＋b＝2a

B．a＋b＝3a

C．a＋b＝4a

A．a＋b＝6a

【答案】B

【解析】此為缺級現象，即的某些值滿足光柵方程的主明紋條件，而又滿足單縫衍射的暗紋條件，這些主明紋將消失。即同時滿足

由題意k＝3、6、9等級次的主極大均不出現即缺級，即

4．波長在至范圍內的復色平行光垂直照射到一光柵上。如要求光柵的第二級光譜和第三級光譜不重疊，則最大為（　?。?。[電子科技大學2006研]

A．2　

B．3　

C．0.5 

D．4

【答案】C

二、填空題

1．如圖23-1所示，波長為λ＝480.0nm的平行光垂直照射到寬度為a＝0.40mm的單縫上，單縫后透鏡的焦距為f＝60cm，當單縫兩邊緣點A、B射向P點的兩條光線在P點的相位差為π時，P點離透鏡焦點O的距離等于______。[華南理工大學2010研]

圖23-1

【答案】0.36mm

【解析】單縫衍射的光程差公式為：。

相位差公式為：。聯立這兩式可以解得：

2．在單縫夫瑯禾費衍射實驗中，波長為λ的單色光垂直入射在寬度a＝5λ的單縫上，對應于衍射角的方向上若單縫處波面恰好可分成5個半波帶，則衍射角＝______。[華南理工大學2009研]

【答案】

【解析】由單縫的夫瑯禾費衍射實驗知識并由題意可知：

3．用的平行光束，垂直照射到一單縫上，在距單縫2m遠的屏上觀察夫瑯禾費衍射圖樣，測得第二級暗紋的銜射角為，則單縫的寬度＝______。單縫可分為7個“半波帶”的銜射角為______。[南京航空航天大學2007研]

【答案】2400mm；

4.He-Ne激光器發出的平行光束，垂直照射到一單縫上，在距單縫3m遠的屏上觀察大瑯不費衍射圖樣，測得兩個第二級暗紋間的距離是10cm，則單縫的寬度a＝______。[南京航空航天大學2006研]

【答案】

三、計算題

1．用波長為的鈉黃光垂直入射在每毫米有500條縫的光柵上，求第一級主極大的衍射角。[寧波大學2009研]

解：可知。第一級衍射主極大。

所以有。因此有。

2．波長為480nm的單色平行光垂直照射一雙縫，兩封寬度均為a＝0.080mm，縫間距d＝0.040mm，緊靠縫后放置焦距f＝2.0m的透鏡，觀察屏置于透鏡焦平面處。求：

（1）在屏上單縫衍射的中央亮紋范圍內，雙縫干涉亮紋的數目。

（2）雙縫干涉條紋的間距Δx。[浙江大學2007研]

解：（1）譜線缺級，則：

即單縫衍射第±1級暗級恰是光柵衍射主極大±1級所在處，所以在單縫衍射中央明紋級數為，±1，±2，±3，±4，共9條雙縫干涉亮紋。

（2）條紋間距：

3．用鈉光（＝589.3nm）垂直照射到某光柵上，測得第三級光譜的衍射角為60°。

（1）若換用另一光源測得其第二級光譜的衍射角為30°，求后一光源發光的波長。

（2）若以白光（400nm～760nm）照射在該光柵上，求其第二級光譜的張角。（1nm＝10^－9m）

[南京航空航天大學2008研]

解：（1）第三級光程差：，。即：

　  ，

同理，第二級光程差：　  

  ，

于是：

（2）由（1）解得：

最短、最長波長的第二級衍射角分別為：

則白光第二級衍射角的張角為：

4．設光柵平面和透鏡都與屏幕平行，在平面透射光柵上每厘米都有5000條刻線，用它來觀察波長為的光譜，光柵上不透光縫寬度與透光縫寬度之比為2∶1，求：

（1）當光線垂直入射到光柵上時，能看到的光譜線的級數和條紋數是多少？

（2）當光線以的入射角（入射線與光柵平面的法線的夾角）斜入射到光柵上時，能看到的光譜線的最高級數是多少？（）[南京航空航天大學2006研]

解：（1）光柵常數為：。由知，能看到的光譜線的最高級次為，取。

由題意知，，，即第二級缺級。故能看到的光譜線的級次為：，共5條明條紋。

（2）斜入射：。得：

取，即能看到的光譜線的最高級次為第5級。

5．設有一光柵，當白光垂直照射時，波長λ＝720nm的紅光在衍射角＝30°的方向上不存在可見光（400nm~760nm）譜線的其他主極大。求該光柵的：（1）光柵常數；（2）總縫數；（3）最小縫寬。[浙江大學2006研]

解：

。

（1）　 　。

（2），；。所以對應的波長在該處出現主極大。

（3）當時，在該處出現缺級，。

6．有一衍射光柵，光柵常數mm，縫寬mm，今用波長＝500nm的單色光垂直入射該光柵。問：最多能觀察到多少條亮紋。[廈門大學2006研]

解：由光程差，得：＝8，即最多可觀察第8級主極大。

滿足以下的主極大缺級：

得：，即第3級、第6級缺級。

所以最多可觀察到的亮條紋數：

。

7．波長的單色光垂直入射在一光柵上，第二級明紋出現在處，第三級為第一個缺級。求：

（1）光柵常數。

（2）通光狹縫的寬度a。

（3）屏上可觀察到的明紋數及其級數。[南京理工大學2005研]

解：（1）第二級明紋：

又，得光柵常數：

（2）第三級為第一個缺級，則

解得

因此

（3）由，得

故

考慮缺級

故缺級。所以，可觀察到，共9條明紋。

8．如圖23-2所示光柵模型，它可視為二維陣列的相干點源。

（1）分析xz平面內的夫瑯和費衍射主極大的條件。

（2）對于單色入射波長，且，試列出可能存在的全部主極大。[南京大學2005研]

圖23-2

解：（1）夫瑯和費衍射主極大的條件為：

（2），故，即：

于是：

得到所有可能的主極大為：

對應的角度分別為0°，±6°52＇，±53°8＇，±90°。

9．如圖23-3所示，有三條平行狹縫，縫寬皆為a，縫距分別為d和2d。試導出正入射時其夫瑯禾費衍射強度公式。[山東大學研]

圖23-3

解：x向振幅：；y向振幅：。

時，單縫在屏上生成的光強：

式中，，。